[편입] 2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)
안녕하세요 수학올인입니다.
이번 포스팅에선 2020년 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.
풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.
원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 서울과학기술대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.
(서울과학기술대학교 입학처 - 편입학 - 공지사항)
2020년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설은 글 가장 아래에 정리되어 있습니다.
2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답
빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.
2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이
역쌍곡함수의 정의로부터
$$\frac{d}{dx}\sinh^{-1}x= \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$$
이고, 이와 일치하는 것은 $2$번이다.
2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이
주어진 물체의 가속도는
$$\begin{align}
f''(t) &= -\cos t-\sqrt{3}\sin t \\
&= -2\sin\left(t+\frac{\pi}{6}\right)
\end{align}$$
에서 최소일 때는 $t=\frac{\pi}{3}$, 최대일 때는 $t=\frac{4}{3}\pi$이다.
한편
$$f'(t) = \cos\left(t+\frac{\pi}{6}\right)$$
이고, 물체가 이동한 거리 $L$은
$$\begin{align}
L &= \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{4}{3}\pi} |f'(t)|dt \\
&= 2\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3}{2}\pi} |\cos u|du \quad \left(t+\frac{\pi}{6} = u\right) \\
&= 4
\end{align}$$
이다.
2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이
뉴턴-랩슨방법의 점화식은
$$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$
이다. 이때 주어진 근삿값으로부터
$$f(x) = x^3 - 3$$
으로 잡을 수 있으므로 $x_1 = 1$을 대입하여 계산하면
$$x_2 = \frac{5}{3},\quad x_3 = \frac{331}{225}$$
이다.
2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이
$x^2 = t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \frac{1}{2}\int_0^1 t^2 e^t dt \\
&= \frac{1}{2}(t^2 - 2t + 2)e^t \bigg|_0^1 \\
&= \frac{1}{2}e - 1
\end{align}$$
이다.
2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이
심장형 곡선의 성질로부터
$$\begin{align}
& a = \frac{3}{2}\pi \\
& b = 8
\end{align}$$
이므로 $ab = 12\pi$이다.
2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이
$x=a$에서 함수 $f(x)$의 테일러전개는
$$f(x) = f(a) + (x-a)f'(a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + R(x)$$
이다. 이때,
$$R(x) = \frac{f'''(t)}{3!}(x-a)^3$$
이다. 이때 구하는 오차의 한계는
$$|R(x)| \quad (3 \leq x, t \leq 5)$$
가 최대가 될 때이다. 한편
$$|(x-a)^3| \leq 1$$
로 고정되어있고, (구간이 $3\leq x\leq 5$인데 $a$가 정확히 그 중점이므로)
$$\frac{f'''(t)}{3!} = \frac{1}{16} \times t^{-\frac{5}{2}}$$
에서 이 값이 최대가 되려면 $t$가 최소가 되면 되므로 $t=3$이다.
따라서 구하는 오차의 한계는
$$\frac{1}{16} \times 0.064 = 0.004$$
이다.
2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이
직선 $L_1$위의 한 점 $(0,3,-3)$을 지나고 법선벡터가 주어진 두 직선의 방향벡터의 외적인 평면 $P$의 방정식은
$$P : 7x-7z=21$$
이다. 식을 간단히 하여
$$P : x-z = 3$$
이라 하자. 이때 우리가 구하는 거리는 이 평면 $P$와 직선 $L_2$위의 한 점 $(1,-2,4)$와의 거리와 같으므로
$$d = \frac{|1-4-3|}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$$
이다.
2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이
산술기하평균 부등식으로부터
$$\begin{align}
8 &= 4x^2 + y^2 \\
&\geq 4|xy|
\end{align}$$
에서
$$-2\leq xy \leq 2$$
이다. 따라서 최대와 최소의 곱은 $-4$이다.
2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이
변수변환 $x+y=u, x-y=v$로부터 주어진 네 점은 $uv$평면 위의 네 점
$$\begin{align}
& (0,0) \to (0,0) \\
& (1,1) \to (2,0) \\
& (2,0) \to (2,2) \\
& (1,-1) \to (0,2)
\end{align}$$
로 옮겨진다. 한편 $2dxdy = dudv$이므로 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \frac{1}{2}\int_0^2 \int_0^2 ue^{uv}dvdu \\
&= \frac{1}{2} \int_0^2 (e^{2u} - 1)du \\
&= \frac{1}{4}(e^4 - 5)
\end{align}$$
이다.
2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이
주어진 적분은 구면좌표계를 이용하면
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_0^{2\pi} \int_0^{\frac{\pi}{6}} \int_0^2 \rho^4 \sin\phi d\rho d\phi d\theta \\
&= 2\pi \times \frac{32}{5} \times \left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\
&= \frac{32}{5}(2-\sqrt{3})\pi
\end{align}$$
이다.
2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이
가장 먼저 벡터장
$$P(x,y) = \frac{(-y,x)}{x^2 + y^2}$$
를 원점을 포함하는 반시계방향의 폐곡선에 대해 선적분하면 그 값이 $2\pi$임을 생각하자.
그러면 주어진 벡터장은
$$F(x,y) = P(x,y-1) + P(x, y+1)$$
이고 주어진 경로는 두 벡터장 $P(x,y-1) + P(x, y+1)$의 특이점 (평행이동된 $P(x,y)$의 원점)
을 모두 포함하므로 구하는 선적분의 값은 $2\pi + 2\pi = 4\pi$이다.
2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이
$x^2 + y^2 + z^2 = 1$임을 이용하면 주어진 면적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= e^{-1}\iint_S (x,y,z)n dS \\
&= e^{-1}\iint_S (x,y,z)\circ(x,y,z)dS \\
&= e^{-1}\iint_S (x^2 + y^2 + z^2)dS \\
&= e^{-1}\iint_S 1dS \\
&= e^{-1} \times 4\pi
\end{align}$$
이다. (마지막의 $1$에 대한 면적분은 반지름이 $1$인 구면의 겉넓이를 의미하므로 $4\pi$이다.)
2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이
함수 $y(t)$를 시각 $t$에서 탱크 내부의 소금의 양이라고 하면
$$y' = 2 - \frac{2}{50+2t}y$$
가 성립한다. (소금이 $2$만큼 유입되고, 섞인 뒤 $2$만큼 나간다.)
그럼 $y$는 위의 일계 선형 미분방정식을 만족시키고, $y(0)=15$이므로
(소금이 $15$만큼 처음에 들어있으므로)
미분방정식을 풀면
$$\begin{align}
y &= e^{-\ln(t+25)}\left(\int 2(t+25)dt + C\right) \\
&= \frac{1}{t+25}\left(t^2 + 25t + C\right) \\
&= \frac{1}{t+25}\left(t^2 + 25t + 375 \right) \\
\end{align}$$
이다. 한편 분당 탱크에 물이 $2$리터씩 차오르고, 탱크가 꽉 차려면 $50$리터의 물이 필요하므로
물이 꽉 차는 시각은 $t=25$이고, $y(25)=45$이다.
2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이
전원 정답 처리
2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이
ㄱ. 분자가 $2$가 아닌 $s$여야한다.
ㄹ. 단위계단함수 $u(t-\pi)$가 곱해져야한다.
ㅁ. $e^{-as}$여야 한다.
따라서 옳은 것은 두 개이다.
2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이
새로운 함수 $u=y_1 + y_2$를 생각하자.
그러면 조건으로부터 $u(0) = 1$이고 이를 만족하는 보기는 $3, 4$번이다.
한편 주어진 연립미분방정식에 $t=0$을 대입하면 $u'(0) = 5$이다.
$3, 4$번 중 이를 만족하는 보기는 $4$번이다.
2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이
행렬 $A$의 고유특성다항식은
$$\lambda^2 - 4\lambda -5 = 0$$
에서 행렬 $A$의 고유치는
$$\lambda = 5, -1$$
이다. 이를 이용하여 세 행렬 $A^3, -3A + 2I$의 고유치를 구해보면
$$\begin{align}
& A^3 : \lambda = 125, -1 \\
& -3A : \lambda = -15 , 3\\
& 2I : \lambda = 2, 2
\end{align}$$
에서 모든 고유치의 합은 $116$이다.
2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이
우변의 벡터 $(b_1 ,b_2, b_3)^T$는 주어진 행렬의 열공간에 속한다.
한편 $\alpha + \beta$를 물어보고 있으므로, 주어진 행렬의 열공간의 원소 중
$b_1 = b_2$가 되도록 하는 열공간의 원소를 대입하면 된다.
(예를 들어 1열인 $(2,2,-1)^T$ 또는 2열인 $(6,6,-3)^T$를 $(b_1, b_2, b_3)$에 대입하면 된다.)
직접 대입해보면
$$2\alpha + 2\beta = 2 $$
이므로 $\alpha + \beta = 1$이다.
2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이
주어진 $2\times 2$행렬은 단위행렬의 상수배가 아니므로 고유특성다항식이 중근을 가지면 대각화가 불가능하다.
고유특성다항식을 직접 구해보면
$$\lambda^2 - \lambda - (2 + 2c) = 0$$
에서 판별식을 계산해보면
$$D : 1 + 4(2 + 2c) = 0$$
에서 $c=-\frac{9}{8}$이다.
2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이
주어진 행렬의 영공간의 원소라면 곱했을 때 영벡터가 나와야 한다.
선택지의 벡터를 전부 곱해보면 영벡터가 나오는 벡터는 $4$번이다.
마치며
이상으로 2020 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.
오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~
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