[편입] 2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2025년 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 서울과학기술대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(서울과학기술대학교 입학처 - 편입학 - 공지사항)

 

2025년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설은 글 가장 아래에 정리되어 있습니다.

 

 

 

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

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2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

계산해보면 전부 참이므로 정답은 5번이다.

 

 

 

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

지면을 $y=0$이라 하고 가로등을 점 $(0,6)$으로, 사람을 점 $\left(\frac{3}{2}t, 2\right)$으로 생각하자.
그러면 문제 상황을 그림과 같이 나타낼 수 있다.

이제 가로등과 사람을 지나는 직선의 방정식을 구해보면
$$y=-\frac{8}{3t}x+6$$
이고, 이 직선의 $x$절편을 구해보면
$$\left(\frac{9}{4}t, 0\right)$$
이다. 

또, 가로등으로부터 사람까지의 거리는 사람의 $x$좌표에서 가로등의 $x$좌표를 빼준 값인
$$\frac{3}{2}t$$
이고, 사람의 그림자의 길이는 위에서 구한 $x$절편인 $\left(\frac{9}{4}t, 0\right)$의 $x$좌표에서 $\frac{3}{2}t$을 빼준
$$\frac{3}{4}t$$
이며, 기둥으로부터 그림자의 끝까지의 거리는 위에서 구한 $x$절편인 $\left(\frac{9}{4}t, 0\right)$의 $x$좌표
$$\frac{9}{4}t$$
이다.

문제의 조건으로부터 사람이 기둥에서 $10$미터 떨어진 순간은
$$\frac{3}{2}t=10\quad\Longrightarrow\quad t=\frac{20}{3}$$
이므로
$$a=\frac{3}{4}t\bigg|_{t=\frac{20}{3}}=5$$
이고, $b$는 $\frac{9}{4}t$의 변화율인 $\frac{9}{4}$, $c$는 $\frac{3}{4}t$의 변화율인 $\frac{3}{4}$이다.

따라서 
$$a+b+c=5+\frac{9}{4}+\frac{3}{4}=8$$
이다.

 

 

 

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

우선 문제에서 말하는 둘러싸인 영역을 그려보면 다음과 같다.

이때 두 곡선
$$y=\sin x,y=\cos x$$
는 $x=\frac{\pi}{4}$에 선대칭관계에 있다는 사실로부터

i) 위 그림의 좌 우 영역 넓이는 동일함
ii) 문제에서 제시한 영역의 질량중심의 $x$좌표는 $\frac{\pi}{4}$

가 성립한다. 문제에서 제시된 영역의 넓이를 $S$라 하면
$$S = 2\int_0^{\frac{\pi}{4}}(\cos x-\sin x)dx=2(\sqrt{2}-1)$$
이므로 파푸스의 정리를 이용하면 구하는 회전체의 부피 $V$는
$$\begin{align}
    V &= 2\pi \times \frac{\pi}{4}\times S \\
    &= \pi^2(\sqrt{2}-1)
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

직선 $y=x$와 곡선 $y=x^2$로 둘러싸인 영역을 $D$라 하면 영역 $D$의 넓이는
$$\text{Area}(D) = \frac{1}{6}$$
이다. 

이제 질량중심의 $x, y$좌표를 각각 구해보면
$$\begin{align}
    \bar{x} &= \frac{1}{\text{Area}(D)}\iint_D xdydx \\ 
    &= 6\int_0^1 \int_{x^2}^x xdydx \\ 
    &= 6\int_0^1 x^2(1-x)dx \\ 
    &= \frac{1}{2}
\end{align}$$
이고
$$\begin{align}
    \bar{y} &= \frac{1}{\text{Area}(D)}\iint_D ydydx \\ 
    &= 6\int_0^1 \int_{x^2}^x ydydx \\ 
    &= 3\int_0^1 (x^2 -x^4)dx \\ 
    &= \frac{2}{5}
\end{align}$$
이다. 따라서
$$a+b=\frac{1}{2}+\frac{2}{5}=\frac{9}{10}$$
이다.

 

 

 

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

[오류 문항]
입학처로부터 오류 (전원정답 처리)라고 공지된 문항입니다.

 

 

 

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

$x, y$를 각각 $t$로 미분해보면
$$\begin{align}
    \frac{dx}{dt} &= -2\sin t+2\cos 2t \\ 
    \frac{dy}{dt} &= 2\cos t-2\sin 2t
\end{align}$$
이다. 따라서 속력을 $v$라 하면
$$\begin{align}
    v &= \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \\ 
    &= \sqrt{8-8\sin2t\cos t-8\sin t\cos 2t} \\ 
    &= \sqrt{8-8\sin 3t}
\end{align}$$
에서 
$$\sin 3t = 1$$
인 $t$를 모두 찾으면 된다. 이때 주어진 범위를 고려하면 $0\leq 3t\leq 3\pi$이므로
$$3t = \frac{\pi}{2}, \frac{5}{2}\pi$$
가 되어 가능한 모든 $t$의 합은 $\pi$이다.

 

 

 

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

세 점 $\rm{P}, \rm{Q}, \rm{R}$을 지나는 평면의 방정식을 구하자. 이 평면을 $A$라 하면

i) 법선벡터가 $\overrightarrow{\rm{PQ}}\times \overrightarrow{\rm{PR}}$임
ii) 점 $\rm{P}$를 지남

을 만족시켜야 하고, 구해보면 평면 $A$의 방정식은
$$A : 2x-6y+3z+4=0$$
이다. 따라서 구하는 거리 $d$는
$$d = \frac{|4-6-30+4|}{\sqrt{49}}=4$$
이다.

 

 

 

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

문제에서는 높이만 요구하므로 수직방향 (y방향)의 운동만 분석하면 된다.

초기 속력이 $40$이고 지면과 이루는 각이 $\frac{\pi}{3}$이므로 $y$축의 양의 방향 (수직방향)으로의 초기속력은
$$20\sin\frac{\pi}{3} = 20\sqrt{3}$$
이다.

따라서 초기 위치 $x_i$, 초기 속력 $v_i$에 대하여 발사체의 수직방향 위치 $x$는 등가속도운동을 하므로
$$x=x_i + v_it + \frac{1}{2}at^2$$
인데, 초기 높이가 $10$이라고 제시되었으므로 $x_i = 10$이고, 가속도는 $a=g=10$, 위에서 계산한 내용으로부터
초기속도는 $v_i=20\sqrt{3}$이다. 따라서
$$x=10+20\sqrt{3}t-5t^2$$
이다. 이제 이를 미분하면 수직방향 속도 $v$는
$$v = 20\sqrt{3} - 10t$$
이다. 

한편 발사체가 지면으로 가장 높은 순간에서는 수직방향으로의 속도가 $0$일 것이므로
$$v=0\quad\Longrightarrow\quad t=2\sqrt{3}$$
이다. 따라서 이를 위치 식에 대입하면 가장 높이 올라갔을 때의 높이는
$$x(2\sqrt{3}) = 70$$
이다.

 

 

 

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

영역 $D$를
$$D : x^2 + y^2 \leq 1$$
라 하자. 이제 두 연속확률변수 $X, Y$의 결합확률밀도함수를 문제에서 제시된 $f(x ,y)$라 하면
$$\iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y)dxdy = 1$$
을 만족시켜야 하므로
$$\begin{align}
    1 &= \iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y)dxdy \\ 
    &= \iint_D f(x,y)dxdy \\ 
    &= C\int_0^{2\pi} \int_0^1 re^{r^2}drd\theta \\ 
    &= C\times \pi(e-1) 
\end{align}$$
에서 식을 정리하면
$$C = \frac{1}{\pi(e-1)}$$
을 얻는다.

이제 두 연속확률변수 $X, Y$와 이 둘의 결합확률밀도함수를 $f(x, y)$라 했을 때
임의의 실함수 $g(x,y)$에 대하여 기댓값 $\mathbb{E}\left[g(X,Y)\right]$은
$$\mathbb{E}\left[g(X,Y)\right] = \iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y)g(x,y)dxdy$$
와 같으므로, 
$$\begin{align}
    \mathbb{E}\left[X^2+Y^2\right] &= \iint_{\mathbb{R}^2} (x^2 + y^2)f(x,y)dxdy \\ 
    &= \frac{1}{\pi(e-1)}\iint_D (x^2 + y^2)e^{x^2 + y^2}dxdy \\ 
    &= \frac{1}{\pi(e-1)}\int_0^{2\pi} \int_0^1 r^3 e^{r^2}drd\theta \\ 
    &= \frac{1}{e-1}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

경로 $C$는 폐곡선이므로 $C$의 내부를 $D$라 하고 그린정리를 이용하면 주어진 선적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iint_D \sin(y^2)dxdy \\ 
    &= \int_0^1 \int_0^y \sin(y^2)dxdy \\ 
    &= \int_0^1 y\sin (y^2)dy \\ 
    &= \frac{1}{2}(1-\cos 1) \\ 
    &= \sin^2\frac{1}{2}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

문제에서 주어진 곡면을 $S_1$이라 하고, 곡면 $S_2$를
$$z=0\quad (x^2 + 2y^2 \leq 8)$$
라 하자. (법선벡터는 아래 방향임을 주의하자.) 그리고 곡면 $S'$을
$$S ' = S_1 \cup S_2$$
라 하자. 그러면 $S'$은 폐곡면이다.

또, 문제에서 구하는 면적분은 $S_1$에 대한 면적분과 같은데, 이는 곧
($S'$에 대한 면적분) - ($S_2$에 대한 면적분)
과 같으므로, 위의 두 면적분값을 구하자.

i) $S'$에 대한 면적분
$S'$의 내부를 $E$라 하고 발산정리를 이용하면 주어진 면적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iiint_E 3dV \\ 
    &= 3\iint_{x^2+2y^2\leq 8} (8-x^2 - 2y^2) dxdy \\ 
    &= \frac{3}{\sqrt{2}}\iint_{u^2 + v^2\leq 8} (8-u^2 -v^2)dudv \quad \left(x=u, \frac{y}{\sqrt{2}}=v\right) \\ 
    &= \frac{3}{\sqrt{2}}\int_0^{2\pi} \int_0^{2\sqrt{2}} r(8-r^2)drd\theta \\ 
    &= 48\sqrt{2}\pi
\end{align}$$
이다.

ii) $S_2$에 대한 면적분
면적분의 정의대로 계산하면 주어진 면적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= -\iint_{x^2 + 2y^2 \leq 8}dxdy \\ 
    &= -4\sqrt{2}\pi
\end{align}$$
이다.

이상에서 $S_1$에 대한 면적분은
$$\text{(Integral)}=48\sqrt{2}\pi-(-4\sqrt{2}\pi)=52\sqrt{2}\pi$$
이다.

 

 

 

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

ㄱ, ㄴ : curl이 $0$이므로 보존장이다.

ㄷ : 계산해보면 보존장이 아니다.

ㄹ : 계산해보면 보존장이다.



이상에서 보존장의 개수는 3이다.

 

 

 

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

가장 먼저 $x-4=u$로 치환하면 주어진 미분방정식은
$$(u^2-1)\frac{dy}{du} = uy, y\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
일 때 $y(0)$의 값을 구하는 문제가 된다.

이제 식을 변형하면
$$\frac{1}{y}dy = \frac{u}{u^2 - 1}du$$
와 같이 변수분리가 가능하므로 양변을 적분하면
$$\ln |y| = \frac{1}{2}\ln |u^2 - 1| + C$$
에서 초기조건을 이용하면
$$y\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\quad\Longrightarrow\quad C=0$$
이다. 따라서
$$\ln |y| = \ln \sqrt{|u^2 - 1|}$$
이므로
$$y = \sqrt{|u^2 - 1|}$$
가 되어 구하는 값은 $y(0)=1$이다.

 

 

 

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

주어진 미분방정식의 보조방정식을 구해보면
$$(r-4)^2 + 2 = 0$$
에서 근을 구해보면
$$r=4\pm \sqrt{2}i$$
이므로, 주어진 미분방정식의 일반해는
$$y=e^{4x}(c_1\cos\sqrt{2}x + c_2\sin\sqrt{2}x)$$
이다. 이제 초기조건을 이용하면
$$\begin{align}
    y(0)=1&\quad\Longrightarrow\quad c_1 = 1 \\ 
    y\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\pi\right)=0&\quad\Longrightarrow\quad c_2 = 0
\end{align}$$
이므로 주어진 미분방정식의 해는
$$y = e^{4x}\cos\sqrt{2}x$$
이고 구하는 값은 $0$이다.

 

 

 

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

단위계단함수를 이용하여 주어진 미분방정식을 다시 쓰면
$$y'+2y =1-u(t-1)$$
이다. 함수 $y(x)$의 라플라스 변환을 $Y$라 하고 양변을 라플라스변환하면
$$\begin{align}
    Y &= \frac{1}{s+2}\left(\frac{1}{s} - \frac{e^{-s}}{s}\right) \\ 
    &= \frac{1}{s(s+2)}-\frac{e^{-s}}{s(s+2)} \\ 
    &= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{s} - \frac{1}{s+2}\right) - \frac{e^{-s}}{2}\left(\frac{1}{s} - \frac{1}{s+2}\right)
\end{align}$$
이다. 이제 양변을 역변환하면
$$y(x) = \frac{1}{2}(1-e^{-2x})-\frac{1}{2}u(t-1)(1-e^{-2(x-1)})$$
이므로
$$y(2) = \frac{1}{2}(e^{-2}-e^{-4})$$
이다.

 

 

 

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여
$$(xf(x))' = f(x) + xf'(x)$$
임을 이용하자. 

주어진 미분방정식을 다시 쓰면
$$y+xy'=3xe^x + 6x^2$$
에서 위에서 언급한 내용으로부터 좌변은 $xy$의 미분이므로 양변을 적분하면
$$xy = (3x-3)e^x + 2x^3 + C$$
이고, 초기조건을 이용하면 $C=3$이다. 따라서
$$y(x) = \frac{(3x-3)e^x + 2x^3 + 3}{x}$$
이고 양변에 $x\to 0$인 극한을 취하면 구하는 극한값은 $0$이다.

 

 

 

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

두 행렬 
$$\begin{align}
    P &= \begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 2 \\
1 & 1 & 3 
\end{pmatrix} \\ 
Q &= \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 2 
\end{pmatrix}
\end{align}$$
을 생각하면 블록행렬의 행렬식으로부터
$$\begin{align}
    \det A &= \det P \det Q \\ 
    &= 2
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

모든 성분의 합을 구하려면 
$$A\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1 
\end{pmatrix}$$
의 모든 성분의 합을 구하면 되는데
$$\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1 
\end{pmatrix} = 3x_1- 2x_2 + x_3$$
이 성립하므로
$$A(3x_1- 2x_2 + x_3)$$
의 모든 성분의 합을 구하면 된다.

이때 두 벡터 $x_2, x_3$의 모든 성분의 합은 $0$이므로 실질적으로
$$A(3x_1- 2x_2 + x_3)$$
의 모든 성분의 합은
$$A(3x_1)$$
의 모든 성분의 합과 같고, $x_1$은 $\lambda = 1$에 대응되는 고유벡터이므로
$$A(3x_1) = 3x_1$$
이 되어 모든 성분의 합은 $3$이다.

 

 

 

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

$a+b+c+d$의 값을 구해야 하는데, $a, b, c, d$를 각각 구하거나 $a+b+c+d$가 한 번에 구해질 것 같지는 않다.
따라서 두 개의 합을 구한 뒤 그 두 개의 합을 계산할 것이다.

이 전략에 주목하여 직교행렬의 성질 (행 또는 열간의 내적이 0)을 이용할 행 또는 열을 내적했을 때 
$a, b, c, d$ 각각이 같은 부호가 나오도록 정한다.

i) 1행과 4행의 내적이 0
내적해보면
$$\frac{a+d-1}{2} =0$$
에서 
$$a+d=1$$
이다.

ii) 2행과 3행의 내적이 0
마찬가지로 내적해보면
$$\frac{b+c+1}{2} = 0$$
에서
$$b+c=-1$$
이다.



이상에서
$$a+b+c+d=0$$
이다.

 

 

 

2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

(ㄱ) 
행렬식의 성질로부터 맞다.

(ㄴ) 
$k$가 우변이 아닌 좌변에 붙어야 한다. 따라서 거짓이다.

(ㄷ)
행렬식의 성질로부터 맞다.

(ㄹ)
둘은 필요충분조건이므로 맞다.



이상에서 옳은 것의 개수는 3이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2025 서울과학기술대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

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