[편입] 2015 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2015 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2015년 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 중앙대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(중앙대학교 입학처 - 편입학 - 기출문제)

 

 

 

2015 중앙대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

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2015 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2015 중앙대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

이미 역함수를 알고 있는 함수이다.
$$g(x) = \sinh^{-1} x, \quad g'(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$
이므로 $g'(-1) = \frac{1}{\sqrt{2}}$이다.

 

 

 

2015 중앙대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

주어진 함수 $f(x)$가 미분가능하려면 주어진 극한값
$$f'(0) = \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}$$
가 존재해야 한다. 따라서 $a>1$이고, $f'(0)=0$이다.

함수 $f(x)$를 미분하면
$$f'(x) = ax^{a-1}\sin\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right) + x^{a - \frac{4}{3}}\cos\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x^4}}\right)$$
에서 $a > \frac{4}{3}$이어야 조임정리로부터 $\displaystyle\lim_{x\to 0}f'(x) = 0$임이 보장된다.

따라서 모든 조건을 만족시키는 $a$의 범위는
$$a>\frac{4}{3}$$
이다.

 

 

 

2015 중앙대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

점 $P$의 $x$좌표는 주어진 이차함수의 순간변화율이 직선의 기울기와
일치하는 지점이 된다. 따라서 방정식
$$f'(x) = a$$
를 풀면
$$x=\frac{a}{6} + 1$$
이다.

 

 

 

2015 중앙대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

주어진 극한값은 $f^{(3)}(1)$이므로 계산을 해보면 구하는 값은 $0$이다.

 

 

 

2015 중앙대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

$x+2y+3z=k$라 하면 $k$가 최대가 될 때는 평면 $x+2y+3z=k$가 구면 $x^2+y^2+z^2=3$에 접할 때이다.

따라서 평면 $x+2y+3z=k$의 법선벡터를 방향벡터로 하고 원점을 지나는 직선의 방정식은
$$l(t) = (t,2t,3t)$$
이다.

이제 구와 평면이 접하고, 이 접점을 직선 $l(t)$도 지나므로
$$t^2 + 4t^2+ 9t^2 = 3$$
에서
$$t=\pm\sqrt{\frac{3}{14}}$$
이다.

이때 부호를 생각해보면 $t$가 양수일 때 $k$가 최대, 음수일 때 최소일 것이므로
$$2y=2\times \sqrt{\frac{3}{14}} = \frac{\sqrt{42}}{14}$$
이다.

 

 

 

2015 중앙대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

$\ln \ln x = t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_{\ln 3}^\infty \frac{1}{t^3} dt \\ 
    &= \frac{1}{2(\ln 3)^2}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2015 중앙대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

$\tan\frac{x}{2}=u$로 치환하면 덧셈정리로부터
$$\cos\frac{x}{2} = \frac{1}{\sqrt{u^2 + 1}}, \quad \tan x = \frac{2u}{1+u^2}$$
이므로
$$\cos x = \frac{1-u^2}{1+u^2}$$
이 성립한다. 

또, $\tan\frac{x}{2}=u$의 양변을 $u$로 미분하면
$$\frac{dx}{du}\times \frac{1}{2}\sec^2 \frac{x}{2} = 1 $$
에서 식을 정리하면
$$dx = 2\cos^2 \frac{x}{2}du = \frac{2}{1+u^2}du$$
이다. 

이제 적분 구간은 $x=0$일 때 $u=0$이고, $x=\frac{\pi}{2}$일 때 $u=1$이므로
이를 전부 주어진 적분에 대입하면 
$$\text{(Integral)} = \int_0^1 \frac{2}{3-u^2}du$$
이다.

 

 

 

2015 중앙대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

$x$를 미분하고 $f(x)f'(x)$를 적분하는 부분적분을 시행하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \frac{x}{2} f(x)^2 \bigg|_{a}^b - \frac{1}{2} \int_a^b f(x)^2 dx \\ 
    &= -\frac{1}{2}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2015 중앙대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

3행을 기준으로 라플라스 전개를 하면 $-$부호가 곱해진 방데르몽드 행렬식이므로
$$-(a-b)(b-c)(c-a)$$
가 구하는 행렬식의 값이고 이와 일치하는 선지는 식조작을 해보면 1번이다.

 

 

 

2015 중앙대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

$n\times n$ 반대칭행렬로 이루어진 벡터공간의 차원은
$$\frac{n(n-1)}{2}$$
이다.

 

 

 

2015 중앙대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

주어진 행렬의 고유특성다항식을 구해보면
$$f(\lambda)=\lambda^2 - (a + d)\lambda + (ad - bc) = 0$$
이다. 문제의 조건으로부터 방정식
$$f(\lambda) = 0$$
이 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로, 판별식
$$D : (a+d)^2 - 4(ad - bc) = (a-d)^2 + 4bc > 0$$
을 만족시켜야 한다.

이때 두 실수 $a, d$의 값에 관계 없이 $(a-d)^2 \geq 0$이므로
$bc > 0$이어야 주어진 조건을 만족시킨다.

 

 

 

2015 중앙대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

직선 $l$의 방정식을
$$l : y=ax$$
라 하자. 그러면 직선 $l$ 위의 한 점인 $(1, a)$는 직선 $l$에 대칭시켜도 그대로 $(1, a)$이다. 

즉, 
$$\begin{pmatrix}
1 \\
a 
\end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
2 & -1 
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 \\
a 
\end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}
1+2a \\
2-a 
\end{pmatrix}$$
에서
$$1=\frac{1+2a}{\sqrt{5}}$$
이므로
$$a=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$
이다.

 

 

 

2015 중앙대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

식을 다시 쓰면 주어진 미분방정식은
$$y'+y=-y^2, y(0)=1$$
이고 이는 베르누이 미분방정식이다. 따라서 $u=y^{-1}$라고 치환하면 주어진 미분방정식은
$$u'-u=1, u(0)=1$$
이라는 일계 선형 미분방정식으로 바뀌므로 공식을 이용하면
$$\begin{align}
    u &= e^x \left(\int e^{-x}dx + C\right) \\ 
    &= Ce^x - 1 \\ 
    &= 2e^x - 1 \\ 
    &= \frac{1}{y}
\end{align}$$
이므로
$$y = \frac{1}{2e^x - 1}$$
이다. 따라서 구하는 값은
$$y(\ln 3) = \frac{1}{5}$$
이다.

 

 

 

2015 중앙대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

(가) : 근판정법을 적용하면 수렴한다.

(나) : $\frac{1}{n^2}$와 극한비교판정법을 적용하면 수렴한다.

(다) : 주어진 급수는 $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$과 유사하므로 발산한다. (p급수)

(라) : 주어진 급수는 $\sum \frac{1}{n\ln n}$과 유사하므로 발산한다. (적분판정법)

 

 

 

2015 중앙대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

계산을 통해 수렴반지름이 $1$임을 확인했으므로 $x=-1, 1$에서만 확인하자.
(사실 선지는 전부 수렴 반지름이 $1$이고 끝값만 다르므로
수렴반지름을 구할 필요 없이 끝값에 대해서만 확인해도 된다.)

$x=-1$인 경우 :
주어진 급수는
$$\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{\ln n}$$
이므로 발산한다.

$x=1$인 경우 :
주어진 급수는
$$\sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{\ln n}$$
이므로 교대급수판정법으로부터 수렴한다.

따라서 주어진 급수가 수렴하는 $x$의 범위는 $-1<x\leq 1$이다.

 

 

 

2015 중앙대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

가장 먼저 $S_n$을 보면 $\frac{1}{n}$와의 극한비교 판정법을 통해 발산함을 알 수 있다.

$A_n$의 경우 교대급수 판정법을 통해 수렴함을 알 수 있다.

마지막으로 $E_n$을 보면 함수
$$a(t)=\frac{t+1}{t^2+4t+5}$$
가 어떤 실수 $k$에 대하여 $t\geq k$에서는 쭉 감소함을 알 수 있다.

따라서 수열 $E_n$의 의미는 밑변의 길이가 $1$이고 높이가 $a(n)$인 직사각형의 넓이에서
곡선 $y=a(t)$의 밑면적을 빼고 남은 부분의 넓이가 된다.

그런데 각각의 자연수 $n$에 대하여 생긴 넓이를 전부 왼쪽으로 모으면 

i) $n$이 커질수록 모이는 넓이가 계속 생기므로 $E_n$은 증가
ii) 넓이가 아무리 많이 모여도 어떤 직사각형 내부에 전부 들어감

을 만족하므로 $E_n$은 증가하는 유계수열이고 따라서 수렴한다.



이상에서 수렴하는 수열은 $A_n$, $E_n$이다.

 

 

 

2015 중앙대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

먼저 기저
$$\alpha = \left\{1, x\right\}$$
는 문제에서 주어진 내적과 $1$차 이하의 다항식공간에 대하여 직교기저이다.

따라서 문제에서 구하는 다항식 $p(x)$는 직교기저에 대한 정사영을 이용했을 때
$$\begin{align}
    p(x) &= \frac{<1,f>}{<1,1>}\times 1 + \frac{<x,f>}{<x,x>}\times x \\ 
    &= \frac{4}{3} + \frac{3}{5}x
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2015 중앙대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

벡터공간 $V$에 속하는 두 벡터 $v_1, v_2$에 대하여 내적의 성질로부터
$$<v_1, v_2>=\overline{<v_2, v_1>}$$
이 성립함을 이용하자.

(가) 
보기가 맞음을 보이려면

i) $H=H^*$이면 $\alpha=\bar{\alpha}$
ii) $\alpha=\bar{\alpha}$이면 $H=H^*$

가 전부 맞는지를 조사하여 둘 다 맞다면 참, 하나라도 틀리면 거짓이 된다.

i) $H=H^*$이면 $\alpha=\bar{\alpha}$

가정이 $H=H^*$이므로
$$<H(x), y>=<x, H(y)>$$
가 성립하는지를 보면 된다. 그런데 $x, y$는 임의성을 가지므로 $x, y$를 전부 $u$로 두어도 성립해야 한다. 즉,
$$<H(u), u>=<u, H(u)>$$
인지 확인한다. $<u, u>=1$을 이용하여 문제에서 제시된 $T$의 정의대로 계산해보면
$$\begin{align}
    <H(u),u> &= 1-\alpha \\
    <u, H(u)> &= 1-\bar{\alpha}
\end{align}$$
이므로 $\alpha = \bar{\alpha}$임을 얻는다.

ii) $\alpha=\bar{\alpha}$이면 $H=H^*$

위에서 언급한 내적의 성질 및 $\alpha=\bar{\alpha}$라는 가정으로부터
$$\begin{align}
    <x, H(y)> &= \overline{<H(y), x>} \\ 
    &= \overline{<y, x>-\alpha <y, u><u, x>} \\ 
    &= <x, y> - \alpha <u, y><x, u>
\end{align}$$
이다. 그런데 
$$\begin{align}
    <H(x), y> &= <x-\alpha<x,u>u, y> \\ 
    &= <x, u>-\alpha<u, y><x, u>
\end{align}$$
이므로 둘은 같다. 이제 $H^*$가 유일하다고 하였으므로 $H=H^*$이다. 

따라서 i) 및 ii)가 모두 참이므로 참이다.

(나)
벡터 $v$를 $\text{span}(u)$의 직교여공간에 속하는 벡터라고 하면
$$<u, v> = 0$$
이 성립한다. 따라서
$$H(v) = v$$
가 되어 참이다.

(다)
보기가 맞음을 보이려면

i) $H$가 가역이면 $\alpha\neq 1$
ii) $\alpha\neq 1$이면 $H$가 가역

을 조사하여 둘 다 참이라면 참, 그렇지 않다면 거짓이다.

i) $H$가 가역이면 $\alpha\neq 1$

대우명제인 $\alpha=1$이면 $H$가 가역이 아님 을 보이자. 가정으로부터 $\alpha =1$이라면
$$\begin{align}
    H(u) &= u-<u,u>u \\ 
    &= u-u\quad (\because \quad <u,u>=1) \\ 
    &= 0
\end{align}$$
이다. 그런데 $u$는 단위벡터이므로 영벡터가 아니다. 곧 
$$u\in\text{ker}(H)\quad\Longrightarrow\quad \text{ker}(H)\neq \left\{0\right\}$$
가 되어 $H$는 비가역이다. 따라서 대우명제가 참이므로 본명제도 참이다.

ii) $\alpha\neq 1$이면 $H$가 가역

선형변환 $H$가 가역임을 보이기 위해
$$\text{ker}(H)= \left\{0\right\}$$
을 보이면 된다. 만약 어떤 벡터 $v$에 대하여
$$H(v)=0$$
이 성립한다면 문제에서 제시된 $H$의 정의로부터
$$v-\alpha<v, u>u = 0\quad\Longrightarrow\quad v=\alpha<v, u>u$$
가 성립한다. 따라서 $<v, u>$를 계산할 때 위에서 얻은 결과를 이용하면
$$\begin{align}
    <v, u> &= <\alpha<v, u>u, u> \\ 
    &= \alpha<v, u><u, u> \\
    &= \alpha<v, u>\quad (\because\quad  <u,u>=1)
\end{align}$$
이 성립해야 하므로 $\alpha=1$이거나 $<v, u>=0$이어야 한다.

그런데 전제조건으로부터 $\alpha\neq 1$이므로 $<v, u>=0$이고 이를 이용하면
$$v=\alpha<v, u>u = 0$$
임을 얻는다. 이때 벡터 $v$는 위에서 세운 가정으로부터 $\text{ker}(H)$에 속하는데
이러한 벡터 $v$는 영벡터밖에 없음을 보였으므로
$$\text{ker}(H)= \left\{0\right\}$$
이다. 따라서 $H$는 단사이므로, 가역이다. 

따라서 i) 및 ii)가 모두 참이므로 참이다.



이상에서 옳은 것은 (가), (나), (다) 이다.

 

 

 

2015 중앙대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

문제의 조건으로부터 
$$HH^*x = H^*Hx = x$$
일 필요충분조건을 구해도 된다. 이때 내적의 성질로부터
$$\begin{align}
    <H(x), H(y)> &= <x, H^* (H(y))> \\ 
    &= <x, y>
\end{align}$$
가 성립하고, (☆)
$$\begin{align}
    H(x) &= x-\alpha<x, u>u \\ 
    H(y) &= y-\alpha<y, u>u
\end{align}$$
가 성립한다. (★)

이제 벡터 $v_1, v_2, v_3$와 상수 $k$에 대하여 내적의 성질
$$\begin{align}
    <v_1, kv_2>&=\bar{k}<v_1, v_2> \\
    <kv_1, v_2>&=k<v_1, v_2> \\
    <v_1 + v_2, v_3> &= <v_1, v_3> + <v_2, v_3> \\ 
    \overline{<v_1, v_2>} &= <v_2, v_1>
\end{align}$$
를 이용하자. 위에서 얻은 (★)를 (☆)에 대입하여 계산하면
$$\begin{align}
    <H(x), H(y)> &= <x-\alpha<x, u>u,y-\alpha<y, u>u> \\ 
    &= <x, y-\alpha<y, u>u>+<-\alpha<x,u>y>+<-\alpha<x,u>u,-\alpha<y,u>u> \\ 
    &= <x, y-\alpha<y, u>u>-\alpha<x,u><u,y>+\alpha\bar{\alpha}<x,u>\overline{<y,u>} \\ 
    &= <x, y-\alpha<y, u>u>-\alpha<x,u><u,y>+\alpha\bar{\alpha}<x,u><u,y> \\ 
    &= <x, y>-\overline{\alpha<y,u>}<x,u>-\alpha<x,u><u,y>+\alpha\bar{\alpha}<x,u><u,y> \\ 
    &= <x,y> - \bar{\alpha}<u,y><x,u>-\alpha<x,u><u,y>+\alpha\bar{\alpha}<x,u><u,y> \\
    &= <x,y> +(\alpha\bar{\alpha}-\alpha-\bar{\alpha})<x,u><u,y> \\ 
    &= <x,y> + (|\alpha|^2 - 2\text{Re}(\alpha))<x,u><u,y>
\end{align}$$
이다. 이제 항상 
$$<H(x),H(y)> = x,y> + (|\alpha|^2 - 2\text{Re}(\alpha))<x,u><u,y>$$
가 성립하려면 
$$|\alpha|^2 - 2\text{Re}(\alpha) = 0$$
이 되어야 함을 알 수 있다.

 

 

 

2015 중앙대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

가장 먼저 노가다를 통해 행렬 $A$의 고유특성다항식을 구해보면
$$\lambda^4 - 7\lambda^2 - 2\lambda + 4 = 0$$
이다. 이제 주어진 행렬 $X$가 실수성분을 갖는 대칭행렬이므로 모든 고유치가 실수임은 알 수 있다.

이제 문제에서 물어보는 것은 서로 다른 실수 고유치의 개수이므로, 위의 사차방정식이 중근을 갖는지만 확인하면 된다.
즉, 함수 $f(x)$를
$$f(x) = x^4 - 7x^2 - 2x + 4$$
라 하면
$$f(a)=f'(a) = 0$$
인 실수 $a$가 있는지 확인하면 된다.

직접 계산해보면
$$\begin{align}
    f(a)=0&\quad\Longrightarrow\quad a^4 - 7a^2 - 2a + 4 = 0 \\
    f'(a)=0&\quad\Longrightarrow\quad 4a^3 - 14a - 2 = 0
\end{align}$$
을 만족시켜야 한다.

이제 저 둘을 전부 만족시키는 실수 $a$가 있다고 가정하자. 
두 번째 식의 양변에 $-\frac{a}{4}$를 곱한 뒤 두 식을 더하면
$$-\frac{7}{2}a^2 -\frac{3}{2}a + 4 = 0$$
에서 식을 정리하면
$$7a^2 + 3a = 8$$
이고, 이 이차방정식의 판별식의 양수이므로 이를 만족시키는 실수 $a$가 두 개 존재한다.

이제 이 이차방정식의 실근 $a$가 위의 조건 $f(a)=f'(a)=0$을 정말로 만족시키는지를 확인한다.
위에서 첫 번째 식을 약간 변형하여 쓰면
$$a^4 + a + 4 = 7a^2 + 3a$$
이고, $7a^2 + 3a = 8$을 대입하여 다시 쓰면
$$a^4 + a = -4$$
를 만족시켜야 한다. 그런데 함수 
$$g(a) = a^4 + a$$
는 항상 $-4$보다 크므로 주어진 조건인 $f(a)=f'(a)=0$를 만족시키는 $a$는 없다.

따라서 고유특성다항식은 중근을 갖지 않는다.

바꿔말하면 주어진 사차방정식이 서로 다른 네 실근을 가지므로, $X$의 서로 다른 실수 고유치의 개수는 4이다.

 

 

 

2015 중앙대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이

선형변환 $T$의 표준기저상에서의 표현행렬과 주어진 기저상에서의 표현행렬은 닮음 관계이다.

따라서 닮음 불변량으로부터 둘의 대각합은 같으므로, 구하는 대각합은
$$\text{tr}(T) = 3 + 4 + 1 = 8$$
이다.

 

 

 

2015 중앙대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이

행렬 $A$는
$$A = \begin{pmatrix}
3 & 1 & 1 \\
2 & 4 & 2 \\
-1 & -1 & 1 
\end{pmatrix}$$
이고, 이 행렬의 고유치와 고유벡터를 구해보면 고유치는 
$$\lambda = 2, 2, 4$$
이고, 이에 대응되는 고유벡터는 순서대로
$$\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
0 
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
-1 
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
-1 
\end{pmatrix}$$
이다. 이제
$$A^{15}\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a_{13} \\
a_{23} \\
a_{33} 
\end{pmatrix}$$
임을 이용하면
$$\begin{align}
    A^{15}\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 
\end{pmatrix} &= A^{15}\left(\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
0 
\end{pmatrix} - \frac{3}{2}\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
-1 
\end{pmatrix} + \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
-1 
\end{pmatrix}\right) \\ 
&= 2^{15}\begin{pmatrix}
1 \\
-1 \\
0 
\end{pmatrix}-3\times 2^{14}\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
-1 
\end{pmatrix} + 2^{29}\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
-1 
\end{pmatrix} \\ 
&= \begin{pmatrix}
a_{13} \\
a_{23} \\
a_{33} 
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이므로 마지막 성분만 계산하면
$$a_{33} = 3\times 2^{14} - 2^{29}$$
이다.

 

 

 

2015 중앙대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이

정의역이 경계를 포함하지 않으므로 극댓값은 무조건 임계점에서 나온다. 따라서 편미분하면
$$\begin{align}
    f_x = \cos x+\cos (x+y) =0\\ 
    f_y = \cos y + \cos(x+y) = 0
\end{align}$$
을 풀면 되고, 둘을 빼면
$$\cos x = \cos y$$
임을 얻는데, 함수 $\cos t$는 $0<t<\pi$에서 일대일이므로 $x=y$이다.

따라서 함수 $f(x, y)$의 극댓값은
$$f(x,x) = 2\sin x + \sin 2x$$
의 극대를 구하면 되고, 미분을 통해 계산해보면 $x=\frac{\pi}{3}$에서 극댓값 $\frac{3\sqrt{3}}{2}$를 가진다.

 

 

 

2015 중앙대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이

$n=3$으로 고정하면 선택지가 전부 다르다. 따라서 $n=3$을 대입하고 풀자.

표기의 편의상 문제에서 주어진 함수명과 문자들을 바꾸자. 즉,
$$f(x,y,z)=(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{\lambda - 3}{2}}$$
라 하자. 그러면
$$f_x = x(\lambda - 3)(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{\lambda - 5}{2}}$$
이고
$$f_{xx} = (\lambda - 3)\left((x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{\lambda - 5}{2}}+x^2(\lambda - 5)(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{\lambda - 7}{2}}\right)$$
이다. 

그런데 문제의 $f(x,y,z)$는 $x, y, z$끼리 자리를 바꿔도 똑같으므로, $f_{yy}, f_{zz}$도 $f_{xx}$에서 문자만 바꾸면 된다. 
즉,
$$\begin{align}
    f_{yy} &= (\lambda - 3)\left((x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{\lambda - 5}{2}}+z^2(\lambda - 5)(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{\lambda - 7}{2}}\right) \\ 
    f_{zz} &= (\lambda - 3)\left((x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{\lambda - 5}{2}}+z^2(\lambda - 5)(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{\lambda - 7}{2}}\right)
\end{align}$$
이므로
$$\begin{align}
    &f_{xx} + f_{yy} + f_{zz} \\
    &= 3(\lambda-3)(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{\lambda - 5}{2}} + (\lambda-3)(\lambda-5)(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{\lambda - 5}{2}}\\ 
    &= (\lambda-3)(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{\lambda - 5}{2}}(3 + \lambda - 5) \\ 
    &= (\lambda-2)(\lambda-3)(x^2 + y^2 + z^2)^{\frac{\lambda - 5}{2}}
\end{align}$$
에서
$$2<\lambda < 3$$
이다. 따라서 선지에 $n=3$을 넣고 비교하면 이와 맞는 선지는 4번이다.

 

 

 

2015 중앙대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이

먼저
$$\begin{align}
    r_u &= (\cos v, \sin v,0) \\ 
    r_v &= (-u\sin v, u\cos v, 1)
\end{align}$$
이므로
$$r_u \times r_v = (\sin v, -\cos v, u)$$
이다. 따라서 구하는 곡면의 넓이 $A$는
$$A = \int_0^\pi \int_0^1 \sqrt{u^2 + 1} dudv = \pi\int_0^1 \sqrt{u^2 +1}du$$
이다.

 

 

 

2015 중앙대학교 편입수학 기출문제 26번 풀이

푸비니정리를 이용하면 주어진 삼중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx\right)^2 \times \left(\int_0^1 e^zdz\right) \\ 
    &= (e-1)\times (\sqrt{\pi})^2 \\ 
    &= \pi(e-1)
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2015 중앙대학교 편입수학 기출문제 27번 풀이

직접 외적을 계산해보면
$$r(t) = (-2t^2\sin t, 2t^2 \cos t, 0)$$
이므로, 성분별로 미분한 뒤 길이 공식에 대입하면 구하는 길이 $l$은
$$\begin{align}
    l &= \int_0^1 \sqrt{4t^4 + 16t^2}dt \\ 
    &= 2\int_0^1 t\sqrt{t^2 + 4}dt
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2015 중앙대학교 편입수학 기출문제 28번 풀이

변수변환
$$\begin{cases}
    x+2y = u\\
    2x-y=v
\end{cases}$$
를 이용하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \frac{1}{5}\int_0^5 \int_0^5 \frac{u^3}{(v+1)^2}dudv \\ 
    &= \frac{625}{24}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2015 중앙대학교 편입수학 기출문제 29번 풀이

점 $(-1, 0)$에서 출발하여 $(1, 0)$까지 $x$축 위를 따라 이동하는 경로를 $C_2$라 하고
문제에서 주어진 경로 $C$와 $C_2$를 합친 경로를 $C'$라 하자.

그러면 $C'$은 폐곡선이므로, $C'$의 내부를 $D$라 했을 때 그린정리로부터
$$\begin{align}
    &\int_{C'}-2y\cos^2 xdx+(x-\sin x\cos x)dy \\ 
    &= \iint_D(1-\cos^2 x + \sin^2 x+2\cos^2 x)dxdy \\ 
    &= \iint_D 2 dxdy \\ 
    &=\pi
\end{align}$$
이다. 한편 경로 $C_2$는
$$C_2(t) : (t, 0)\quad (-1\leq t\leq 1)$$
로 매개화 할 수 있고, 계산해보면 $C_2$ 위에서의 선적분의 값은 $0$이다.

따라서 우리가 원래 구하던 선적분의 값은 $C'$의 선적분에서 $C_2$의 선적분을 빼준
$$\pi - 0 = \pi$$
이다.

 

 

 

2015 중앙대학교 편입수학 기출문제 30번 풀이

발산정리를 이용하면 주어진 면적분은
$$\text{(Integral)} =\iiint_{B_r} (3-3(x^2 + y^2 + z^2)dV$$
이다. 이때 위의 적분값이 최대가 되려면 피적분함수가 양수가 되어야 한다. 즉,
$$x^2 + y^2 +z^2 \leq 1$$
이어야 하므로, 이를 만족시키는 반지름 $r$의 최대는 1이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2015 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

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