편입수학 기출문제 풀이/과기대

[편입] 2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

수학올인 2024. 2. 17. 23:29
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[편입] 2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2024년 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 서울과학기술대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(서울과학기술대학교 입학처 - 편입학 - 공지사항)

 

2024년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설은 글 가장 아래에 정리되어 있습니다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

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2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

[오류문항] 
0<x<1에서 lnx<0이므로 지수가 잘 정의되지 않고 따라서 극한값도 구할 수 없다.

실제로 로그의 성질을 이용하여 식을 변형해보면
(lnx)sinx=esinxlnlnx
에서 0<x<1이면 lnx<0이므로 lnlnx는 정의되지 않는다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

다음 그림을 생각해보자.


원이 주어진 포물선에 내접하므로 원의 중점과 접점을 지나는 직선과
접점에서 포물선의 접선은 수직이어야 한다.
즉, 기울기의 곱이 1임을 이용하면
2t×t254t0=1
에서 이를 풀면 
t2=34
를 얻는다. 

이제 구하는 원의 반지름은 원의 중심과 접점까지의 거리이므로
r=t2+(t254)2=34+(12)2=1
이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

두 포물선의 교점 중 원점이 아닌 점의 x좌표는
x=2a+1
이다. 

이제 문제에서 구하는 넓이를 S라 하면
S=02a+1(x2+2xax2)dx=83×1(a+1)2+4(a+1)2
이다.

이제 다른 방식으로 S를 구해보면, 문제의 조건으로부터 S의 넓이는
포물선 y=x2+2x와 x축으로 둘러싸인 영역의 절반이므로
S=12×16×23=23
이다. 이제 두 방법으로 구한 값이 같아야 하므로
83×1(a+1)2+4(a+1)2=23
이고, 이를 풀면 a=21을 얻는다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

직접 Vt를 구해보면
Vt=2π0tx(t3xx4)dx=2π×16t6=π3t6
이다. 따라서 k의 최댓값은 6이고 L=π3이므로 
KL=2π이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

극곡선
r=a(1+2cosθ)
의 작은 고리 내부의 넓이 S1
S1=a2(π332)
이고, 내부이면서 작은 고리 외부에 속하는 영역의 넓이 S2
S2=a2(π+33)
이다. 

주어진 문제는 a=1일 때 S2의 넓이이므로 π+33이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

f(x)=1(2+x)3에 대하여 f(x)의 맥클로린 급수전개는
f(x)=f(0)+f(0)x+
와 같다. 한편 f(0)=18f(0)=316이므로 선택지에서
a0=18,a1=316
이 되는 급수전개를 찾으면 된다. 

이때 3번과 4번은 계수가 항상 양수이므로 제외하고 1번과 2번을 살펴보면
a0,a1의 값이 일치하는 선지는 1번이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

수렴반경의 정의대로 계산해보면 순서대로
A=2,B=1,C=3
이므로 모두 더한 값은 6이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

주어진 점은 t=13일 때이다. 곡률을 구하기 위해 미분하면
r(t)=(3t2,0,2t)r(t)=(6t,0,2)
에서 
r(13)=(13,0,23)r(13)=(2,0,2)
이므로 구하는 곡률 κ
κ=|r(13)×r(13)||r(13)|3=18525
이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

연쇄법칙으로부터
yx1=dydx×xx1
이 성립한다. 한편
y=1ex=12
이고 xx1=1임을 이용하면
yx1=dydx×xx1=ex(1+ex)2×1=29
이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

피적분함수와 적분 영역이 전부 y축에 대칭이므로 전체 적분 영역 중
제 1사분면의 영역에 대해서만 이중적분 한 뒤 두 배를 해주면
구하는 이중적분값과 같다.

주어진 영역 중 제 1사분면의 영역을 D라 하면 주어진 적분은
(Integral)=2Dsin(y2)dA=20π0ysin(y2)dxdy=20πysin(y2)dy=2
이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

x=u,y=2v로 변수변환하면 dxdy=2dudv이고 주어진 영역 D는 
영역 D:u2+v21로 변환된다. 따라서 주어진 적분은
(Integral)=2Du2+v2dudv=2

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

주어진 곡면 S에 원판
B:z=0(x2+y29)
를 추가하여 얻은 곡면을 S이라 하자.

그러면 S은 폐곡면이므로 발산정리를 이용할 수 있고 우리가 구하는 면적분은 
(S에 대한 면적분)에서 (B에 대한 면적분)을 뺀 것과 같다.

폐곡면 S의 내부를 E라 하고, S에 대한 면적분을 계산해보면 
발산정리를 이용했을 때
SFndS=EdivFdV=E(x+y+1)dV=E1dV=12×43π×33=18π
임을 알 수 있다. (대칭성을 이용했다.)

B에 대한 면적분은 단위법선벡터 n이 
n=(0,0,1)
이므로, 정의대로 계산했을 때
BFndS=x2+y29(1)dA=9π
이다. 따라서 원래 구하던 면적분은
(Integral)=SFndSBFndS=27π
이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

주어진 미분방정식은 일계 선형 미분방정식이므로 공식을 이용하면
y=ex2(xex2dx+C)=ex2(C12ex2)=Cex212
이다. 이제 x일 때 y0이려면 구한 해에서
ex2
항이 없어야 함을 알 수 있다. (얘가 무한대로 발산하므로)

이 말은 곧 C=0이어야 한다는 말이고, 우리가 구하는 해가
y=12
라는 말과 같다. 이때 y(0)=12이 되는데 선지를 보면
이를 만족하는 선지가 없으므로 정답은 5번이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

양변을 sinx로 나눈 뒤 정리하면 주어진 미분방정식은
ycosxsinxu=2sinxcosx
라는 일계 선형 미분방정식이 되므로, 공식을 이용하면
y=elnsinx(2cosxdx+C)=sinx(C+2sinx)=2sinx+2sin2x
가 구하는 해가 된다. 

이제 y(0)의 값을 구할 것인데, x=0근방에서 sinxx임을 이용하면
주어진 y 대신 2x2+2x를 미분해도 되므로, y(0)=2이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

주어진 함수 f(t)를 단위계단함수를 이용하여 나타내보면
f(t)=t+(ett)u(t1)
이다. 한편 t의 라플라스 변환은 1s2이고 단위계단함수가 포함된 항은
Extra \left or missing \right
로 쓸 수 있으므로, 이 부분의 라플라스 변환은
es(es11s21s)
와 같다. 이 둘을 합치면 
F(s)=1s2+es(es11s21s)
이므로, s=2를 대입하면
F(2)=e134e2+14
임을 얻는다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

주어진 연립미분방정식을 행렬표현이 아닌 연립방정식의 형태로 나타내보면
{y1=3y1+y2y2=3y2
이다. 이때 아래의 식은 y2에 대한 일계 선형 미분방정식이므로 이를 풀면
y2=e3x
임을 얻는다. 이를 첫 식에 대입하면
y1=3y1+e3x
이고 이 또한 y1에 대한 일계 선형 미분방정식이므로 이를 풀면
y1=e3x(x+1)
임을 얻는다. 따라서
y1(1)=2e3y2(1)=e3
이므로 y1(1)×y2(1)=2이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

주어진 행렬의 기약행사다리꼴이 단위행렬이므로, 구하는 랭크는 4이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

두 행렬 A,PAP1은 닮았다. 이 말은 곧 두 행렬의 행렬식과
대각합의 값이 같다는 말이고

i) tr이 같다 : a4=0
ii) det이 같다 : b=0

에서 ab=4이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

모든 고윳값은 행렬식의 값과 같으므로 6이다.

 

 

 

2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

계산해보면 구하는 행렬식의 값은 70이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2024 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

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