[편입] 2021 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)
안녕하세요 수학올인입니다.
이번 포스팅에선 2021년 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.
풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.
원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 서울과학기술대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.
(서울과학기술대학교 입학처 - 편입학 - 공지사항)
2021년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설은 글 가장 아래에 정리되어 있습니다.
2021 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답
빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.
2021 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이
$0$ 근방에서
$$\ln(1+x)\approx x - \frac{1}{2}x^2$$
임을 이용하면
$$\begin{align}
\ln\left(\frac{1+x}{x}\right) &= \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) \
&\approx \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2}
\end{align}$$
이 성립하므로, 구하는 극한값은 $\frac{1}{2}$이다.
2021 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이
구하는 원뿔의 부피 $V$는
$$V = \pi\int_0^h \left(\frac{x}{2}\right)^2 dx $$
이므로, 이 식의 양변을 $t$로 미분하면
$$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{4}h^2 \times \frac{dh}{dt}$$
가 성립한다. 이제 $\frac{dV}{dt} = 2$, $h=3$을 대입하면
$$\frac{dV}{dt} = \frac{8}{9\pi}$$
이다.
2021 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이
점 $\mathrm{A}$에서의 접선이 원점을 지나므로 원점에서 곡선 $y=e^{ax}$로
접선을 그으면 점 $\mathrm{A}$에서의 접선을 구할 수 있다.
계산해보면 우리가 구하는 접선은 $y=eax$이고, 접점은 $\left(\frac{1}{a}, e\right)$이다.
이제 점 $\left(\frac{1}{a}, e\right)$을 지나고 위에서 구한 접선에 수직인 직선은
$$\begin{align}
y&=-\frac{1}{ea}\left(x-\frac{1}{a}\right) + e
\end{align}$$
이다. 이제 이 직선이 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표를 구해보면
$$\mathrm{B}\left(e^2a + \frac{1}{a}, 0\right)$$
이다. 따라서 우리가 구하는 삼각형의 넓이를 $f(a)$라고 하면
$$f(a) = \frac{e}{2}\left(e^2a + \frac{1}{a}\right)$$
이고, $f'(a)=0$인 $a$는 $a=\frac{1}{e}$뿐이다.
2021 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이
두 곡선을 동시에 회전시키면 구하는 곡선의 길이는
곡선 $r=3\cos\theta$내부의 $r=1+\cos\theta$의 길이와 같다.
(이렇게 바꾸는 이유는 길이를 구하는 적분식에서 적분이 쉽기 때문이다.)
대칭성을 이용하여 윗부분의 길이를 구한 뒤 두 배 하면 구하는 길이 $L$은
$$\begin{align}
L &= 2\int_0^{\frac{\pi}{3}}\sqrt{2+2\cos\theta}d\theta \\
&= 4\int_0^{\frac{\pi}{3}}\cos\frac{\theta}{2}d\theta \\
&= 4
\end{align}$$
이다.
2021 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이
$2+x=t^2$으로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)}&= 2\int_3^8 \frac{t+1-1}{\sqrt{t+1}}dt \\
&= 2\int_3^8 \left(\sqrt{t+1} - \frac{1}{\sqrt{t+1}}\right)dt \\
&= \frac{64}{3}
\end{align}$$
이다.
2021 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이
분자를 변형하면
$$x^2 - 2x = (x+1)^2 - 4(x+1) + 3$$
으로 쓸 수 있으므로, 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_0^1 \left( \frac{1}{x+1} - \frac{4}{(x+1)^2} + \frac{3}{(x+1)^3}\right)dx \\
&= \ln2 - 2 + \frac{9}{8} \\
&= -\frac{7}{8} + \ln 2
\end{align}$$
이다.
2021 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이
구간을 세 분할로 나눠 각각 계산한 뒤 더하자.
각 분할에 대한 근삿값을 $S_1, S_2, S_3$이라 하면
$$\begin{align}
&S_1 = \frac{\pi}{9}\left(\ln 3+4\ln\frac{5}{2} + \ln\frac{3}{2}\right) \\
&S_2 = \frac{\pi}{9}\left( \ln\frac{3}{2} + 0 + \ln\frac{3}{2}\right) \\
&S_3 = \frac{\pi}{9}\left(\ln\frac{3}{2}+4\ln\frac{5}{2} + \ln 3\right)
\end{align}$$
이다. 따라서 구하는 근삿값은 위 세 분할에 대한 근삿값의 합인
$$\frac{\pi}{9}(-12\ln 2 + 6\ln 3 + 8\ln 5)$$
이므로 $a+b+c = \frac{2}{9}\pi$이다.
2021 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이
주어진 무한급수의 수렴값을 $S$라 하자. 그러면
$$\begin{align}
\frac{\pi}{2}S &= \frac{\pi}{2} - \frac{1}{3!}\left(\frac{\pi}{2}\right)^3 + \frac{1}{5!}\left(\frac{\pi}{2}\right)^5 - \cdots \\
&= \sin \frac{\pi}{2} \\
&= 1
\end{align}$$
이다. 따라서 $S = \frac{2}{\pi}$이다.
2021 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이
직선 $L_1$은 두 평면의 교점인 점 $(-1, 0, 3)$을 지나고, 두 평면의 법선벡터의 외적을 통해
얻은 벡터를 방향벡터로 가진다.
마찬가지로 직선 $L_2$도 두 평면의 교점인 점 $(0,0,1)$을 지나고, 두 평면의 법선벡터의 외적을 통해
얻은 벡터를 방향벡터로 가진다.
따라서
$$\begin{align}
& L_1 : (3t-1, t, -5t+3) \\
& L_2 : (t+1, t, t)
\end{align}$$
이다. 이제 두 직선의 방향벡터를 외적하여 얻은 벡터를 $n$이라 하면
$$n = (3,-4,1)$$
이므로, 이를 법선벡터로 하고 $L_1$위의 한 점 $(-1, 0, 3)$을 지나는 평면의 방정식은
$$P : 3x-4y+z=0$$
이다. 이제 두 직선 사이의 거리는 이 평면과 $L_2$위의 한 점 $(1,0,0)$까지의 거리와 같으므로
구하는 거리 $d$는
$$d = \frac{3}{\sqrt{26}}$$
이다.
2021 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이
곡선 $C$위의 점은 반드시 $z=2(x^2 + y^2)$을 만족시키므로, 우리가 구하는 거리 $d$는
$$d = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{z^2 + \frac{z}{2}}$$
로 쓸 수 있다. 이때 $d$가 최대, 최소가 되는 순간은 루트 내부가 최대, 최소가 될 때이므로
루트 내부의 식의 최대, 최소를 구한 뒤 루트를 씌우자.
첫 번째 제약조건에서 $x+y=2-z$이므로, 코시슈바르츠 부등식을 이용하면
$$(1^2 + 1^2)(x^2 + y^2) \geq (x+y)^2$$
이 성립한다, 그런데 $x+y=2-z$이고 $x^2 + y^2 = \frac{z}{2}$이므로, 정리하면
$$z \geq (z-2)^2 \quad \Longrightarrow\quad 1\leq z\leq 4$$
이다. 따라서
$$\frac{3}{2} \leq z^2 + \frac{z}{2}\leq 18$$
이고, 우리가 구하는 값은 $\sqrt{18 \times \frac{3}{2}} = 3\sqrt{3}$이다.
2021 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이
주어진 타원을 다시 쓰면
$$\left(x + \frac{3\sqrt{3}}{7}y\right)^2 + \left(\frac{8}{7}y\right)^2 = \frac{16}{7}$$
이다. 이제
$$\begin{align}
& x + \frac{3\sqrt{3}}{7}y = u \\
& \frac{8}{7}y = v
\end{align}$$
로 변수변환하면 $8dxdy = 7dudv$이고, 영역 $D : u^2 + v^2 \leq \frac{16}{7}$에 대하여 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \frac{49}{64}\iint_D \left( uv - \frac{3\sqrt{3}}{8}v^2\right)dudv \\
&= -\frac{49}{8^3} \times 3\sqrt{3}\iint_D v^2 dudv \\
&= -\frac{49}{2\times 8^3} \times 3\sqrt{3} \iint_D (u^2 + v^2)dudv \\
&= -\frac{49}{2\times 8^3} \times 3\sqrt{3} \times 2\pi \times \frac{4^4}{49}\times \frac{1}{4} \\
&= -\frac{3\sqrt{3}}{8}\pi
\end{align}$$
이다.
2021 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이
발산정리를 이용하자. 곡면 $S$의 내부를 $E$라 하면 $\text{div}F = 3$이므로 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \iiint_E 3 dV \\
&= 3\times \frac{4}{3} \times 2\times 1\times 3\pi \\
&= 24\pi
\end{align}$$
이다.
2021 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이
주어진 미분방정식은 베르누이 미분방정식이므로 $y^2 = u$로 치환하면
$u\left(\frac{1}{2}\right) = 9$이고
$$u' - \frac{u}{x} = -4x$$
라는 일계 선형 미분방정식을 얻는다.
이제 이를 풀면
$$\begin{align}
u &= e^{\ln x}\left(\int -4x \times \frac{1}{x}dx + C\right) \\
&= x(-4x+C) \\
&= x(20-4x)
\end{align}$$
이다. 이를 다시 $y$에 대해 풀면
$$y = \sqrt{20x-4x^2}$$
이므로, 구하는 넓이는 타원의 윗부분인 $\frac{25}{4}\pi$이다.
($y$를 선택할 때 $y\left(\frac{1}{2}\right) > 0$임으로부터 부호를 +로 정한다.)
2021 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이
양변에 $e^{-y}$를 곱하면
$$(e^x + 4y)dx + (4x - e^{-y})dy = 0$$
이라는 완전미분방정식을 얻는다. 이제 적분하면
$$e^x + 4xy + e^{-y} = C = e+1$$
이므로 $y(0) = -1$이다.
2021 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이
역연산자 방법을 통해 특수해를 구해보면
$$\begin{align}
y_p &= \frac{1}{D^2 + D - 20}\left\{ 9e^{-5x} + 20x - 1\right\} \\
&= -x-xe^{-5x}
\end{align}$$
이다. 이제 주어진 미분방정식의 제차해는
$$y'' + y' - 20y = 0,\quad y_c(0) = 0, y_c '(0) = 9$$
를 만족시키고, 이는 라플라스 변환을 통해 해결할 수 있다.
제차해 $y_c$의 라플라스 변환을 $Y$라고 하고 양변을 라플라스 변환하면
$$\begin{align}
Y&= \frac{9}{(s-4)(s+5)} \\
&= \frac{1}{s-4} - \frac{1}{s+5}
\end{align}$$
이고 역변환하면
$$y_c = e^{4x} - e^{-5x}$$
이다. 따라서 우리가 구하는 해는
$$\begin{align}
y &= y_c + y_p \\
&= e^{4x} - e^{-5x}-x-xe^{-5x}
\end{align}$$
이고, $y(-1) = e^{-4} + 1$이다.
2021 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이
물질 $A$의 남은 양을 $A(t)$라고 하면 미분방정식
$$A' = kA, \quad A(0)= 200, A(120) = 100$$
이므로, 초기조건을 모두 이용하여 미분방정식을 풀면
$$A = 200e^{\frac{t}{120}\ln \frac{1}{2}}$$
이다.
마찬가지로 물질 $B$의 남은 양을 $B(t)$라 하면
$$B' = kB, \quad B(0)=200, B(180) = 100$$
이므로, (여기서 $k$는 $A$에서의 $k$와는 다르다. 단지 같은 문자를 사용했을 뿐이다.)
$$B = 200e^{\frac{t}{180}\ln\frac{1}{2}}$$
이다.
따라서
$$\frac{A(540)}{B(540)} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$$
이다.
2021 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이
ㄱ. $A$의 랭크가 $n$이므로 가역이다. 주어진 등식의 왼쪽에 $A^{-1}$을 곱하면
$B=C$이므로 참이다.
ㄴ. 단위행렬은 $n$개의 고윳값 $1, 1, 1, \cdots, 1$을 가지므로 거짓이다.
ㄷ. $\det A = \pm 1$이다.
ㄹ. 직교행렬의 성질로부터 참이다.
ㅁ. 실수성분을 가지는 대칭행렬의 고유치는 항상 실수이다.
ㅂ. $a+b=m$이 아니라 $a+b=n$이다.
이상에서 옳은 것의 개수는 $3$이다.
2021 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이
주어진 네 벡터를 전치시킨 행벡터를 각 행으로 갖는 행렬의 행사다리꼴은
$$\begin{pmatrix}
1 & 2 & -2 \\
0 & 2 & -1 \\
0 & 0 & t+5 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$$
이므로, $t=-5$, $\dim H = 2$이다. 따라서 $s+t=-3$이다.
2021 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이
삼각형을 이루는 주어진 세 점의 $x$좌표가 전부 $d$라는 말은 세 점이 모두
평면 $x=d$위에 놓여있다는 말과 같다. 따라서 두 평면
$$\begin{align}
& ax+by+cz+d = 0 \\
& x - d = 0
\end{align}$$
은 동일한 평면이어야 하므로, $b=c=0$이고, $d$의 부호를 맞춰주기 위해서는 $a=1$이어야 한다.
($-x+d=0\quad\Longrightarrow\quad x-d = 0$이므로.)
2021 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이
임의의 두 정방행렬 $X, Y$에 대하여
$$\begin{pmatrix}
X & O \\
O & Y
\end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix}
X^n & O \\
O & Y^n
\end{pmatrix}$$
이 성립한다. (블록 대각행렬의 성질)
따라서 정방행렬
$$X = \begin{pmatrix}
-1 & 2 \\
2 & -1
\end{pmatrix}$$
에 대하여
$$A^{2021} = \begin{pmatrix}
X^{2021} & O \\
O & (-1)^{2021}
\end{pmatrix}$$
이다. 따라서 구하는 모든 성분의 합은 $X^{2021}$의 모든 성분의 합에서
$1$을 뺀 값과 같다.
그런데 우리가 행렬의 모든 성분의 합을 구할 때 벡터 $\begin{pmatrix}
1 & 1
\end{pmatrix}^T$를
곱하여 얻은 벡터의 모든 성분의 합을 계산하는데, 마침 이 벡터가 행렬 $X$의
고유치 $1$에 대응하는 고유벡터가 된다. 따라서
$$X^{2021}\begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix} $$
이므로, 구하는 모든 성분의 합은 $2-1 = 1$이다.
마치며
이상으로 2021 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.
오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~
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