[편입] 2014 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2014 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2014년 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 중앙대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(중앙대학교 입학처 - 편입학 - 기출문제)

 

 

 

2014 중앙대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

2014 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 빠른 정답

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빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2014 중앙대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

$e$의 정의를 이용하면 주어진 극한은
$$\begin{align}
    \text{(Limit)} &= \lim_{x\to \infty} \left(1 + \frac{2\ln 3}{x - \ln 3}\right)^x \\ 
    &= e^{2\ln 3} \\ 
    &= e^9
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2014 중앙대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

합성함수의 미분법을 이용하면 구하는 값은
$$\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^2}} \times \frac{2}{(x+1)^2}\bigg|_{x=4} = \frac{1}{10}$$
이다.

 

 

 

2014 중앙대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

산술기하평균 부등식을 이용하면
$$
\begin{align}
    6 &= x+2y+3z \\ 
    &\geq 3\sqrt[3]{6xyz}
\end{align}$$
에서 정리하면 
$$\frac{2}{\sqrt[3]{6}}\geq \sqrt[3]{xyz}$$
이다.

 

 

 

2014 중앙대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

첫 식을 다시 쓰면
$$P'(t) = M\alpha P(t)(M-P(t))$$
에서 $0<P(0)<M$이면 $t\to\infty$ 일 때 $P(t) \to M$이고
$P(0)>M$이면 $t\to\infty$ 일 때 $P(t) \to M$이고
$P(0)=M$이면 항등적으로 $P(t) = M$이다. (자율 미분방정식)

이를 종합하면 조건으로부터 $P(0)$은 양수이므로
$$\lim_{t\to \infty}P(t) = M$$
이다.

 

 

 

2014 중앙대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

3번의 경우 일반항의 극한이 $0$이 아니므로 발산한다.

 

 

 

2014 중앙대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

테일러전개를 이용하자.
$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$$
임을 이용하면
$$S(x) = \cdots +\frac{x^8}{9!} - \frac{x^{10}}{10!} + \cdots$$
에서
$$\begin{align}
    & S^{(8)}(0) = \frac{1}{9} \\ 
    & S^{(9)}(0) = 0 \\ 
    & S^{(10)}(0) = -\frac{1}{11}
\end{align}$$
이므로 구하는 값은 $\frac{2}{99}$이다.

 

 

 

2014 중앙대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

[풀이 1]
직접 수렴반경을 구한 뒤 수렴반경 안의 값을 고른다.



[풀이 2]
주어진 함수는 $x=2$를 기준으로의 급수전개이므로
선택지의 지점과 $x=2$까지의 거리가 가장 가까운 것이 정의되는 값일 것이다.
1번의 경우 : 거리가 $\frac{11}{6}$이다.

2번의 경우 : 거리가 $\frac{7}{6}$이다.

3번의 경우 : 거리가 $\frac{5}{6}$이다.

4번의 경우 : 거리가 $\frac{9}{6}$이다.

이상에서 거리가 가장 가까운 3번만 정의구역에 속한다.
(객관식의 정답이 한 개 뿐임을 이용한 풀이이다.)

 

 

 

2014 중앙대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

주어진 수열의 점화식으로부터
$$a_1 = 1, \quad a_2 = 1,\quad a_3 = 5$$
이다.

 

 

 

2014 중앙대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

(이 포스팅)을 참고하면 구하는 값은
$$\int_1^3 f(x)dx + \int_2^5 f^{-1}(y)dy = 15 - 2$$
에서 구하는 값은 $\frac{17}{2}$이다.

 

 

 

2014 중앙대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

첫 식의 양변을 $f(t)$로 나눈 뒤 부등식의 양변을 $0$부터 $x$까지 정적분하면
$$\ln f(x) - \ln 2 \leq x^2 + x$$
에서 식을 정리하면
$$f(x) \leq 2e^{x^2 + x}$$
이다.

 

 

 

2014 중앙대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

분모를 완전제곱식으로 만들면
$$\frac{x}{\sqrt{x-2x-x^2}} = \frac{x}{\sqrt{4-(x+1)^2}}$$
이므로, $x+1 = 2\sin t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} (2\sin t - 1)dt \\ 
    &= \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2014 중앙대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

[풀이 1]
직접 $K_{2n + 2}$를 계산하여 $K_{2n}$과의 관계를 찾는다. (계산 생략)



[풀이 2]
근사식을 이용한다. 충분히 큰 모든 $n$에 대하여
$$K_{n} \approx \sqrt{\frac{\pi}{2n}}$$
임을 이용하면
$$\begin{align}
    \lim_{n\to\infty}\frac{K_{2n + 2}}{K_{2n}} &= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{\frac{\pi}{4n+4}}}{\sqrt{\frac{\pi}{4n}}} \\ 
    &= 1
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2014 중앙대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

구하는 역행렬의 고유특성다항식은 주어진 고유특성다항식에 $t$ 대신 $\frac{1}{t}$를 대입한 뒤
최고차항의 계수가 $1$이 되도록 정리하면 얻을 수 있다. 직접 계산해보면
$$\frac{1}{24} \times (24t^3 - 50t^3 + 35t^2 - 10t + 1)$$
이므로, 
$$c_2 + c_3 = -\frac{15}{24} = -\frac{5}{8}$$
이다.

 

 

 

2014 중앙대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

$$\begin{align}
    &x+2y+z = u \\ 
    &x+3y-z = v \\ 
    &2x - y + z = w
\end{align}$$
로 변수변환하면 
$$dxdydz = \frac{1}{11}dudvdw$$
이므로, 구하는 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \frac{1}{11}\iiint_{\mathrm{R}^3} e^{-u^2 - v^2 - w^2} dudvdw \\ 
    &= \frac{1}{11} \sqrt{\pi}^3 \\ 
    &= \frac{\pi\sqrt{\pi}}{11}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2014 중앙대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

기본행연산을 통해 주어진 선형변환의 영공간의 기저를 구하면
\begin{align}
    a = \begin{pmatrix}
2 \\
0 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix}
,\quad b = \begin{pmatrix}
0 \\
2 \\
1 \\
0 \\
\end{pmatrix}
\end{align}
이다. 둘은 수직이므로 직교기저이다.
선형변환의 영공간을 $V$라고 하면 구하는 정사영벡터는
$$\begin{align}
    \text{Proj}_V u &= \text{Proj}_a u + \text{Proj}_b u \\ 
    &= \begin{pmatrix}
12 \\
36 \\
18 \\
6 \\
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2014 중앙대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

점 $(2,3,1)$을 시점으로, 나머지 세 점을 종점으로 하는 세 벡터를 사용한
스칼라삼중적을 통해 삼각뿔의 부피 $V$를 계산하면
$$\begin{align}
    V &= \det\begin{pmatrix}
1 & -2 & 1 \\
1 & 0 & -1 \\
1 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}
\\
&= 1
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2014 중앙대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

(a) 내적과 외적의 성질로부터 참이다.

(b) 분배하여 계산하면 참이다.

(c) 부호가 반대여야 한다.

 

 

 

2014 중앙대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

문제에서 주어진 $u$가 단위벡터임에 주목하자.

먼저 $\sigma=(x,y,z)$라 하면 문제의 조건으로부터
$$\sigma\circ \sigma = x^2 + y^2 + z^2 = 1$$
이므로 벡터 $\sigma$는 단위구면 위의 점을 가리킨다.

따라서 두 벡터 $\sigma, u$는 모두 단위벡터이므로 두 벡터의 사잇각 $\theta$에 대하여 
$$\sigma\circ u = \cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
임을 얻고, 이는 곧 두 벡터의 사잇각이 $\frac{\pi}{6}$임을 말해준다.

따라서 $\sigma$가 나타내는 곡선은
고정된 벡터 $u$에 대하여 이와 이루는 사잇각이 $\frac{\pi}{6}$인 점들의 모임
이고 이는 곧 원을 이룬다. (주어진 구면을 평면으로 잘라서 얻은 곡선이라고 생각해도 된다.)

그러면 이 원의 반지름 $r$은
$$r = 1\times \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$$
이므로 구하는 곡선의 길이 $l$은
$$l = 2\pi\times \frac{1}{2} = \pi$$
이다.

 

 

 

2014 중앙대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

선적분하는 대상이 그래디언트이므로, 피적분함수가 $f(x,y,z)$이다.
따라서 선적분의 기본정리를 이용하면 주어진 선적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= f(0,1,1) - f(1,1,0) \\ 
    &= 1
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2014 중앙대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

적당한 함수 $f(x)$를 찍어서 풀자.

이 문제에서 계산을 편하게 하려면 
$$f(0)=f'(0)=f''(0)=0$$
이도록 하는 함수를 잡는 것이 좋을 것 같다. 따라서 이를 전부 만족하면서 차수가 가장 낮은 다항함수인
$$f(x)=x^3$$
을 생각하자. 그러면 문제에서 제시된 조건에 대입해보면
$$R(x) = x^3$$
이다.

또, $f(x)=x^3$에 대하여 $f'''(x)$는 상수함수이다. 
따라서 3번과 4번은 $R(x)$가 삼차함수가 아니게 되므로 정답이 아니다.

이제 1번과 2번 중 정답이 있을 것이므로 1번을 계산해본 뒤 일치하면 1번이 정답일 것이고
만약 1번이 일치하지 않으면 2번이 정답일 것이다.

실제로 계산해보면 1번이 정답이게 된다.

 

 

 

2014 중앙대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이

(a) 
문제에서 주어진 두 직선의 기하학적 의미를 파악하는 것이 중요하다. 직선 
$$y=\frac{2}{\pi}x$$
는 두 점 $(0,0)$, $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$을 지나는 직선의 방정식이고, 직선
$$y=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x-\frac{\pi}{4}+1\right)$$
은 $x=\frac{\pi}{4}$에서 $y=\sin x$의 접선의 방정식이다.

이때 $y=\sin x$가 $0<x<\frac{\pi}{2}$에서 위로 볼록하므로
i) 곡선 위의 두 점을 지나는 직선은 곡선보다 아래에 놓임
ii) 곡선 위의 점에서의 접선은 곡선보다 위에 놓임
을 만족시킨다. 

따라서 (a)는 참이다. 

(b)
위와 유사한 방식으로 직선
$$y=1-\frac{2}{\pi}x$$
는 두 점 $(0,1), \left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$을 지나는 직선의 방정식이고, 직선
$$y=\frac{\pi}{2}-x$$
는 점 $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$에서 $y=\cos x$의 접선의 방정식이다.

이때 $y=\cos x$가 $0<x<\frac{\pi}{2}$에서 위로 볼록하므로
i) 곡선 위의 두 점을 지나는 직선은 곡선보다 아래에 놓임
ii) 곡선 위의 점에서의 접선은 곡선보다 위에 놓임
을 만족시킨다. 

따라서 (b)는 참이다. 

(c) 
$x=\frac{\pi}{2}$인 경우 주어진 부등식이 성립한다.

따라서 $0\leq x<\frac{\pi}{2}$에서만 성립하는지 보면 되고, 이 범위에서 $\cos x > 0$이므로
양변을 $\cos x$로 나눠주면
$$x\leq \tan x$$
임을 확인하면 충분하다.

그런데 $y=x$는 점 $(0, 0)$에서 $y=\tan x$의 접선의 방정식이고
곡선 $y=\tan x$는 $0<x<\frac{\pi}{2}$에서 아래로 볼록하므로 
i) 곡선 위의 점에서의 접선은 곡선보다 아래에 놓임
을 만족시킨다. 따라서 $x\leq \tan x$가 성립한다.

따라서 (c)는 참이다.



이상에서 옳은 것은 (a), (b), (c)이다.

 

 

 

2014 중앙대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이

가장 먼저 
$$\text{tr}(I) = 2$$
이다. 

다음으로 행렬 $B$의 고유특성다항식을 구해보면
$$\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0$$
에서 행렬 $B$의 고유치는
$$\lambda = 1, 2$$
이다. 따라서 행렬 $B^n$의 고유치는
$$\lambda = 1, 2^n$$
이므로
$$\text{tr}(B^n) = 1 + 2^n$$
이다. 

따라서
$$\begin{align}
    \sum_{k=1}^{\infty} \text{tr}(B^k)\times \left(\frac{1}{3}\right)^k &= \sum_{k=1}^{\infty}\left(\left(\frac{1}{3}\right)^k + \left(\frac{2}{3}\right)^k\right) \\ 
    &= \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} + \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{2}{3}} \\ 
    &= \frac{5}{2}
\end{align}$$
이다.

이상에서 구하는 값은 $2+\frac{5}{2} = \frac{9}{2}$이다.

 

 

 

2014 중앙대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이

다르게 풀어도 되지만, 직교여공간에 속하는 벡터는 $T$의 치역에 수직이므로 
치역에 속하는 벡터를 하나 찾은 뒤 선지의 벡터와 수직인지 확인하자. 계산이 최대한 간단하도록 $0$을 많이 포함시켜서
$$T(1,0,0)=(1,2,0,-3)$$
라고 하면, 선택지의 벡터 중 이 벡터와 수직인 벡터는 2번 뿐이다.

 

 

 

2014 중앙대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이

$|v| = 1$이므로, 구하는 값의 최대, 최소는 행렬 $A$의 고유치의 절댓값의 최대, 최소와 같다.

한편 행렬 $A$의 고유특성다항식은
$$\lambda^2 - 3\lambda - 4 = 0$$
에서
$$\lambda=-1, 4$$
이므로
$$\begin{cases}
    M = 4 \\ 
    m = 1
\end{cases}$$
이다. 따라서 $\frac{M}{m} = 4$이다.

 

 

 

2014 중앙대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이

$$(8, 11) = 2(1, 1) + 3(2, 3)$$
이므로 선형변환의 선형성을 이용하면
$$T(8, 11) = 2(1,0,2) + 3(1,-1,4) = (5,-3,16)$$
이다.

 

 

 

2014 중앙대학교 편입수학 기출문제 26번 풀이

$3x = u$, $2y = v$로 변수변환하면 $6dxdy = dudv$이고 
영역 $D : u \geq 0, v \geq 0 , u^2 + v^2 \leq 1$에 대하여 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \frac{1}{6} \iint_D \cos (u^2 + v^2) dudv \\ 
    &= \frac{1}{6} \int_0^{2\pi}\int_0^1 r\cos r^2 drd\theta \\ 
    &= \frac{\pi}{24}\sin 1
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2014 중앙대학교 편입수학 기출문제 27번 풀이

[풀이 1]
함수를 찍어서 풀자. $f(x)=1$이라고 하면 주어진 조건을 모두 만족시킨다. 
그러면 구면 $U$의 내부 영역을 $E$라 했을 때 주어진 면적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iint_U (1-z^2)dS \\ 
    &= 4\pi - \iint_U z^2dS
\end{align}$$
이다. 이때 
$$(0,0,z)\circ (x,y,z) = z^2$$
이므로, 벡터장
$$F(x,y,z)=(0,0,z)$$
에 대하여
$$\iint_U z^2 dS = \iint_U F\circ dS$$
이 성립한다. 따라서 발산정리를 이용하면
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= 4\pi - \iint_U z^2dS \\ 
    &= 4\pi - \iiint_E 1 dV \\ 
    &= 4\pi - \frac{4}{3}\pi \\ 
    &= \frac{8}{3}\pi
\end{align}$$
이다.

이제 선택지를 보면 $f(x)=1$이라고 했으므로 1, 2, 3, 4번은 순서대로
$$\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, 2\pi, \frac{8\pi}{3}$$
이다. 따라서 정답은 4번이다.



[풀이 2]
직접 정의대로 계산하자. 주어진 구면을 매개화하면
$$\begin{align}
    U(\phi,\theta) &= (\sin\phi\cos\theta, \sin\phi\sin\theta,\cos\phi) \\
    &\quad (0\leq \phi\leq \pi, 0\leq \theta \leq 2\pi)
\end{align}$$
이다. 따라서 주어진 면적분은
$$\begin{align}
    &\text{(Integral)} \\
    &= \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi} f(\cos \theta,\sin\theta)(1-\cos^2\phi)\sin\phi d\phi d\theta \\ 
    &= \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi} f(\cos \theta,\sin\theta)\sin^3\phi d\phi d\theta \\
    &=\frac{4}{3}\int_0^{2\pi}f(\cos \theta,\sin\theta)d\theta 
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2014 중앙대학교 편입수학 기출문제 28번 풀이

(a) 
랭크를 생각해보면 거짓이다.

(b)
만약
$$A=B=\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0 
\end{pmatrix} $$
라면 $AB=O$이지만 
$$\text{rank}(A)=\text{rank}(B)=1$$
이므로 거짓이다.

(c)
$A=B$로 잡으면 성립한다. 따라서 항상 성립하지 않는다는 말은 거짓이다.

(d)
대각화가 가능하므로 참이다.



이상에서 옳은 것의 개수는 1이다.

 

 

 

2014 중앙대학교 편입수학 기출문제 29번 풀이

이 포스팅에서는

i) 테일러전개를 이용한 풀이
ii) 직접 $I+N+N^2$의 역행렬을 계산을 이용하여 구하는 풀이

를 모두 소개한다. 그러나 계산의 복잡도가 드라마틱하게 차이가 나지는 않는다.



[풀이 1]
$x=0$근방에서 테일러전개로부터
$$\frac{1}{1+x+x^2} = 1-x+x^3-x^4+\cdots$$
이 성립한다. 

그런데 문제에서 주어진 행렬 $N$은 주대각선이 전부 $0$인 상삼각행렬이므로 멱영행렬이다.
구체적으로는
$$N^n = O\quad (n\geq 4)$$
이다. 따라서 위의 전개식에 $N$을 대입했다고 생각하면 $x^4$ 및 이보다 차수가 큰 항은 전부 영행렬이 되므로
$$(I+N+N^2)^{-1} = I-N+N^3$$
이 성립한다. 따라서
$$(I+N+N^2)^{-1} = \begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 
\end{pmatrix}$$
이므로 구하는 모든 성분의 합은 $5$이다.



[풀이 2]
직접 $I+N+N^2$을 계산해보면
$$I+N+N^2 = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 2 & -3 \\
0 & 1 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 1 
\end{pmatrix} $$
이고, 가우스 소거법을 이용하면 위와 동일한 역행렬을 얻을 수 있다.

 

 

 

2014 중앙대학교 편입수학 기출문제 30번 풀이

풀이를 시작하기에 앞서, 미지수가 굉장히 많이 등장한다.
하지만 미지수 각각에 의미를 부여하기 보다 상황이 어떤 상황인지를 파악한다면
상황은 꽤 단순해지니, 미지수 각각의 의미보다 전체적인 상황에 집중하자.

$J$를 치환행렬로 이해하면

i) $J$를 왼쪽에 곱하는 경우 : 1, 4행끼리 교환하고 2, 3행끼리 교환
ii) $J$를 오른쪽에 곱하는 경우 : 1, 4열끼리 교환하고 2, 3열끼리 교환

이 성립하므로, 행렬 $A$를
$$A = \begin{pmatrix}
a & b & c & d \\
e & f & g & h \\
i & j & k & l \\
m & n & o & p 
\end{pmatrix}$$
라 하면 위에서 쓴 것 처럼 행의 순서롤 교환한 뒤 열의 순서를 교환했을 때
$$JAJ = \begin{pmatrix}
p & o & n & m \\
l & k & j & i \\
h & g & f & e \\
d & c & b & a 
\end{pmatrix}$$
임을 얻는다. 

이때 두 행렬 $A$와 $JAJ$의 각각의 미지수의 위치관계를 보면 행렬의 정중앙을 기준으로
마치 점대칭을 시킨것과 동일하게 변화했다.

그리고 이 말은 곧, 행렬 $A$와 행렬 $JAJ$가 같다는 조건을 풀었을 때
전체 16개의 성분 중 하나가 정해지면 점대칭관계를 이루는 나머지 지점의 성분도 정해진다는 말과 같다.

따라서 구하는 차원은 독립변수의 개수인 $16\times \frac{1}{2} = 8$이다.
2로 나눠주는 이유는 위에서 설명했듯 하나를 정하면 대칭시킨곳의 성분도 결정되기 때문에
전체 16개중 절반만 정하면 나머지 절반은 알아서 정해지기 때문이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2014 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

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