2024학년도 6월 모의고사 미적분 30번 풀이 (240630 풀이)

2024학년도 6월 모의고사 미적분 30번 풀이 (240630 풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에서는 2024학년도 6월 모의고사 미적분 30분 문제를 다뤄보겠습니다.

 

 

 

문제

2024학년도 6월 모의고사 미적분 30번

 

 

 

풀이

(나)조건으로부터, 만약 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n < 0$이라면 합이 양수일 수 없다. 

따라서 어떤 자연수 $n$에 대해서 $a_n > 0$이다.

 

또, (가)조건으로부터, 만약 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n > 0$이라면 합이 음수일 수 없다.

 

위를 종합하면 수열 $a_n$의 공비는 음수이다. 

 

한편 $b_3 < 0$이므로 이는 곧 $a_3 \leq -1$임을 의미하고, 따라서 $a_1 \leq -1 < 0$을 의미한다.

 

그러면 수열 $a_n$을

$$a_n = ar^{n-1}\quad (a<0, r<0)$$

이라 하면, $a_{2n} > 0$이므로 $b_{2n} = a_{2n}$이다.

 

이제 (나)조건으로부터 

$$\frac{ar}{1-r^2} = 8$$

이 성립한다.

 

한편 (가)조건을 관찰하면 이미 $b_1 = b_3 = -1$임을 알고 있는데, 만약 $b_5 = -1$이라면

주어진 급수의 합이 $-3$일 수 없다. ($a_n$의 홀수항은 전부 음수기 때문에 $-3$보다 작아지기 때문이다.)

 

그러면 $-1 < a_5 < 0$임을 알 수 있고, (가)를 다시 쓰면

$$b_1 + b_3 + \sum_{n=3}^\infty b_{2n-1} = -3\quad\Longrightarrow\quad \frac{ar^4}{1-r^2} = -1$$ 

이고 (나)에서 얻은 식과 연립하면 

$$a = -12 \quad r=-\frac{1}{2}$$

를 얻는다. 따라서 수열 $a_n$의 일반항은

$$a_n = 24\left(-\frac{1}{2}\right)^n$$

이므로

$$\sum_{n=1}^\infty |a_n| = 24$$

이다.

 

 

 

미적분 30번 문항에서 급수를 다룬 문제라 신선함을 많이 받았고, 재밌게 푼 것 같습니다.