[편입] 2023 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2023 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2023년 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 서울과학기술대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(서울과학기술대학교 입학처 - 편입학 - 공지사항)

 

2023년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설은 글 가장 아래에 정리되어 있습니다.

 

 

 

2023 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

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2023 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2023 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

직원뿔 모양의 수조에 꼭짓점부터 물이 차는것이 아닌 바닥에서 차오르는 것임에 유의하자.
높이가 $h$일 때의 수면의 부피 $V$는
$$V = \pi\int_{50 - h}^{50} \left(\frac{2}{5}x\right)^2 dx$$
에서 양변을 $t$로 미분하면
$$\frac{dV}{dt} = \pi \left(\frac{2}{5}(50-h)\right)^2 \times \frac{dh}{dt}$$
이다. 이제 $t=10$, $\frac{dV}{dt} = 16$을 대입한 뒤 식을 정리하면
$$\frac{dh}{dt} = \frac{1}{16\pi}$$
임을 얻는다.

 

 

 

2023 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

[풀이 1]
$-1 \leq x\leq 0$인 부분과 $0\leq x\leq 1$인 부분을 각각 회전시킨 뒤 더한다.



[풀이 2]
주어진 삼차함수와 $x$축이 이루는 영역은 점 $(0, 0)$에 대칭이다.

한편 주어진 삼차함수와 $x$축이 이루는 영역의 넓이 $S$는
$$\begin{align}
    S &= \int_{-1}^1 |x-x^3| dx \\
    &= 2\int_0^1 (x-x^3)dx \\ 
    &= \frac{1}{2}
\end{align}$$
이므로 파푸스 정리로부터 구하는 회전체의 부피 $V$는
$$V = 2\pi \times 1 \times S = \pi$$
이다.

 

 

 

2023 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

A. 적분판정법으로부터 발산한다.

B. 일반항의 극한이 $0$이 아니므로 발산한다.

C. 비율판정법으로부터 수렴한다.

D. 일반항의 극한이 $0$이 아니므로 발산한다.



이상에서 정답은 $5$번이다.

 

 

 

2023 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

A. 주어진 식을 다시 쓰면
$$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)$$
이 성립하는지 물어보는 것과 같다.

한편 좌변의 $\sin x$를 다시 쓰면
$$\begin{align}
    \sin x &= \sin\left(\left(x-\frac{\pi}{3}\right) + \frac{\pi}{3}\right) \\ 
    &= \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\cos\frac{\pi}{3} + \cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\sin\frac{\pi}{3} \\ 
    &= \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)
\end{align}$$
이 성립하므로 참이다.

B. 일반화된 이항정리로부터 실수 $a$에 대하여
$$(1+x)^a = \sum_{n=0}^\infty {a\choose n}x^n$$
이 성립한다. 이제 $x$ 대신 $-x^2$을 대입하고 $a=-\frac{1}{2}$을 대입하면
$$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n {-\frac{1}{2}\choose n} x^{2n}$$
이 성립한다. 변수를 $t$로 바꾼 뒤 양변을 $0$부터 $x$까지 정적분하면
$$\sin^{-1}x = \int_0^x \sum_{n=0}^\infty (-1)^n {-\frac{1}{2}\choose n} t^{2n}dt$$
가 성립하므로 참이다.

C. 식을 변형하여 다시 쓰면
$$\frac{1}{4-x} = \frac{1}{2-(x-2)}$$
가 성립한다. 분모의 $2$를 묶어내면 등비급수의 합 공식으로부터
$$\begin{align}
    \frac{1}{2-(x-2)} &= \frac{1}{2} \frac{1}{1-\frac{(x-2)}{2}} \\ 
    &= \frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{x-2}{2}\right)^n \\
    &= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{n+1}}(x-2)^n
\end{align}$$
이 성립하므로 참이다.

 

 

 

2023 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

$\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$가 성립하므로 이를 이용하면 주어진 극곡선은
$$2r^2 \sin\theta\cos\theta = 1$$
과 같다. 한편 $x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$임을 이용하면 주어진 극곡선의 직교좌표표현은
$$2xy = 1 \quad \Longrightarrow\quad y=\frac{1}{2x}$$
이다.

 

 

 

2023 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

첫 번째 직선 위의 한 점 $(0,1,2)$, 두 번째 직선 위의 한 점 $(-3,1,1)$을 고르자.
그러면 구하는 두 직선사이의 거리는 두 직선의 방향벡터의 외적을 법선벡터로 하고
점 $(-3,1,1)$을 지나는 평면과 점 $(0,1,2)$사이의 거리와 같다.

두 직선의 방향벡터의 외적은 $(1,1,-1)$이므로 구하는 평면의 방정식은
$$P : x+y-z+3=0$$
이고 이 평면과 점 $(0,1,2)$와의 거리 $d$는
$$d = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{3}\sqrt{3}$$
이다.

 

 

 

2023 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

곡률을 구하기 위해 미분하면
$$\begin{align}
    & r'(t) = (6t, 2, 3t^2) \\ 
    & r''(t) = (6,0,6t)
\end{align}$$
에서 
$r'(0)=(0,2,0), r''(0) = (6,0,0)$이 성립한다. 따라서 구하는 곡률 $\kappa$는
$$\begin{align}
    \kappa &= \frac{|r'(0)\times r''(0)|}{|r'(0)|^3} \\ 
    &= \frac{12}{8} \\ 
    &= \frac{3}{2}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2023 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

임계점을 찾기 위해 편도함수를 구해보면
$$\begin{align}
    & f_x = 24x^2 - 12y \\ 
    & f_y = 3y^2 - 12x
\end{align}$$
에서 $f_x = f_y = 0$을 풀면 $(0, 0), (1, 2)$이 임계점이다.

한편 점 $(0, 0)$은 이계도함수 판정법으로부터 안장점이고, $(1, 2)$는 극소가 된다.

따라서 $a=0, b=f(1,2) = -8, c=f(0,0) =0$이므로 구하는 값은 $-16$이다.

 

 

 

2023 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

질점의 이동경로는 
$$l(t) = (2t, t, 1-t)\quad (0\leq t\leq 1)$$
로 매개화 될 수 있으므로, 주어진 선적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^1 (t^2 + 8t - 2)dt \\ 
    &= \frac{7}{3}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2023 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

주어진 영역 $S$와 원판 $S_1 : z=0\quad (x^2 + y^2 \leq 1)$을 합친 곡면을 $S'$이라 하자.
그러면 $S'$은 폐곡면이고 $S$에 대한 면적분의 값은 ($S'$에 대한 면적분) - ($S_1$에 대한 면적분)
으로 나타낼 수 있다. 먼저 $S'$에 대한 면적분을 계산하자.

$\text{div}F = 6x^2 + 6y^2$이므로 $S'$의 내부를 $E$라 하면 발산정리로부터 $S'$에 대한 면적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= 6\iiint_E (x^2 + y^2)dV \\ 
    &= 6\iint_{x^2 + y^2 \leq 1} (x^2 + y^2)(1 - (x^2 + y^2))dA \\ 
    &= 6\int_0^{2\pi} \int_0^1 r^3 (1-r^2)drd\theta \\ 
    &= \pi
\end{align}$$
이다.

한편 $S_1$에 대한 면적분을 계산할텐데, 법선벡터와의 내적을 통해 $z$성분만이 남게 되고
적분 영역이 $z=0$위에 놓이므로 $S_1$에 대한 면적분의 값은 $0$이다.

따라서 $S$에 대한 면적분의 값은 $\pi - 0 = \pi$이다.

 

 

 

2023 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

면적분의 정의로부터 
$$dS = \sqrt{1+1^2 + 2^2}dxdy = \sqrt{6}dxdy$$
가 성립하므로, 주어진 면적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \sqrt{6}\int_0^1 \int_0^x (2x + 3y)dydx \\ 
    &= \sqrt{6}\int_0^1 \frac{7}{2}x^2 dx \\ 
    &= \frac{7}{6}\sqrt{6}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2023 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

양변을 $-y^2$으로 나누면 주어진 미분방정식은
$$\sin xdx -\frac{1}{y^2}dy = 0$$
으로 변수분리가능하다. 이제 양변을 적분하면
$$-\cos x + \frac{1}{y} = C = 2$$
이므로 $y$에 대해서 정리하면
$$y=\frac{1}{2+\cos x}$$
이므로
$$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{2}{2+\sqrt{2}}$$
이다.

 

 

 

2023 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

주어진 코시 오일러 미분방정식을 상수계수 미분방정식으로 변환하면 주어진 문제는
$$y''-4y'+5y=0, \quad y\left(\frac{\pi}{2}\right) = e^{\pi}, y(\pi) = 2e^{2\pi}$$
일 때 $y\left(\frac{\pi}{4}\right)$의 값을 구하는 문제로 바꿀 수 있다.

한편 위의 미분방정식의 일반해는 
$$y = e^{2t}(c_1 \cos t + c_2 \sin t)$$
이고, 초기조건을 이용하면 $c_1 = -2$, $c_2 = 1$이므로 $y\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{\pi}{2}}$이다.

 

 

 

2023 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

역연산자와 소멸연산자를 이용하여 특수해를 구하면
$$\begin{align}
    y_p &= \frac{1}{D^2 - 4D + 3}\left\{10\cos x\right\} \\ 
    &= \frac{10}{2-4D}\left\{\cos x\right\} \\ 
    &= \frac{10(2+4D)}{4-16D^2}\left\{\cos x\right\} \\ 
    &= \frac{1}{2}(2+4D) \left\{\cos x\right\} \\ 
    &= \cos x - 2\sin x
\end{align}$$
이다. 이제 초기치를 보정하면 제차해는 미분방정식
$$y''-4y'+3y=0,\quad y_c(0) = 0, y_c '(0) = 2$$
를 만족시키고, 이는 라플라스 변환을 통해 해결할 수 있다.

제차해 $y_c$의 라플라스 변환을 $Y$라 하고 양변을 라플라스 변환하면
$$\begin{align}
    Y &= \frac{2}{(s-1)(s-3)} \\ 
    &= \frac{1}{s-3} - \frac{1}{s-1} \\ 
\end{align}$$
에서 역변환하면
$$y_c = e^{3x} - e^x$$
이다. 따라서 우리가 구하는 해는 
$$\begin{align}
    y &= y_c + y_p \\ 
    &= e^{3x} - e^x + \cos x - 2\sin x
\end{align}$$
이고, 미분한 뒤 $x=\frac{\pi}{2}$를 대입하면 구하는 값은 $3e^{\frac{3}{2}\pi} - e^{\frac{\pi}{2}} - 1$이다.

 

 

 

2023 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

주어진 연립미분방정식을 미분연산자를 이용하여 나타내면 아래와 같다.
$$\begin{align}
    &Dy_1 - 4y_2 = -8\cos 4t \\ 
    & 3y_1 + Dy_2 = -9\sin 4t
\end{align}$$
이제 첫 식에 $3$배를 하고 두 번째 식에 미분연산자 $D$를 곱한 뒤 둘을 빼면
$$(D^2 + 12)y_2 = -12\cos 4t$$
가 된다. 즉 함수 $y_2$는 미분방정식
$$y''+12y = -12\cos 4t,\quad y(0)=3, y'(0)=0$$
을 만족시켜야 한다. (초기치는 주어진 연립미분방정식에 대입하여 얻을 수 있다.)

이제 역연산자와 소멸연산자를 이용하여 특수해를 구하면 
$$\begin{align}
    y_p &= \frac{1}{D^2 + 12}\left\{-12\cos 4t\right\} \\ 
    &= 3\cos 4t
\end{align}$$
에서 초기치를 보정하면 $y_c(0) = y_c '(0) = 0$이다. 

이때 제차해의 $x=0$에서의 초기치가 전부 $0$이므로, $y_2$의 제차해는 $0$이다.
이로부터 $y_2 = 3\cos 4t$이고, 이를 연립미분방정식에 대입하면 $y_1 = \sin 4t$이다.
따라서 구하는 값은 $-1 + 0 = -1$이다.

 

 

 

2023 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

시각 $t$에서 물탱크 내부의 소금의 양을 $y(t)$라 하자. 

초기에 $20$kg의 소금이 용해되어 있으므로 $y(0)=20$이고, $y(t)$는 미분방정식
$$y' =5 - \frac{20}{100}y$$
를 만족시킨다. 이는 일계 선형 미분방정식이므로 풀면
$$\begin{align}
    y &= e^{-\frac{1}{5}t}\left(\int 5e^{\frac{1}{5}t}dt + C \right) \\ 
    &= e^{-\frac{1}{5}t}\left(25e^{\frac{1}{5}t} + C \right) \\ 
    &= e^{-\frac{1}{5}t}\left(25e^{\frac{1}{5}t} -5 \right) \\ 
    &= 25 - 5e^{-\frac{1}{5}t}
\end{align}$$
이다. 이제 $t\to\infty$이면 $y\to 25$이므로 구하는 $t$는 방정식
$$y(t) = 25 \times \frac{9}{10}$$
을 풀어서 얻은 $t=5\ln 2$이다.

 

 

 

2023 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

주어진 행렬을 역행렬 기호까지 포함하여 $A^{-1}$이라고 하자. 구하는 값은
$$A^{-1}\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1 
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a \\
b \\
c 
\end{pmatrix}$$
일 때, $a+b+c$와 같다. 한편 양변의 왼쪽에 $A$를 곱해주면
$$A\begin{pmatrix}
a \\
b \\
c 
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1 
\end{pmatrix} $$
이고, 직접 곱해보면
$$\begin{align}
    & a-c = 2 \\ 
    & b=1\\ 
    & -a+2c = -1
\end{align}$$
이므로 전부 풀면 $a=-5, b=1, c=-3$임을 얻는다. 따라서 정답은 $5$번이다.

 

 

 

2023 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

$\alpha = \det A = 0$이고 $\beta = \text{tr}B = 3$이므로 구하는 값은 $3$이다.

 

 

 

2023 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

주어진 행렬을 $A$라 하자. 고윳값들의 합은 대각합과 같으므로
$$\text{tr}A = 4(x^2 - 1) = 12$$
에서 $x=\pm 2$이므로, 곱은 $-4$이다.

 

 

 

2023 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

조건으로부터 행렬 $A$의 고유치와 고유벡터가 제시되어 있으므로
$$\begin{align}
    A^3 \begin{pmatrix}
3 \\
5 
\end{pmatrix} &= A^3 \left(2\begin{pmatrix}
2 \\
1 
\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
1 \\
-3 
\end{pmatrix}\right) \\ 
&= 2\times 4^3 \left(2\begin{pmatrix}
2 \\
1 
\end{pmatrix} - (-3)^3 \begin{pmatrix}
1 \\
-3 
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이므로, 모든 원소의 합은 $384 - 54 = 330$이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2023 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

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