[편입] 2021 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2021 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2021년 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 중앙대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(중앙대학교 입학처 - 편입학 - 기출문제)

 

 

 

2021 중앙대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

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2021 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2021 중앙대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

유리화를 이용하면 주어진 극한은
$$\begin{align}
    \text{(Limit)} &= \lim_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3(\sqrt{a+\tan x} + \sqrt{a+\sin x}} \\ 
    &= \frac{1}{2\sqrt{a}} \times \frac{1}{2} \\ 
    &= \frac{1}{4\sqrt{a}} \\ 
    &= \frac{1}{32}
\end{align}$$
에서 $a=64$이다.

 

 

 

2021 중앙대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

행렬 $A$의 고유치를 $\alpha, \beta$라 하자. 그러면
$$\begin{align}
     \alpha + \beta &= 2 \\ 
    \alpha\beta &= -1
\end{align}$$
이 성립한다. (근과 계수의 관계)

그러면 행렬 $A^n$의 고유치는 $\alpha^n, \beta^n$이므로, 주어진 급수는
$$\begin{align}
    \text{(Sum)} &= \sum_{k=0}^{\infty} \left(\left(\frac{\alpha}{4}\right)^k + \left(\frac{\beta}{4}\right)^k\right) \\ 
    &= \frac{1}{1-\frac{\alpha}{4}} + \frac{1}{1-\frac{\beta}{4}} \\ 
    &= 4\times \frac{8-(\alpha + \beta)}{16-4(\alpha+\beta)+\alpha\beta} \\ 
    &= \frac{96}{7}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2021 중앙대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

행렬 $A$를 단위행렬로 잡자. 즉, $a_1 = b_2 = c_3 = d_4 = 1$이라 하자.
(나머지는 전부 $0$이다.)

그러면 문제에서 주어진 등식의 좌변은
$$\det \begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0 
\end{pmatrix} = 3$$
이고, 우변은 $k\det A = k\times 1 = k$이므로 $k=3$이다.

 

 

 

2021 중앙대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

주어진 연립방정식을 행렬로 나타낸 뒤 기본행연산을 적당히 적용하면
$$\begin{pmatrix}
1 & 1 & 2 & -3 \\
0 & -1 & -1 & 6-2a \\
0 & 0 & 0 & a^2-14a+33 
\end{pmatrix}$$
가 된다. 이제 좌측의 $3\times 3$크기의 행렬의 랭크와 첨가행렬의 랭크가 같으면서 
동시에 랭크가 $3$보다는 작아야 한다. 이를 만족시키려면
$$a^2-14a+33 = 0$$
을 만족시켜야 하며, 근과 계수의 관계를 이용하면 모든 $a$의 곱은 $33$이다.

 

 

 

2021 중앙대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

구하는 값이 최소가 되는 상황은 점 $\mathrm{P}$가 원의 중심과 가장 가까운 순간이다.

이 순간을 그림으로 나타내면 다음과 같다.

그림과 같이 $\angle\mathrm{OPA}=\angle{\mathrm{OPB}}=\theta$이고 $\mathrm{\overline{PA}} = \mathrm{\overline{PB}}$임을 주목하자.

점과 직선 사이의 거리 공식을 이용하면
$$\mathrm{\overline{OP}}=\frac{6}{\sqrt{13}}$$
이므로 피타고라스 정리를 이용하면
$$\mathrm{\overline{PA}} = \mathrm{\overline{PB}} = \sqrt{\frac{23}{13}}$$
이고, 
$$\cos\theta = \frac{\sqrt{23}}{6}$$
이다. 따라서
$$\cos2\theta = 2\cos^2 \theta - 1 = \frac{5}{18}$$
이다. 이로부터 구하는 값은
$$\begin{align}
    \mathrm{\overrightarrow{PA}}\circ \mathrm{\overrightarrow{PB}} &= \mathrm{\overline{PA}}^2 \cos2\theta \\ 
    &= \frac{23}{13}\times \frac{5}{18} \\ 
    &= \frac{115}{234}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2021 중앙대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

선형변환의 치역으로 제시된 벡터의 세 번째 성분을 이용하면
$$3\begin{pmatrix}
2 \\
9 \\
0 
\end{pmatrix}- 2\begin{pmatrix}
3 \\
3 \\
4 
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 \\
21 \\
-8 
\end{pmatrix}$$
임을 바로 알 수 있다. 따라서 선형성을 이용하면
$$\begin{pmatrix}
a \\
b 
\end{pmatrix} = 3\begin{pmatrix}
-1 \\
1 
\end{pmatrix} -2 \begin{pmatrix}
0 \\
1 
\end{pmatrix}$$
이므로
$$a+b = 3\times0 + (-2)\times 1 = -2$$
이다.

 

 

 

2021 중앙대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

$\cos^4x$로 분자 분모를 나누면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{\tan x\sec^2 x}{1+\tan^4 x}dx \\ 
    &= \frac{1}{2}\int_0^{\frac{1}{3}} \frac{1}{1+t^2}dt \quad (\tan^2 x=  t) \\ 
    &= \frac{1}{2}\tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) \\ 
    &= \alpha
\end{align}$$
이므로
$$\begin{align}
    \sin(2\alpha) &= \sin\left(\tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\right) \\ 
    &= \frac{\sqrt{10}}{10}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2021 중앙대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

주어진 곡선 $C$는 폐곡선이다. $C$의 내부를 $D$라 하고 그린정리를 이용하면 주어진 선적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iint_D y dA \\ 
    &= 4\times \frac{8}{3} \\ 
    &= \frac{32}{3}
\end{align}$$
이다. (주어진 영역이 삼각형이므로 무게중심을 이용한 것이다.)

이때 주어진 곡선 $C$의 방향이 시계방향이므로 부호를 보정해주면 최종적으로 구하는 적분값은
$$\text{(Integral)} = -\frac{32}{3}$$
이다.

 

 

 

2021 중앙대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

$x=0$ 근방에서
$$(1+x^5)^{30} = 1+30x^5 + \frac{30\times29}{2}x^{10} + \cdots$$
이므로
$$\frac{f^{(10)}(0)}{10!} = 435$$
이다.

 

 

 

2021 중앙대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

주어진 원뿔면과 평면이 만나는 영역을 $xy$평면으로 정사영하여 얻은 영역을 $D$라 하면
이 영역 위에서 $z=1-x-y$에 대해 곡면의 넓이를 구하는 공식을 적용했을 때
$$\iint_D \sqrt{3}dxdy$$
가 구하는 넓이와 같다. 

이제 $D$를 구하기 위해 원뿔면과 평면을 연립하면
$$x^2 + y^2 = \frac{(1-x-y)^2}{4}$$
에서 식을 정리하면
$$3x^2-2xy+3y^2+2x+2y=1$$
이다. 이제 $3x^2 - 2xy + 3y^2$을 이차형식으로 표현했을 때 등장하는 대칭행렬은
$$A = \begin{pmatrix}
3 & -1 \\
-1 & 3 
\end{pmatrix}$$
이므로 행렬 $A$의 고유치는
$$\lambda=2, 4$$
이고, 이에 대응되는 고유벡터는 순서대로
$$\begin{pmatrix}
1 \\
1 
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
1 \\
-1 
\end{pmatrix}$$
이다. 이제 주축정리로부터 곡선 $3x^2 - 2xy + 3y^2=1$은
$$4u^2 + 2v^2 = 1$$
로 변하고, 특히 직교행렬을 직접 구한 뒤 전개해보면 $x+y=\sqrt{2}v$이므로
$$4u^2 + 2v^2 + 2\sqrt{2}v = 1$$
이라는 곡선의 내부넓이와 같음을 알 수 있고, 이는 타원이므로 내부 넓이가 
$$\frac{\sqrt{2}\pi}{2}$$
임을 알 수 있다. 따라서 구하는 넓이는
$$\frac{\sqrt{6}\pi}{2}$$
이고, 선택지의 형태를 만들기 위해 루트2를 약분하면 $\sqrt{\frac{3}{2}}\pi$가 구하는 넓이이다.

 

 

 

2021 중앙대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

문제의 조건으로부터 두 급수
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{c_n}{5^n}x^n,\quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{d_n}{4^n}x^n $$
의 수렴반경은 각각 $10, 12$이다. 따라서 급수
$$\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{c_n}{5^n} + \frac{d_n}{4^n}\right)x^n$$
의 수렴반경은 $\min{10, 12} = 10$이다.

 

 

 

2021 중앙대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

주어진 선형변환의 표현행렬에 기본행연산을 적당히 적용하면
$$\begin{align}
    T &= \begin{pmatrix}
-1 & 2 & a & 2 \\
2 & -7 & 0 & -6 \\
3 & -3 & -1 & -4 
\end{pmatrix} \\
&\sim \begin{pmatrix}
-1 & 2 & a & 2 \\
0 & -3 & 2a & -2 \\
0 & 3 & -1+3a & 2 
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이므로 문제의 조건을 만족시키려면
$$-2a = -1+3a\quad\Longrightarrow\quad a=\frac{1}{5}$$
이다.

 

 

 

2021 중앙대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

곡선의 길이를 구하기 위해 미분해보면
$$\begin{align}
    y'&=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \\ 
    &=\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}
\end{align}$$
이므로 구하는 곡선의 길이 $l$은
$$\begin{align}
    l &= \int_0^1 \sqrt{1+(y')^2}dx \\ 
    &= \sqrt{2}\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x+1}}d x\\ 
    &= 4 - 2\sqrt{2}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2021 중앙대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

$f(0)=1$이므로 이차함수 $f(x)$를
$$f(x)=ax^2 + bx + 1$$
이라 하자. 문제의 조건으로부터 적분한 결과가 유리함수이려면
$$\frac{f(x)}{x^3(x+1)^2} = \frac{c_1}{x^2} + \frac{c_2}{x^3} + \frac{c_3}{(x+1)^2}$$
의 형태여야 한다.

이제 양변에 $x^3$을 곱한 뒤 $x\to 0$인 극한을 취해주면
$$c_2=1$$
임을 얻고, 양변에 $(x+1)^2$을 곱한 뒤 $x\to -1$인 극한을 취해주면
$$c_3 = -f(-1)=-a+b-1$$
임을 얻는다. 또, 양변에 $x^2$을 곱한 뒤 $x\to\infty$인 극한을 취해주면
$$0=c_1 + c_3\quad\Longrightarrow\quad c_1= a-b+1$$
이다. 따라서 식을 정리하여 다시 써보면
$$\frac{f(x)}{x^3(x+1)^2} = \frac{a-b+1}{x^2} + \frac{1}{x^3} - \frac{a-b+1}{(x+1)^2}$$
이다. 이제 $f(1)=10$임을 이용하기 위해 양변에 $x=1$을 대입하면
$$\frac{10}{4} = a-b+2- \frac{a-b+1}{4}$$
이므로 식을 정리하면 $a-b=1$을 얻는다.

또,
$$f(1)=a+b+1=10\quad\Longrightarrow\quad a+b=9$$
이므로 둘을 연립하면 $a=5, b=4$이다.

따라서 
$$f(x) = 5x^2 + 4x+1$$
이므로 $f(2)=29$이다.

 

 

 

2021 중앙대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

문제의 조건으로부터
$$\int_2^3 f(x)dx = \int_0^3 f(x)dx - \int_0^2 f(x)dx = 2$$
이고, 주기성을 이용하면
$$\begin{align}
    \int_{-4}^{-3} f(x)dx &= \int_{-1}^0 f(x)dx\\
    &= \int_2^3 f(x)dx \\ 
    &= 2
\end{align}$$
이고
$$\begin{align}
    \int_{-3}^0 f(x)dx &= \int_0^3 f(x)dx \\ 
    &= \int_3^6 f(x)dx \\ 
    &= \int_6^9 f(x)dx \\ 
    &= 7
\end{align}$$
이므로 주어진 적분은
$$\text{(Integral)} = 2+28=30$$
이다.

 

 

 

2021 중앙대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

직접 선적분의 정의대로 계산해보면
$$ds= \sqrt{\sin^2 t+\cos^2 t}dt = dt$$
이므로 주어진 선적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec tdt \\ 
    &= \ln(\sec t+\tan t)\bigg|_0^{\frac{\pi}{4}} \\ 
    &= \ln(1+\sqrt{2})
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2021 중앙대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

문제에서 구하는 사각형이 삼각형에 내접한다는 말은 

i) 사각형의 두 꼭짓점은 주어진 직선 $x+2y=2$ 위에 있음
ii) 나머지 두 꼭짓점은 각각 $x$축, $y$축 위에 있음
iii) $x$축 $y$축 위에 있는 두 점을 지나는 직선은 $x+2y=2$와 평행함
iv) $x$축 $y$축 위에 있는 점에서 직선 $x+2y=2$에 내린 수선의 발이 i)의 두 꼭짓점임

을 전부 만족시킨다는 말과 같다. 이를 그림으로 나타내면 다음과 같다.

이제 $\overline{\mathrm{OA}}=2t$라 하면 그림과 같이 길이를 전부 표시할 수 있다.

이때 $\overline{\mathrm{BC}}$의 길이를 구한 방법은
$$\angle\mathrm{OAB}=\angle\mathrm{CBD}=\theta$$
임을 이용하면
$$\tan\theta = \tan\angle\mathrm{OAB} = \frac{1}{2}$$
이므로
$$\cos\theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$
가 되어
$$\overline{\mathrm{BC}} = \overline{\mathrm{BD}}\cos\theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}(1-t)$$
임을 얻는다.

이제 구하는 사각형의 넓이 $S$는
$$S = \overline{\mathrm{AB}}\times\overline{\mathrm{BC}}=2t(1-t)\quad (0<t<1)$$
이므로 최대는 $t=\frac{1}{2}$일 때 $\frac{1}{2}$이다.

 

 

 

2021 중앙대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

구분구적법을 이용하면 주어진 극한은
$$\begin{align}
    \text{(Limit)} &= \int_0^1 \int_0^1 \pi y \sin\left(\frac{\pi}{4}xy\right)dxdy \\ 
    &= 4\int_0^1 \left(1-\cos\left(\frac{\pi}{4}x\right)\right)dx \\ 
    &= 4\left(1-\frac{2\sqrt{2}}{\pi}\right)
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2021 중앙대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

테일러전개를 이용하면 $x=0$ 근방에서
$$\sin x^3\approx x^3 - \frac{x^9}{3!} + \frac{x^{15}}{5!} - \cdots$$
이므로 구하는 극한값은
$$\frac{6}{5!} = \frac{1}{20}$$
이다.

 

 

 

2021 중앙대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

주어진 평면과 원뿔면이 둘러싸는 영역을 $xy$평면으로 정사영 한 넓이를 구하자.
둘이 같다고 놓고 풀면
$$2-\frac{x}{2} = \sqrt{x^2 + y^2}$$
에서 양변을 제곱하면
$$4 - 2x + \frac{1}{4}x^2 = x^2 + y^2$$
이고, 식을 정리하면
$$\frac{3}{4}\left(x+\frac{3}{4}\right)^2 + y^2 = \frac{16}{3}$$
이다. 따라서 이 타원 내부의 넓이 $S$는
$$S = \frac{32}{9}\pi\sqrt{3}$$
이다. 이제 (이 포스팅)을 참고하면 구하는 원뿔면의 넓이는
$$\sqrt{2}S = \frac{32}{9}\pi\sqrt{6}$$
이다.

 

 

 

2021 중앙대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이

문제에서 주어진 점 $(x,y,z)$는 단위구 위의 점이므로 구하는
$$|T\circ T(x,y,z)|$$
의 최댓값은 선형변환 $T$의 고윳값을 $\lambda$라고 했을 때 $|\lambda^2|$의 최댓값과 같다.

이제 $\lambda$를 구하기 위해 선형변환 $T$의 표현행렬의 고유특성다항식을 구하자.
선형변환 $T$의 표현행렬이 
$$T = \begin{pmatrix}
3 & 1 & 2 \\
1 & 1 & 0 \\
2 & 0 & 4 
\end{pmatrix}$$
이므로, 고유특성다항식은
$$\lambda^3 - 8\lambda^2 + 14\lambda - 4 = 0$$
에서
$$\lambda = 2, 3+\sqrt{7}, 3-\sqrt{7}$$
이므로
$$\lambda^2 = 9, 16+6\sqrt{7}, 16-6\sqrt{7}$$
이다. 따라서 $|\lambda^2|$의 최대는 $16+6\sqrt{7}$이다.

 

 

 

2021 중앙대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이

문제에서 주어진 함수 $f(x)$에 대하여
$$\begin{align}
    \int_0^{\infty} f(x)dx &= \frac{1}{2} \\ 
    \int_0^{\infty} xf(x)dx &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \\
    \int_0^{\infty} x^2f(x)dx &= \frac{1}{2} 
\end{align}$$
이 성립한다.

따라서 위의 결과와 푸비니정리를 이용하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
    &\text{(Integral)} \\
    &= \int_0^{\infty}\int_0^{\infty} (x^2 f(x)f(y)+4xyf(x)f(y) + 4y2f(x)f(y))dxdy \\ 
    &= \frac{1}{2}\times \frac{1}{2} + 4\times \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\times \frac{1}{\sqrt{2\pi}} + 4\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2} \\
    &= \frac{5}{4}+\frac{2}{\pi}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2021 중앙대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이

제시된 두 기저가 모두 표준기저이므로 
$$A = \begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & 0 
\end{pmatrix}$$
임을 바로 알 수 있다. 이때 문제에서 주어진 식을
$$\begin{pmatrix}
a_1 \\
a_2 \\
a_3 
\end{pmatrix} = (A^{-1})^{100} \begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 
\end{pmatrix}$$
로 바꿔 써보면 이제 문제가 행렬 $A$의 고유벡터들의 일차결합으로 우변의 벡터를 
표현하는 문제로 바뀌게 된다.

이를 위해 행렬 $A$의 고유치와 고유벡터를 구해보면 행렬 $A$의 고유치는
$$\lambda = 2, -1, 1$$
이고, 이에 대응되는 고유벡터는 순서대로
$$\begin{pmatrix}
-1 \\
1 \\
1 
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
2 
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0 
\end{pmatrix}$$
이다. 이제 연립방정식
$$\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 
\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}
-1 \\
1 \\
1 
\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
2 
\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0 
\end{pmatrix}$$
을 풀면 
$$a=b=\frac{1}{3}, c=0$$
을 얻는다. 따라서
$$\begin{align}
    \begin{pmatrix}
a_1 \\
a_2 \\
a_3 
\end{pmatrix} &= (A^{-1})^{100}\left(\frac{1}{3}\begin{pmatrix}
-1 \\
1 \\
1 
\end{pmatrix} + \frac{1}{3}\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
2 
\end{pmatrix}\right) \\\ 
&= \frac{1}{3}\times \frac{1}{2^{100}}\begin{pmatrix}
-1 \\
1 \\
1 
\end{pmatrix} + \frac{1}{3}\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
2 
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이다. 따라서
$$a_1 + a_2 + a_3 = \frac{1}{3}\times \frac{1}{2^{100}} + \frac{2}{3}$$
이다.

 

 

 

2021 중앙대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이

1열에 나머지 열을 전부 더하면
$$\begin{align}
    &\det \begin{pmatrix}
4x-6 & x-1 & x-2 & x-3 \\
4x-6 & x & x-1x & x-2 \\
4x-6 & x-3 & x & x-1 \\
4x-6 & x-2 & x-3 & x 
\end{pmatrix} \\ 
&= (4x-6) \begin{pmatrix}
1 & x-1 & x-2 & x-3 \\
1 & x & x-1x & x-2 \\
1 & x-3 & x & x-1 \\
1 & x-2 & x-3 & x 
\end{pmatrix}
\end{align}$$
에서 행렬식 앞에 곱해진 일차식이 $0$이 되도록 하는 값인 $x=\frac{3}{2}$이
선지에 있으므로 정답은 4번이다. 
(만약 선지에 없다면 행렬식의 값을 이어서 계산해보면 된다.)

 

 

 

2021 중앙대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이

(가) 문제의 조건으로부터
$$\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty}b_n = 0$$
이 성립하므로, 두 수열의 곱의 극한도 $0$이다.

(나) 다음과 같이 잡으면 반례가 된다.
$$a_n = b_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$$

(다) 다음과 같이 잡으면 반례가 된다.
$$a_n = b_n = \frac{1}{n}$$

(라) 다음과 같이 잡으면 반례가 된다.
$$a_n = \frac{1}{n^2}, b_n = \frac{1}{n}$$



이상에서 옳은 것의 개수는 1개이다.

 

 

 

2021 중앙대학교 편입수학 기출문제 26번 풀이

구하는 회전체의 부피 $V$는
$$\begin{align}
    V &= 2\pi\int_1^4 \left(\frac{1}{x} + \frac{3}{x^2}\right)dx \\ 
    &= 2\pi\left(\ln 4 + \frac{9}{4}\right)
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2021 중앙대학교 편입수학 기출문제 27번 풀이

$f(0)=2$이고
$$\begin{align}
    f'(x) &= 3-2\sin x \\ 
    f''(x) &= -2\cos x
\end{align}$$
이므로 구하는 값은
$$\begin{align}
    \left(f^{-1}\right)''(2) &= -\frac{f''(y)}{(f'(y))^3}\bigg|_{y=0} \\ 
    &= -\frac{-2}{3^3} \\ 
    &= \frac{2}{27}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2021 중앙대학교 편입수학 기출문제 28번 풀이

먼저 
$$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$$
이 성립하므로 주어진 식은
$$\sum_{n=1}^{\infty} \tan^{-1}\left(\frac{\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n(n+1)}}\right)$$
와 같다. 이제 다음을 만족시키는 두 실수 $\alpha, \beta$를 생각해보자.
$$\begin{align}
    &\tan\alpha = \frac{1}{n} \\ 
    &\tan\beta = \frac{1}{n+1} 
\end{align}$$
그러면 덧셈정리로부터
$$\begin{align}
    \tan(\alpha - \beta) &= \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta} \\ 
    &= \frac{\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n(n+1)}}
\end{align}$$
이 성립하므로, 양변에 $\tan^{-1}$을 씌우면
$$\alpha - \beta = \tan^{-1}\left(\frac{\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n(n+1)}}\right)$$
가 성립한다. 그런데 위에서 $\alpha, \beta$는
$$\begin{align}
    &\alpha = \tan^{-1} \frac{1}{n} \\ 
    &\beta = \tan^{-1} \frac{1}{n+1}
\end{align}$$
을 만족시켜야 함을 알고 있으므로 주어진 급수는
$$\begin{align}
    \text{(Sum)} &= \sum_{n=1}^{\infty} \left(\tan^{-1} \frac{1}{n} - \tan^{-1} \frac{1}{n+1}\right) \\ 
    &= \tan^{-1}1 - \lim_{n\to\infty} \tan^{-1} \frac{1}{n+1} \\ 
    &= \frac{\pi}{4}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2021 중앙대학교 편입수학 기출문제 29번 풀이

순서대로 구해보면
$$\begin{align}
    a &= \sum_{n=0}^{\infty} \left(-\frac{1}{3}\right)^n \\ 
    &= \frac{1}{1+\frac{1}{3}}= \frac{3}{4}
\end{align}$$
이고, 
$$\begin{align}
    b &= \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \\
     &= \frac{\pi}{6}
\end{align}$$
이다. ($\tan^{-1}x$의 테일러전개를 생각해보자.)

따라서 구하는 값은
$$ab = \frac{\pi}{8}$$
이다.

 

 

 

2021 중앙대학교 편입수학 기출문제 30번 풀이

벡터 $n$은 $n=(0,0,-1)$이므로 영역 $D : x^2 + y^2 \leq 1$에 대하여 주어진 면적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= -\iint_D x^2 dA \\ 
    &= -\frac{1}{2}\iint_D (x^2 + y^2)dA \\ 
    &= -\frac{1}{2}\int_0^{2\pi} \int_0^1 r^3 drd\theta \\ 
    &= -\frac{\pi}{4}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2021 중앙대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

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