[편입] 2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2024년 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 서울과학기술대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(서울과학기술대학교 입학처 - 편입학 - 공지사항)

 

2024년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설은 글 가장 아래에 정리되어 있습니다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

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2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

[오류문항] 
$0<x<1$에서 $\ln x<0$이므로 지수가 잘 정의되지 않고 따라서 극한값도 구할 수 없다.

실제로 로그의 성질을 이용하여 식을 변형해보면
$$\begin{array}{rl}(\ln x{)}^{\sin x}& =e^{\sin x\ln \ln x}\end{array}$$
에서 $0<x<1$이면 $\ln x<0$이므로 $\ln \ln x$는 정의되지 않는다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

다음 그림을 생각해보자.

원이 주어진 포물선에 내접하므로 원의 중점과 접점을 지나는 직선과
접점에서 포물선의 접선은 수직이어야 한다.
즉, 기울기의 곱이 $-1$임을 이용하면
$$2t\times \frac{t^2-\frac{5}{4}}{t-0}=-1$$
에서 이를 풀면 
$$t^2=\frac{3}{4}$$
를 얻는다. 

이제 구하는 원의 반지름은 원의 중심과 접점까지의 거리이므로
$$\begin{array}{rl}r& =\sqrt{t^2+{(t^2-\frac{5}{4})}^2}\\ & =\sqrt{\frac{3}{4}+{(-\frac{1}{2})}^2}\\ & =1\end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

두 포물선의 교점 중 원점이 아닌 점의 $x$좌표는
$$x=\frac{2}{a+1}$$
이다. 

이제 문제에서 구하는 넓이를 $S$라 하면
$$\begin{array}{rl}S& ={\int }_0^{\frac{2}{a+1}}(-x^2+2x-a{x}^2)dx\\ & =-\frac{8}{3}\times \frac{1}{(a+1{)}^2}+\frac{4}{(a+1{)}^2}\end{array}$$
이다.

이제 다른 방식으로 $S$를 구해보면, 문제의 조건으로부터 $S$의 넓이는
포물선 $y=-x^2+2x$와 $x$축으로 둘러싸인 영역의 절반이므로
$$\begin{array}{rl}S& =\frac{1}{2}\times \frac{1}{6}\times 2^3\\ & =\frac{2}{3}\end{array}$$
이다. 이제 두 방법으로 구한 값이 같아야 하므로
$$-\frac{8}{3}\times \frac{1}{(a+1{)}^2}+\frac{4}{(a+1{)}^2}=\frac{2}{3}$$
이고, 이를 풀면 $a=\sqrt{2}-1$을 얻는다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

직접 $V_t$를 구해보면
$$\begin{array}{rl}{V}_t& =2\pi {\int }_0^{t}x(t^{3}x-x^4)dx\\ & =2\pi \times \frac{1}{6}{t}^6\\ & =\frac{\pi }{3}{t}^6\end{array}$$
이다. 따라서 $k$의 최댓값은 $-6$이고 $L=\frac{\pi }{3}$이므로 
$KL=-2\pi$이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

극곡선
$$r=a(1+2\cos \theta )$$
의 작은 고리 내부의 넓이 $S_1$은
$$S_1=a^2(\pi -\frac{3\sqrt{3}}{2})$$
이고, 내부이면서 작은 고리 외부에 속하는 영역의 넓이 $S_2$는
$$S_2=a^2(\pi +3\sqrt{3})$$
이다. 

주어진 문제는 $a=1$일 때 $S_2$의 넓이이므로 $\pi +3\sqrt{3}$이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

$f(x)=\frac{1}{(2+x{)}^3}$에 대하여 $f(x)$의 맥클로린 급수전개는
$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\cdots$$
와 같다. 한편 $f(0)=\frac{1}{8}$, $f^{\prime }(0)=-\frac{3}{16}$이므로 선택지에서
$$a_0=\frac{1}{8},a_1=-\frac{3}{16}$$
이 되는 급수전개를 찾으면 된다. 

이때 3번과 4번은 계수가 항상 양수이므로 제외하고 1번과 2번을 살펴보면
$a_0,a_1$의 값이 일치하는 선지는 1번이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

수렴반경의 정의대로 계산해보면 순서대로
$$A=2,B=1,C=3$$
이므로 모두 더한 값은 $6$이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

주어진 점은 $t=\frac{1}{3}$일 때이다. 곡률을 구하기 위해 미분하면
$$\begin{array}{rl}& r^{\prime }(t)=(3t^2,0,2t)\\ & r^{″}(t)=(6t,0,2)\end{array}$$
에서 
$$\begin{array}{rl}& r^{\prime }\left(\frac{1}{3}\right)=(\frac{1}{3},0,\frac{2}{3})\\ & r^{″}\left(\frac{1}{3}\right)=(2,0,2)\end{array}$$
이므로 구하는 곡률 $\kappa$는
$$\begin{array}{rl}\kappa & =\frac{|r^{\prime }\left(\frac{1}{3}\right)\times r^{″}\left(\frac{1}{3}\right)|}{{\left|r^{\prime }\left(\frac{1}{3}\right)\right|}^3}\\ & =\frac{18\sqrt{5}}{25}\end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

연쇄법칙으로부터
$$\frac{\partial y}{\partial x_1}=\frac{dy}{dx}\times \frac{\partial x}{\partial x_1}$$
이 성립한다. 한편
$$y=1⟺e^x=\frac{1}{2}$$
이고 ${\displaystyle \frac{\partial x}{\partial x_1}=1}$임을 이용하면
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial y}{\partial x_1}& =\frac{dy}{dx}\times \frac{\partial x}{\partial x_1}\\ & =\frac{e^x}{(1+e^x{)}^2}\times 1\\ & =\frac{2}{9}\end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

피적분함수와 적분 영역이 전부 $y$축에 대칭이므로 전체 적분 영역 중
제 1사분면의 영역에 대해서만 이중적분 한 뒤 두 배를 해주면
구하는 이중적분값과 같다.

주어진 영역 중 제 1사분면의 영역을 $D$라 하면 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =2{\iint }_D\sin (y^2)dA\\ & =2{\int }_0^{\sqrt{\pi }}{\int }_0^y\sin (y^2)dxdy\\ & =2{\int }_0^{\sqrt{\pi }}y\sin (y^2)dy\\ & =2\end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

$x=u,y=2v$로 변수변환하면 $dxdy=2dudv$이고 주어진 영역 $D$는 
영역 $D^{\prime }:u^2+v^2\le 1$로 변환된다. 따라서 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =2{\iint }_{D^{\prime }}\sqrt{u^2+v^2}dudv\\ & =2\end{array}$$

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

주어진 곡면 $S$에 원판
$$B:z=0(x^2+y^2\le 9)$$
를 추가하여 얻은 곡면을 $S^{\prime }$이라 하자.

그러면 $S^{\prime }$은 폐곡면이므로 발산정리를 이용할 수 있고 우리가 구하는 면적분은 
($S^{\prime }$에 대한 면적분)에서 ($B$에 대한 면적분)을 뺀 것과 같다.

폐곡면 $S^{\prime }$의 내부를 $E$라 하고, $S^{\prime }$에 대한 면적분을 계산해보면 
발산정리를 이용했을 때
$$\begin{array}{rl}{\iint }_{S^{\prime }}F\circ ndS& ={\iiint }_E\text{div}FdV\\ & ={\iiint }_E(x+y+1)dV\\ & ={\iiint }_{E}1dV& =\frac{1}{2}\times \frac{4}{3}\pi \times 3^3\\ & =18\pi \end{array}$$
임을 알 수 있다. (대칭성을 이용했다.)

$B$에 대한 면적분은 단위법선벡터 $n$이 
$$n=(0,0,-1)$$
이므로, 정의대로 계산했을 때
$$\begin{array}{rl}{\iint }_{B}F\circ ndS& ={\iint }_{x^2+y^2\le 9}(-1)dA\\ & =-9\pi \end{array}$$
이다. 따라서 원래 구하던 면적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\iint }_{S^{\prime }}F\circ ndS-{\iint }_{B}F\circ ndS\\ & =27\pi \end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

주어진 미분방정식은 일계 선형 미분방정식이므로 공식을 이용하면
$$\begin{array}{rl}y& =e^{x^2}(\int x{e}^{-x^2}dx+C)\\ & =e^{x^2}(C-\frac{1}{2}{e}^{-x^2})\\ & =C{e}^{x^2}-\frac{1}{2}\end{array}$$
이다. 이제 $x\to \mathrm{\infty }$일 때 $y\to 0$이려면 구한 해에서
$$e^{x^2}$$
항이 없어야 함을 알 수 있다. (얘가 무한대로 발산하므로)

이 말은 곧 $C=0$이어야 한다는 말이고, 우리가 구하는 해가
$$y=-\frac{1}{2}$$
라는 말과 같다. 이때 $y(0)=-\frac{1}{2}$이 되는데 선지를 보면
이를 만족하는 선지가 없으므로 정답은 5번이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

양변을 $\sin x$로 나눈 뒤 정리하면 주어진 미분방정식은
$$y^{\prime }-\frac{\cos x}{\sin x}u=2\sin x\cos x$$
라는 일계 선형 미분방정식이 되므로, 공식을 이용하면
$$\begin{array}{rl}y& =e^{\ln \sin x}(\int 2\cos xdx+C)\\ & =\sin x(C+2\sin x)\\ & =2\sin x+2{\sin }^{2}x\end{array}$$
가 구하는 해가 된다. 

이제 $y^{\prime }(0)$의 값을 구할 것인데, $x=0$근방에서 $\sin x\approx x$임을 이용하면
주어진 $y$ 대신 $2x^2+2x$를 미분해도 되므로, $y^{\prime }(0)=2$이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

주어진 함수 $f(t)$를 단위계단함수를 이용하여 나타내보면
$$f(t)=t+(e^t-t)u(t-1)$$
이다. 한편 $t$의 라플라스 변환은 $\frac{1}{s^2}$이고 단위계단함수가 포함된 항은
$$\text{Extra left or missing right}$$
로 쓸 수 있으므로, 이 부분의 라플라스 변환은
$$e^{-s}(\frac{e}{s-1}-\frac{1}{s^2}-\frac{1}{s})$$
와 같다. 이 둘을 합치면 
$$F(s)=\frac{1}{s^2}+e^{-s}(\frac{e}{s-1}-\frac{1}{s^2}-\frac{1}{s})$$
이므로, $s=2$를 대입하면
$$F(2)=e^{-1}-\frac{3}{4}{e}^{-2}+\frac{1}{4}$$
임을 얻는다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

주어진 연립미분방정식을 행렬표현이 아닌 연립방정식의 형태로 나타내보면
$$\{\begin{array}{ll}{y}_1^{\prime }& =3y_1+y_2\\ y_2^{\prime }& =3y_2\end{array}$$
이다. 이때 아래의 식은 $y_2$에 대한 일계 선형 미분방정식이므로 이를 풀면
$$y_2=e^{3x}$$
임을 얻는다. 이를 첫 식에 대입하면
$$y_1^{\prime }=3y_1+e^{3x}$$
이고 이 또한 $y_1$에 대한 일계 선형 미분방정식이므로 이를 풀면
$$y_1=e^{3x}(x+1)$$
임을 얻는다. 따라서
$$\begin{array}{rl}{y}_1(1)& =2e^3\\ y_2(-1)& =e^{-3}\end{array}$$
이므로 $y_1(1)\times y_2(-1)=2$이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

주어진 행렬의 기약행사다리꼴이 단위행렬이므로, 구하는 랭크는 $4$이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

두 행렬 $A,PA{P}^{-1}$은 닮았다. 이 말은 곧 두 행렬의 행렬식과
대각합의 값이 같다는 말이고

i) $\text{tr}$이 같다 : $a-4=0$
ii) $det$이 같다 : $b=0$

에서 $a-b=4$이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

모든 고윳값은 행렬식의 값과 같으므로 $-6$이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

계산해보면 구하는 행렬식의 값은 $-70$이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

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