편입수학 기출문제 풀이/중앙대(공대 및 수학과)

[편입] 2022 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

수학올인 2024. 2. 16. 23:41

[편입] 2022 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에선 2022년 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 중앙대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(중앙대학교 입학처 - 편입학 - 기출문제)

2022 중앙대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

2022 중앙대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

테일러전개를 이용하면
$$\begin{align}
    \sec x &= \frac{1}{\cos x} \\ &= \frac{1}{1-(1-\cos x)} \\
    &\approx \frac{1}{1-\left(\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4!}\right)} \\
    &\approx 1 + \left(\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4!}\right) + \left(\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4!}\right)^2 + \cdots \\
    &\approx 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + \cdots
\end{align}$$
가 성립하므로, 구하는 값은 $1 + \frac{1}{2} + \frac{5}{24} = \frac{41}{24}$이다.

2022 중앙대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

(이 포스팅)을 참고하면 구하는 길이는 $\frac{1}{4}\times 6 = \frac{3}{2}$이다.

2022 중앙대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

주어진 식은 아마도 회전된 타원일것인데, $y$의 최대와 최소는 전부
$$\frac{dy}{dx} = 0$$
인 점에서 발생한다. 따라서 해당 지점을 구해보면
$$\begin{align}
    \frac{dy}{dx} &= -\frac{f_x}{f_y} \\
    &= -\frac{10x+2y}{10y+2x}\\
    &= 0
\end{align}$$
에서 주어진 곡선 위에 있음과 동시에
$$x=-\frac{y}{5}$$
를 만족시키는 점에서 기울기가 $0$이 된다.

이를 주어진 원래 식에 대입하면
$$\frac{y^2}{5} - \frac{2}{5}y^2 + 5y^2 = 12$$
에서 식을 정리하면
$$y^2 = \frac{5}{2}$$
이므로, 최댓값과 최솟값의 차는 $\sqrt{10}$이다.

2022 중앙대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

주어진 행렬의 고유치는
$$\lambda = 2, -1, -1$$
이므로, 역행렬의 고유치는
$$\lambda = \frac{1}{2}, -1, -1$$
이다. 이제 어떤 행렬의 대각합은 모든 고유치의 합과 같음을 이용하면 구하는 값은 $-\frac{3}{2}$이다.

2022 중앙대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

(이 포스팅)을 참고하면 주어진 반원 내부의 질량중심의 좌표는
$$(\bar{x}, \bar{y}) = \left(0, \frac{20}{3\pi}\right)$$
이고, 반원의 넓이 $S$는
$$S = \frac{\pi}{2}$$
이므로, 파푸스의 정리를 이용하면 구하는 회전체의 부피 $V$는
$$\begin{align}
V &= 2\pi \times S \times \frac{20}{3\pi} \\
&= \frac{20\pi}{3}
\end{align}$$
이다.

2022 중앙대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

(가)
테일러전개로부터 $n$이 충분히 크면
$$\ln\left(1 - \frac{1}{n^2 - 1}\right) \approx \frac{1}{n^2 - 1}$$
이 성립하므로, $p$급수 판정법으로부터 수렴한다.

(나)
시그마 내부의 합에 대한 부분을 다음과 같이 근사시킬 수 있다.
$$\begin{align}
    1 + \frac{1}{\sqrt{2}} +\cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} &= \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} \\
    &\approx \int_1^n \frac{1}{\sqrt{x}}dx \\
    &\approx \sqrt{n}
\end{align}$$
따라서 주어진 급수는
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\sqrt{n}}$$
으로 근사시킬 수 있고 $p$급수 판정법으로부터 수렴한다.

(다)
테일러전개로부터 $n$이 충분히 크면
$$\begin{align}
    \ln\left(\frac{n+1}{n}\right) & = \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \\
    &\approx\frac{1}{n}
\end{align}$$
이 성립하므로, 주어진 급수를
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\sqrt{n}}$$
으로 근사시킬 수 있다. 따라서 $p$급수 판정법으로부터 수렴한다.

(라)
테일러전개로부터 $n$이 충분히 크면
$$\sin\left(\frac{1}{n}\right) \approx \frac{1}{n}$$
이므로, $p$급수 판정법으로부터 발산한다.

이상에서 수렴하는 급수의 개수는 $3$이다.

2022 중앙대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

$x=0$근방에서 다음이 성립한다,
$$(1+x)^{\frac{1}{n}} = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \cdots$$
이제 문제에서 주어진 경우는 $n=3$이고 $x$대신 $x^2$이 대입된 경우이므로 계산해보면
$$\sqrt[3]{1+x^2} = \cdots + \frac{5}{81}x^6 + \cdots$$
이 성립하므로 구하는 값은
$$f^{(6)}(0) = 6! \times \frac{5}{81} = \frac{400}{9} $$
이다.

2022 중앙대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

원점과 주어진 두 점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$를 지나는 직선의 방정식을 구해보면
$$l(t)=(t+1,2,3-t)$$
이다. 이제 이 직선 $l(t)$와 점 $\mathrm{P}$를 모두 포함하는 평면을 생각하면 다음과 같다.

이제 삼각형 $\mathrm{ABP}$의 넓이를 구하려면 밑변과 높이를 각각 알아야 한다.
그런데 밑변을 $\mathrm{AB}$로 보면 밑변의 길이가 고정되어 있으므로 높이를 최대로 만들면 되고
이는 곧 직선 $\mathrm{OP}$가 $l(t)$와 수직일 때이다.
따라서 높이는 직선 $l(t)$와 점 $\mathrm{O}$ 사이의 거리에 $\sqrt{3}$을 더해준 값이다.

이제 밑변과 높이를 각각 구하자.

i) 밑변
$$\overline{\mathrm{AB}}=2\sqrt{2}$$
이다.

ii) 높이
직선 $l(t)$와 점 $\mathrm{O}$사이의 거리 $d$를 구하기 위해 직선 $l(t)$위의 점 $\mathrm{X}$에 대하여
직선 $l(t)$의 방향벡터와 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{OX}}$의 내적이 $0$이도록 하는 $\mathrm{X}$를 찾자.
점 $\mathrm{X}$의 좌표를 $\mathrm{X}(t+1,2,3-t)$라 하면
$$(1,0,-1)\circ (t+1,2,3-t)\quad\Longrightarrow\quad t=1$$
에서 $\mathrm{X}(2,2,2)$이다. 따라서 거리 $d$는
$$d=\overline{\mathrm{OX}}+\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$$
이다.

이상에서 구하는 삼각형의 넓이의 최댓값은
$$\frac{1}{2}\times 2\sqrt{2}\times 3\sqrt{3} = 3\sqrt{6}$$
이다.

2022 중앙대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

행렬식의 성질 및 라플라스 전개를 이용하여 행렬식을 계산할 것인데
가장 먼저 3, 4열을 보면 $\pi, e$가 포함되어 있으므로
3, 4열은 조작의 대상에서 제외해야함을 눈치껏 알 수 있다.

1열과 2열의 관계를 살펴보면, 2열에 $-25$배를 한 뒤 1열에 더해주면 구하는 행렬식은
$$\begin{align}
&\det \begin{pmatrix}
78 & 3 & \pi & \sqrt{2} \\
1675 & 67 & 6 & e \\
3025 & 121 & 11 & 5 \\
1100 & 44 & 44 & 2
\end{pmatrix}\\
&= \det \begin{pmatrix}
3 & 3 & \pi & \sqrt{2} \\
0 & 67 & 6 & e \\
0 & 121 & 11 & 5 \\
0 & 44 & 44 & 2
\end{pmatrix} \\
&= 3\det \begin{pmatrix}
67 & 6 & e \\
121 & 11 & 5 \\
44 & 4 & 2
\end{pmatrix} \\
&= 3\det \begin{pmatrix}
1 & 6 & e \\
0 & 11 & 5 \\
0 & 4 & 2
\end{pmatrix} \\
&= 3\det \begin{pmatrix}
11 & 5 \\
4 & 2
\end{pmatrix} \\
&= 3\times 2 \\
&= 6
\end{align}$$
이다.

2022 중앙대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

$T$의 치역이 평면을 이루므로 일차독립인 두 열벡터를 고른 뒤 외적하여 얻은 벡터가 법선벡터이고
원점을 지나는 평면의 방정식을 찾으면 그것이 곧 $T$의 치역이다.

2, 3열의 열벡터를 외적하여 평면의 방정식을 구해보면
$$P : x-4y+z = 0$$
임을 얻는다.

이제 이 평면의 법선벡터를 방향벡터로 하고 점 $(1,1,1)$을 지나는 직선의 방정식을 구해보면
$$l(t) = (t+1,-4t+1,t+1)$$
이다.

이때 이 직선은

i) $t=0$일 때 주어진 점을 지남
ii) $t=\frac{1}{9}$일 때 평면 위를 지남

을 만족시키므로 $t=\frac{2}{9}$일 때 대칭점을 지난다. 따라서
$$a+b+c=-2t+3\bigg|_{t=\frac{2}{9}} = \frac{23}{9}$$
이다.

2022 중앙대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

행렬 $A$의 고유치를 $a, b$라 하자. 그러면
$$\begin{align}
    p(t) &= (t-a)(t-b) \\
    q(t) &= (t-a^3)(t-b^3)
\end{align}$$
이다.

이제
$$q(0)=-216\quad\Longrightarrow\quad ab=-6$$
임을 얻고
$$ q(1)=-234 \quad\Longrightarrow\quad 1+a^3b^3 - (a^3 + b^3) = -234$$
에서 위에서 얻은 $ab=-6$을 대입하면
$$a^3 + b^3 = 19$$
임을 얻는다.

따라서 연립방정식
$$\begin{cases}
    ab=-6\\
    a^3 + b^3 = 19
\end{cases}$$
를 풀면
$$\begin{cases}
    (a,b)=(3, -2) \\
    (a,b)=(-2,3)
\end{cases}$$
이고, 둘 중 어느 경우든
$$p(1)=-6$$
임을 얻는다.

2022 중앙대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

변수변환
$$\begin{cases}
    \frac{y}{x} = u \\
    xy = v
\end{cases}$$
를 이용하면
$$\begin{cases}
    1\leq u\leq e \\
    1\leq v\leq 7
\end{cases}$$
이므로 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \frac{1}{2}\int_1^7 \int_1^e \frac{u}{v}dvdu \\
    &= 12
\end{align}$$
이다.

2022 중앙대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

가장 먼저 $u_1 = w_1$이고 직교화만 하면
$$\begin{align}
    u_2 &= w_2 - u_1 \\
    &= \begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이다. 이제 크기를 $1$로 만들어주면
$$u_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}$$
이다. 마지막으로
$$\begin{align}
    u_3 &= w_3 - \left(u_1 - \begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}\right) \\
&= \begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
-1 \\
1
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이고, 마찬가지로 크기를 $1$로 만들어주면
$$u_3 = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
-1 \\
1
\end{pmatrix}$$
이다. 이상에서
$$a=\frac{1}{\sqrt{2}}, b=0, c=\frac{1}{\sqrt{3}}, d=-\frac{1}{\sqrt{3}}$$
이므로
$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = \frac{7}{6}$
이다.

2022 중앙대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

먼저 다음과 같이 상황을 그릴 수 있다.

이제 외접, 내접하는 정 $n$각형의 넓이를 각각 $S_n, T_n$이라 하자.

외접하는 정 $n$각형의 경우 밑변이 $1$, 높이가 $\tan\frac{\pi}{n}$인 삼각형이 $2n$개 있으므로
$$S_n = 2n\times \frac{1}{2}\times 1\times \tan\frac{\pi}{n}$$
이다.

내접하는 정 $n$각형의 경우 그림의 작은 삼각형이 $n$개 있으므로
$$T_n = n\times \frac{1}{2}\times1\times1\times\sin\frac{2\pi}{n}$$
이다.

따라서 주어진 극한은
$$\begin{align}
    \text{(Limit)} &= \lim_{n\to\infty}n^k (S_n - T_n) \\
    &= \lim_{n\to\infty}n^k\left(n\tan\frac{\pi}{n} - \frac{n}{2}\sin\frac{2\pi}{n}\right) \\
    &= \lim_{x\to 0+} \frac{1}{x^{k+1}}\left(\tan \pi x- \frac{1}{2}\sin2\pi x\right)\quad \left(n=\frac{1}{x}\right) \\
    &\approx \lim_{x\to 0+} \frac{\pi^3 x^3 + \cdots}{x^{k+1}}
\end{align}$$
이므로
$$k=2, \alpha = \pi^3$$
이므로
$$\alpha^k = \pi^6$$
이다.

2022 중앙대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

점 $(1,1,0)$에서 주어진 곡면 위의 점 $(x,y,z)$에 그은 접선들의 접점이 놓이는 평면을 먼저 구하자.

점 $(x,y,z)$에서의 경도벡터와 두 점 $(1,1,0), (x,y,z)$를 지나는 두 벡터는 수직이므로
$$(2x,2y,-1)\circ(x-1,y-1,z)=0$$
에서
$$2x^2 + 2y^2 -2x-2y-z=0$$
을 얻는다. 그런데 점 $(x,y,z)$는 주어진 곡면 위의 점이므로 $z=x^2+y^2$도 만족시킨다. 이를 대입하면
$$2x+2y-z=0$$
을 얻는다. 즉, 모든 접점들은 위의 평면에 놓이고, 특히 $z=x^2 + y^2$을 대입하면 $xy$평면 위의 영역
$$D : (x-1)^2 + (y-1)^2 = 2$$
에 존재한다.

이제 우리가 구하는 부피는

접선들과 평면 $2x+2y-z=0$으로 둘러싸인 영역의 부피
에서
곡면 $z=x^2+y^2$와 평면 $2x+2y-z=0$으로 둘러싸인 영역의 부피
를 빼준 넓이와 같음을 이용하자.

i) 접선들과 평면 $2x+2y-z=0$으로 둘러싸인 영역의 부피
평면 $2x+2y-z=0$에서 접점들로 둘러싸인 영역을 $xy$평면으로 사영한 영역 $D$가 원이므로
평면 $2x+2y-z=0$위에서 접점들로 둘러싸인 영역은 타원이 된다.
즉, 이 입체도형은 타원뿔이다.

이제 평면 $2x+2y-z=0$와 $xy$평면이 이루는 각을 $\theta$라 하면 $\cos\theta = \frac{1}{3}$이므로
평면 $2x+2y-z=0$위에서 접점들로 둘러싸인 영역의 넓이 $A$는 정사영을 이용하면
$$A = 2\pi\times\sec\theta = 6\pi$$
이다.

또, 원점에서 해당 평면까지의 거리는
$$d = \frac{4}{3}$$
이므로, 이 타원뿔의 부피는
$$\frac{1}{3}\times \frac{4}{3}\times 6\pi = \frac{8}{3}\pi$$
이다.

ii) 곡면 $z=x^2+y^2$와 평면 $2x+2y-z=0$으로 둘러싸인 영역의 부피
평면에서 곡면을 빼준 뒤 영역 $D$ 위에서 이중적분하면
$$\iint_D (2x-x^2 + 2y-y^2)dxdy = 2\pi$$
이다.

따라서 구하는 부피 $V$는 둘끼리 뺀
$$V = \frac{8}{3}\pi - 2\pi = \frac{2}{3}\pi$$
이다.

2022 중앙대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

테일러전개를 이용하면 주어진 극한은
$$\begin{align}
\text{(Limit)} &= \lim_{x\to 0} \frac{\left(x-\frac{x^3}{6}\right) - \left(x - \frac{x^3}{3}\right)}{x^3} \\
&= \frac{1}{6}
\end{align}$$
이다.

2022 중앙대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

구하는 값은 점 $\mathrm{P}$가 원점에 가장 가까울 때 최소가 된다. 이를 그림으로 나타내면 다음과 같다.

이때 $\mathrm{\overline{PA}}=\mathrm{\overline{PB}}$이고 $\angle \mathrm{OPA} = \angle \mathrm{OPB}=\theta$임에 주목하자.

$\mathrm{\overline{OP}}$의 최소를 구하자. 원점으로부터 점 $\mathrm{P}$까지의 거리는
$$\sqrt{x^2 + \frac{2}{(x-1)^2}}$$
이고, 루트 안에 있는 함수를 미분한 값이 $0$이 되는 지점을 찾아보면
$$2x - \frac{4}{(x-1)^3} = 0$$
에서 $x=2$일때 거리가 $\sqrt{6}$으로 최소이다.

따라서 피타고라스 정리를 이용하면
$$\mathrm{\overline{PA}}=\mathrm{\overline{PB}}=\sqrt{5}$$
이고
$$\cos\theta = \cos \angle \mathrm{OPA} = \sqrt{\frac{5}{6}}$$
이다.

위에서 얻은 정보들을 이용하면 구하는 값은
$$\begin{align}
    \mathrm{\overrightarrow{PA}}\circ \mathrm{\overrightarrow{PB}} &= \mathrm{\overline{PA}}^2 \cos 2\theta \\
    &= 5(2\cos^2\theta - 1) \\
    &= \frac{10}{3}
\end{align}$$
이다.

2022 중앙대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

직접 미분해보면
$$f_x = 2xe^{(x^2 + y^2)^2} - ye^{(xy)^2}$$
이 성립하므로, $x=1, y=1$을 대입하면 구하는 값은
$$f_x (1,1) = 2e^4 - e$$
이다.

2022 중앙대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

구하는 적분을 다음과 같은 두 적분
$$\begin{align}
    I &= \int_0^{\infty} \frac{x}{1+x^4}dx \\
    J &= \int_0^{\infty} \frac{x\ln x}{1+x^4}dx
\end{align}$$
의 합으로 생각해보자. $I$를 먼저 계산해보면
$$\begin{align}
    I &= \int_0^{\infty} \frac{x}{1+x^4}dx \\
    &= \frac{1}{2}\int_0^{\infty} \frac{1}{1+t^2}dt \quad (x^2 = t) \\
    &= \frac{\pi}{4}
\end{align}$$
이다.

이제 $J$를 계산해보면
$$\begin{align}
    J &= \frac{1}{4}\int_0^{\infty} \frac{4x\ln x}{1+x^4}dx \\
    &= \frac{1}{4}\int_0^{\infty} \frac{2x \ln(x^2)}{1+x^4}dx \\
    &= \frac{1}{8} \int_0^{\infty} \frac{\ln t}{1+t^2}dt\quad (x^2 = t)
\end{align}$$
이므로,
$$\int_0^{\infty} \frac{\ln x}{1+x^2}dx$$
을 계산하면 $J$의 값을 찾을 수 있다.

이제 위의 적분값을 $K$라고 하면
$$\begin{align}
    K &= \int_0^{\infty} \frac{\ln x}{1+x^2}dx \\
    &= -\int_0^{\infty} \frac{\ln t}{1+t^2}dt \quad \left(\frac{1}{x} = t\right) \\
    &= -K
\end{align}$$
에서 $K=0$이다. 따라서 $J=0$이므로, 문제에서 주어진 적분은
$$\text{(Integral)} = I +J = \frac{\pi}{4}$$
이다.

2022 중앙대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

$f(x,y)=x^4 + y^4 - 16 = 0$이라고 하자.

일계편도함수를 구해보면
$$\begin{align}
    f_x &= 4x^3 \\
    f_y &= 4y^3
\end{align}$$
이고, 이계편도함수를 구해보면
$$\begin{align}
    f_{xx} &= 12x^2 \\
    f_{yy} &= 12y^2 \\
    f_{xy} &= 0
\end{align}$$
이다. 이제 $x=1$이면 $y=15^{\frac{1}{4}}$이고, (이 포스팅)을 참고하면
$$\begin{align}
    \frac{d^2 y}{dx^2} &= \frac{(f_x)^2 f_{yy} - 2f_xf_yf_{xy} + (f_y)^2 f_{xx}}{-(f_y)^3} \\
    &= \frac{16x^6 \times 12y^2 + 16y^6 \times 12x^2}{-64y^9} \\
    &= -\frac{3x^6 y^2 + 3x^2 y^6}{y^9} \\
    &= -\frac{3x^2 y^2}{y^9}\times (x^4 + y^4) \\
    &= -\frac{3x^2}{y^7} \times 16 \\
    &= -\frac{3\times 2^4}{3^{\frac{7}{4}} \times 5^{\frac{7}{4}}} \\
    &= -\frac{2^4}{3^{\frac{3}{4}} \times 5^{\frac{7}{4}}}
\end{align}$$
이다.

2022 중앙대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이

구하는 회전체의 부피 $V$는
$$\begin{align}
    V &= 2\pi\int_0^1 x(x^4 - x^5)dx \\
    &= 2\pi\left(\frac{1}{6} - \frac{1}{7}\right) \\
    &= \frac{\pi}{21}
\end{align}$$
이다.

2022 중앙대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이

먼저 다음이 성립한다.
$$\sum_{n=0}^{\infty} x^{n+2} = \frac{x^2}{1-x}$$
이제 양변을 두 번 미분하면
$$\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)x^n = \frac{2}{(1-x)^3}$$
이 성립하고, 위 식에 $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$를 대입하면 구하는 값이 된다.

직접 대입 후 계산해보면 구하는 값은 $40+28\sqrt{2}$이다.

2022 중앙대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이

가장 먼저 $\det (A^k) = (\det A)^k = 3^k$가 성립한다. 이제
$$\sum_{n=1}^{\infty} nx^n = \frac{x}{(1-x)^2}$$
임을 이용하면 구하는 급수의 값은
$$\begin{align}
\text{(Sum)} &= 4\sum_{n=1}^{\infty} n\left(\frac{3}{4}\right)^n \\
&= 16\times 3 = 48
\end{align}$$
이다.

2022 중앙대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이

주어진 행렬의 고유특성다항식을 구해보면
$$\lambda^3 - 83\lambda - 30 = 0$$
이다. 따라서
$$A^3 - 83A - 30I = O$$
가 성립하므로
$$A^3 - 81A = 2A + 30I$$
임을 이용하면
$$\begin{align}
\det (A^3 - 81A) &= \det (2A + 30I) \\
&= 2^7 \times 3^3 \times 5
\end{align}$$
이다.

2022 중앙대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이

접평면을 구하기 위해 주어진 점에서 함수
$$f(x,y,z)=x^2 - xyz+z^3 - 1 = 0$$
의 경도벡터를 구해보면
$$\nabla f = (1,-1,2)$$
이다. 이제 이를 경도벡터로 하고 주어진 한 점을 지나는 평면의 방정식은
$$P : x-y+2z = 2$$
이다.

이제 이 평면과 $z$축의 교점은 $x=y=0$을 대입한 뒤 $z$에 대해 풀면 되므로
직접 계산해보면 $z=1$을 얻는다. 즉, 구하는 교점은 $(0,0,1)$이다.

2022 중앙대학교 편입수학 기출문제 26번 풀이

주어진 선형변환의 표현행렬은
$$T = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 0 \\
3 & 0 & 2
\end{pmatrix} $$
이다.

이제 제약조건이 $x^2 + y^2  + z^2 = 1$이므로,
구하는 최솟값은 행렬 $T$의 고유치 $\lambda$에 대하여 $|\lambda|$의 최솟값이다.

직접 고유치를 구해보면
$$\begin{align}
    &\lambda_1 = 5 \\
    &\lambda_2 = -\frac{1}{2}(1+\sqrt{13}) \\
    &\lambda_3 = \frac{1}{2}(\sqrt{13} - 1)
\end{align}$$
이므로, 구하는 최소는
$$ \frac{1}{2}(\sqrt{13} - 1)$$
이다.

2022 중앙대학교 편입수학 기출문제 27번 풀이

적분순서를 변경하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^1 \int_0^{y^2} \sqrt{y^3 + 2}dxdy \\
    &= \int_0^1 y^2 \sqrt{y^3 + 2}dy \\
    &= \frac{2}{3}\sqrt{3} - \frac{4}{9}\sqrt{2}
\end{align}$$
이다.

2022 중앙대학교 편입수학 기출문제 28번 풀이

주어진 벡터장은 보존적이고, 포텐셜함수는
$$f(x,y) = 3x+x^2 - y^3$$
이다. 따라서 선적분의 기본정리를 이용하면 주어진 선적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= f(x,y)\bigg|_{(0, 1)}^{(0, -e^{\pi})} \\
&= e^{3\pi} + 1
\end{align}$$
이다.

2022 중앙대학교 편입수학 기출문제 29번 풀이

주어진 영역 $R$의 내부를 $E$라 하자.
경계곡면 $S$는 폐곡면이므로 발산정리를 이용하면 주어진 면적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iiint_E \text{div} F dV \\
    &= \iint_{x^2 + y^2 \leq 1} \int_0^3 e^{x^2 + y^2}(3+2(x^2 + y^2))dzdxdy \\
    &= 3\int_0^{2\pi} \int_0^1 re^{r^2}(3+2r^2)drd\theta \\
    &= 3\pi(3e - 1)
\end{align}$$
이다.

2022 중앙대학교 편입수학 기출문제 30번 풀이

주어진 행렬 $A$의 고윳값이
$$\lambda = 3,2,1$$
임을 알 수 있으므로, 행렬 $A^3$의 고윳값은
$$\lambda = 27, 8, 1$$
이다. 따라서 구하는 대각합은 고유치의 합인 $36$이다.

마치며

이상으로 2022 중앙대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~