[편입] 2017 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2017 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2017년 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 중앙대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(중앙대학교 입학처 - 편입학 - 기출문제)

 

 

 

2017 중앙대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

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2017 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2017 중앙대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

문제에서 제시된 네 점을 순서대로 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$라 하자.

그리고 세 벡터 $\mathrm{AB}, \mathrm{AC}, \mathrm{AD}$를 행으로 갖는 행렬을 $A$라 하자.

그러면 구하는 부피 $V$는
$$V = \frac{1}{6}|\det A| = 3$$
이다.

 

 

 

2017 중앙대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

주어진 관계식에 $x=y=0$을 대입하면 $f(0)=0$을 얻는다.

이제 주어진 식의 양변을 $y$로 편미분하면
$$f'(x+y) = f'(y) + 4x$$
에서 $y=0$을 대입하면
$$f'(x) = f'(0)+4x$$
이다.

이제 조건 (ii)로부터
$$\lim_{h\to 0}\frac{f(h)}{h} = f'(0)=2$$
이므로
$$f'(x)=4x+2$$
이고, 적분한 뒤 $f(0)=0$임을 이용하면
$$f(x) = 2x^2 + 2x$$
이다. 따라서 $f(5)=60$이다.

 

 

 

2017 중앙대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

주어진 원의 넓이는 $\pi$이고 원의 중심좌표가 $(0, 2)$이므로 파푸스 정리를 이용하면
구하는 부피 $V$는
$$V = 2\pi\times 2\times \pi = 4\pi^2$$
이다.

 

 

 

2017 중앙대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

함수 $f(x)$가 $x=1$에서 연속이므로
$$1 = ae^b$$
이다. 이제 미분해보면
$$f'(x) = \begin{cases}
    x^2 &\quad (x<1) \\ 
    \frac{a}{2\sqrt{x}}e^{bx} + ab\sqrt{x}e^{bx} &\quad (x>1)
\end{cases}$$
에서 $x=1$로의 좌우극한이 같음을 이용하면
$$2=\frac{a}{2}e^b + abe^b$$
이다. 이제 두 식을 연립하면
$$2=\frac{1}{2}+b$$
에서 $b=\frac{3}{2}$이고, 다시 대입하면 $a=e^{-\frac{3}{2}}$이다. 

이상에서
$$\frac{b}{a} = \frac{3e\sqrt{e}}{2}$$
이다.

 

 

 

2017 중앙대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

4번의 경우만 범위가 $r<0$으로 다르다.

 

 

 

2017 중앙대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

$f(1)=15$이므로 역함수 미분법으로부터
$$\begin{align}
    (f^{-1})'(15) &= \frac{1}{f'(1)} \\ 
    &= \frac{1}{8}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2017 중앙대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

$1-x=t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^1 (1-t)\sqrt{t}dt \\ 
    &= \frac{2}{3} - \frac{1}{5} \\ 
    &= \frac{4}{15}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2017 중앙대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

[오류 문항]
우선 주어진 문제는 오류이다. 하지만 선택지에서 답을 찾을 수는 있다.

가장 먼저 문제가 오류인 이유는 양변에 $x=\frac{1}{2}$를 대입하면
$$0 = \frac{\pi}{12}$$
가 되어 모순이다. 따라서 조건을 만족시키는 연속함수 $f(x)$가 존재하지 않는다.

그러나 이와 별개로 답을 찾을 수는 있다. 주어진 항등식의 양변을 미분하면
$$2f(2x) = \sin^{-1}x + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$$
에서 $x=\frac{1}{2}$을 대입하면
$$2f(1) = \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{3}$$
이므로
$$f(1) = \frac{\pi+2\sqrt{3}}{12}$$
이다.

 

 

 

2017 중앙대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

주어진 단위원 위의 점을
$$\begin{cases}
    x=\cos t\\
    y=\sin t
\end{cases}$$
로 매개화 할 수 있으므로, 주어진 이변수함수의 최대, 최소는 함수
$$\begin{align}
    g(t) &= f(\cos t,\sin t) \\ 
    &= \sin t\cos t + \sin t \quad (0\leq t\leq 2\pi)
\end{align}$$
의 최대, 최소와 동일하다.

이때 임계점을 구하기 위해 미분하면
$$\begin{align}
    g'(t) &= 2\cos^2 t + \cos t - 1 \\ 
    &= (2\cos t- 1)(\cos t+1)\\ 
    &= 0
\end{align}$$
에서 
$$\cos t = \frac{1}{2}\quad\Longrightarrow\quad t=\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$$
이다. $\cos t -1$인 점은 도함수의 부호가 변하지 않으므로 확인하지 않아도 된다.

따라서 극점과 구간의 끝점에서의 함숫값을 전부 구해보면
$$\begin{cases}
    f(0) = 0\\
    f(2\pi) = 0\\
    f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{3\sqrt{3}}{4} \\ 
    f\left(\frac{5\pi}{3}\right) = -\frac{3\sqrt{3}}{4}
\end{cases}$$
이므로
$$M-m = \frac{3\sqrt{3}}{2}$$
이다.

 

 

 

2017 중앙대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

주어진 행렬의 행렬식을 구할 때
각 열에 곱해진 $2, 3, 4$를 빼내면 남은 행렬은 방데르몽드 행렬이므로  구하는 행렬식의 값은
$$\begin{align}
    \det A &= 24\times (1-2)(1-3)(1-4)(2-3)(2-4)(3-4) \\ 
    &= 288
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2017 중앙대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

부분공간 $V$는 실수성분의 대칭행렬들로 이루어진 공간이고 이 부분공간의 차원이 
$$\dim V = \frac{n(n+1)}{2}$$
임은 잘 알려져있다.

다음으로 부분공간 $W$는 대각합이 $0$인 실수성분의 행렬들로 이루어진 공간이고
대각합을 계산하는데 $n$개의 성분이 관여하기 때문에 $\text{tr}(A) = 0$이라는 조건은
저 $n$개의 대각성분 중 한 개를 고정시킨다. 따라서 
$$\dim W = n^2 - 1$$
이다.

마지막으로 $V\cap W$의 경우 위의 논리대로 $V$에서 대각성분 한 개가 고정된 상태이므로
$$\dim(V\cap W) = \dim V - 1$$
이다.

따라서
$$\dim V + \dim W + \dim(V\cap W) = 2n^2 + n-2$$
이다.

 

 

 

2017 중앙대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

행렬 $A$를
$$A =  \begin{pmatrix}
3 & 1 \\
1 & 3 
\end{pmatrix} $$
라 하자. 이제 행렬 $A$의 고유치와 고유벡터를 구하면 고유치는
$$\lambda = 4, 2$$
이고 이에 대응되는 고유벡터는 순서대로
$$\begin{pmatrix}
1 \\
1 
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
1 \\
- 
\end{pmatrix}$$
이다. 따라서
$$\begin{align}
    A^{100} \begin{pmatrix}
4 \\
0 
\end{pmatrix} &=  A^{100}\left(2\begin{pmatrix}
1 \\
1 
\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix}
1 \\
-1 
\end{pmatrix}\right) \\ 
&= 2\times 4^{100}\begin{pmatrix}
1 \\
1 
\end{pmatrix} + 2\times 2^{100}\begin{pmatrix}
1 \\
-1 
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이다. 즉, 
$$a = 2^{101}, b=2^{201}$$
이므로
$$\frac{\log_2 a}{\log_2 b} = \frac{101}{201}$$
이다.

 

 

 

2017 중앙대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

각각을 행렬로 둔 뒤 기본행연산을 이용하면 (나)를 제외하면 전부 일차독립인 집합이다.

 

 

 

2017 중앙대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

주어진 타원면 위에 있으면서 제 1팔분공간에 있는 점의 좌표를 $(x,y,z)$라 하자.
그러면 구하는 직육면체의 부피 $V$는
$$V = 8xyz$$
가 성립한다. 

따라서 문제는 $8xyz$의 최대를 제약조건 
$$9x^2 + 4y^2 + 36z^2 = 324$$
하에서 구하는 문제와 같다.

이때 코시슈바르츠 부등식을 이용하면
$$\begin{align}
    324 \geq 3(36xyz)^{\frac{2}{3}}
\end{align}$$
에서 식을 정리하면
$$6\sqrt{3} \geq (36xyz)^{\frac{1}{3}}$$
이므로
$$144\sqrt{3} \geq 8xyz$$
이다.

 

 

 

2017 중앙대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

주어진 두 직선의 방향벡터를 외적하여 얻은 벡터를 법선벡터로 하고
직선 $L_2$위의 한 점 $\left(-1, 3,\frac{1}{2}\right)을 지나는 평면의 방정식은
$$P : x+y=2$$
이다.

이제 이 평면과 직선 $L_1$위의 한 점 $(-4, 3, -1)$와의 거리가 구하는 거리 $d$이므로
$$d = \frac{|-4+3-2|}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$$
이다.

 

 

 

2017 중앙대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

[오류 문항]
해당 문제는 오류문항이다. 

적분영역 $E$를 제 1, 2, 3, 4팔분공간에 속하는 모양이 같은 네 영역으로 쪼갤 수 있고
함수 
$$f(x,y,z)=\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$$
는 위에서 쪼갠 제 1, 2, 3, 4팔분공간상의 모양이 같은 네 영역에 대하여

i) 부호가 +인 영역 2개
ii) 부호가 -인 영역 2개

가 나오게 되어 대칭성으로 구하는 삼중적분의 값은 $0$이어야 한다.
그러나 선지에 $0$이 존재하지 않으므로 오류이다.

 

 

 

2017 중앙대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

가장 먼저 
$$\text{tr}(A) = 4$$
임은 바로 알 수 있다. 이제 역행렬의 특성다항식을 구하기 위해 $A$의 특성 다항식에 $\frac{1}{t}$를 대입한 뒤
최고차항의 계수가 $1$이 되도록 정리하면
$$t^4 + \frac{38}{108}t^3 + \cdots $$
이 역행렬의 특성다항식이 된다. 따라서
$$\text{tr}(A^{-1}) = -\frac{38}{108}$$
이므로 둘의 곱은
$$\text{tr}(A)\times\text{tr}(A^{-1}) = -\frac{38}{27} $$
이다.

 

 

 

2017 중앙대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

변수변환
$$\begin{cases}
    3x-2y=  u\\
    y=v
\end{cases}$$
를 이용하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \frac{1}{3}\int_0^3 \int_0^u e^{\frac{v}{u}} dvdu \\ 
    &= \frac{e-1}{3}\int_0^3 u du \\ 
    &= \frac{3}{2}(e-1)
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2017 중앙대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

문제의 시그마 내부를 보면 $k$가 변화한다. 따라서 $k$자리를 $x$로 바꾼 함수
$$f(x) = \frac{n}{n^2+ 3x^2}$$
을 생각하자. 그러면 $n$이 자연수이므로 $k$도 자연수이고, $x>0$에서
$$f'(x) < 0$$
이므로 임의의 자연수 $n$에 대하여 함수 $f(x)$는 $x>0$에서 감소한다.

따라서 넓이의 관점에서 해석해보면
$$\begin{align}
    &\sum_{k=n}^{\infty}f(k) \\
    &\int_n^{\infty} f(x)dx
\end{align}$$
의 관계를 나타내기 위해 다음과 같은 그림을 생각할 수 있다.

인테그랄의 경우 곡선의 밑면적이고, 시그마의 경우 직사각형의 넓이가 되므로 각 직사각형의 넓이가 더 큼을 고려하면
$$\sum_{k=n}^{\infty} f(k) - \int_n^{\infty} f(x)dx \geq 0$$
이다. 

또, 임의로 $n$을 하나 고른 다음 $x>n$에서 직사각형의 넓이에서 곡선의 밑면적을 빼고 남은 부분을 
전부 왼쪽으로 모았다고 생각하자.
그러면 $f(n)$이라는 값을 밑변이 $1$이고 높이가 $f(n)$인 직사각형으로 생각했을 때 (빨간색 직사각형)
왼쪽으로 모은 모든 부분을 전부 합치더라도 밑변이 $1$이고 높이가 $f(n)$인 직사각형을 전부 채울 수 없다. (초록색)

즉, 
$$\sum_{k=n}^{\infty} f(k) - \int_n^{\infty} f(x)dx \leq f(n)$$
이 성립한다. 두 부등식을 합치면
$$0\leq \sum_{k=n}^{\infty} f(k) - \int_n^{\infty} f(x)dx\leq f(n)$$
이고, 다시 쓰면
$$\int_n^{\infty} f(x)dx \leq\sum_{k=n}^{\infty} f(k) \leq f(n) + \int_n^{\infty} f(x)dx$$
이 성립한다. 이때
$$f(n)=\frac{1}{4n}\quad\Longrightarrow\quad \lim_{n\to\infty}f(n) = 0$$
이고
$$\begin{align}
    \lim_{n\to\infty} \int_n^{\infty} f(x)dx &= \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{3}}\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}{x}}{n}\right)\bigg|_n^{\infty} \\
    &= \lim_{n\to\infty} \frac{\pi}{6\sqrt{3}}
\end{align}$$
이므로, 샌드위치 정리를 이용하면
$$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=n}^{\infty} f(k) = \frac{\pi}{6\sqrt{3}}$$
이다.

 

 

 

2017 중앙대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

스토크스 정리를 이용하자. 선적분이 대상이 되는 벡터장을 $F$라 하면
$$\text{curl}F = (0, 0, 5(x^2 + y^2)^2)$$
이므로 주어진 선적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= 5\iint_{x^2 + y^2 \leq 1} (x^2 + y^2)^2 dxdy \\ 
    &= 10\pi \int_0^1 r^5 dr \\ 
    &= \frac{5}{3}\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2017 중앙대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이

구하는 값을 
$$(b_{11} + b_{12} + b_{21} + b_{22}) - (b_{11} + b_{22})$$
로 보자.

행렬 $A$의 고유치와 고유벡터를 구해보면 고유치는
$$\lambda = -2, 5$$
이고,  이에 대응되는 고유벡터는 순서대로
$$\begin{pmatrix}
-4 \\
3 
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
1 \\
1 
\end{pmatrix}$$
이다. 따라서
$$\begin{align}
    A^{100}\begin{pmatrix}
1 \\
1 
\end{pmatrix}= 5^{100}\begin{pmatrix}
1 \\
1 
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이므로, 구하는 값은
$$\begin{align}
    b_{11} + b_{22} &= 2\times 5^{100} - ((-2)^{100} + 5^{100}) \\ 
    &= 5^{100} - 2^{100}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2017 중앙대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이

(가)
$n$이 충분히 크면 테일러전개로부터
$$\tan^{-1}\left(\frac{1}{n}\right) \approx \frac{1}{n}$$
이므로 발산한다.

(나)
$\sin $내부의 극한이 수렴하지 않으므로 전체 극한도 수렴하지 않는다.

(다)
$x+e^x > e^x$의 역수를 취한 뒤 루트를 씌우면
$$\frac{1}{\sqrt{x+e^x}} < \frac{1}{\sqrt{e^x}}$$
이고, 이상적분
$$\int_1^{\infty} \frac{1}{\sqrt{e^x}}dx$$
가 수렴하므로 비교판정법으로부터 수렴한다.

(라)
$x\to\infty$일 때와 $x\to-\infty$일 때 모두 지수함수가 더 빠르게 $0$으로 가므로 수렴한다.



이상에서 수렴하는 것의 개수는 $2$이다.

 

 

 

2017 중앙대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이

점 $(-1, 0)$에서 출발하여 점 $(1, 0)$까지 $x$축 위를 이동하는 경로를 $C_1$이라 하자. 즉,
$$C_1 : (t, 0)\quad (-1\leq t\leq 1)$$
이라 하자. 그리고 주어진 경로 $C$에 $C_1$을 추가한 경로를 $C'$이라 하면 $C'$은 폐곡선이다.

따라서 $C'$의 내부를 $D$라 한 뒤 그린정리를 이용하면 $C'$에 대한 선적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iint_D 1dydx \\ 
    &= \frac{\pi}{2}
\end{align}$$
이고, $C_1$에 대한 선적분은 정의대로 계산해봤을 때
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_{-1}^1 t^2dt \\ 
    &= \frac{2}{3}
\end{align}$$
이다.

이제 우리가 구하는 선적분은 $C'$에 대한 선적분값에서 $C_1$에 대한 선적분값을 빼 준 것이므로
$$\text{(Integral)} = \frac{\pi}{2} - \frac{2}{3}$$
이다.

 

 

 

2017 중앙대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이

(가) 
주어진 급수의 값은 $\cosh 1$와 같으므로 맞다.

(나) 
$-1<x<1$에서
$$\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^n = \frac{x(x+1)}{(1-x)^3}$$
이 성립하므로, $x=\frac{1}{3}$을 대입해보면 참이다.

(다)
수렴반지름이 $\frac{1}{3}$임은 바로 알 수 있으므로, 끝점에서의 수렴성만 확인하자.

$x=\frac{2}{3}$인 경우 : $p$급수 판정법으로부터 발산한다.
$x=\frac{4}{3}$인 경우 : 교대급수 판정법으로부터 수렴한다.

따라서 맞는 선지이다.



이상에서 옳은 것의 개수는 3이다.

 

 

 

2017 중앙대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이

(가)
행렬
$$A = \begin{pmatrix}
a & b \\
0 & a 
\end{pmatrix}$$
의 거듭제곱의 형태가
$$A^n = \begin{pmatrix}
a^n & na^{n-1}b \\
0 & a^n 
\end{pmatrix}$$
임을 이용하면
$$\begin{align}
    e^A &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}A^n \\ 
    &= \sum_{n=0}^{\infty}\begin{pmatrix}
\frac{(2t)^n}{n!} & \frac{n(2t)^{n-1}}{n!} \\
0 & \frac{(2t)^n}{n!}
\end{pmatrix} \\ 
&= \begin{pmatrix}
e^{2t} & e^{2t} \\
0 & e^{2t} 
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이므로 참이다. 거듭제곱 공식을 모르는 경우 라플라스 변환을 통해서도 해결할 수 있다.

(나)
주어진 행렬 $A$의 고유특성다항식을 구해보면
$$\lambda^3 - 8\lambda^2 + 17\lambda - 10 = 0$$
이므로 케일리해밀턴 정리를 적용한 뒤 양변에 $A$의 역행렬을 곱해주면
$$10A^{-1} = A^2 - 8A + 17I$$
이므로 참이다.

(다)
두 행렬 $A, B$가 고유벡터 $v_k\quad (k=1,2,\cdots, n)$을 공유한다. 이때 고유벡터 $v_k$에 대응되는
두 행렬 $A, B$각각의 고유치를 $a_k, b_k$이라 하자. 그러면
$$\begin{cases}
    Av_k = a_kv_k \\ 
    Bv_k = b_kv_k
\end{cases}$$
이므로, 
$$\begin{cases}
    BAv_k = a_kb_kv_k \\ 
    ABv_k = a_kb_kv_k
\end{cases}$$
이다. 이제 두 식을 서로 빼면
$$(BA-AB)v_k = 0\quad (k=1,2,\cdots,n)$$
이 성립한다.

이제 위의 식의 의미는 행렬
$$BA-AB$$
의 영공간에 일차독립인 $n$개의 벡터가 존재한다는 말과 같다. 즉
$$\text{rank}(BA-AB) = 0\quad\Longrightarrow\quad BA-AB=O$$
이다.



이상에서 옳은 것의 개수는 3이다.

 

 

 

2017 중앙대학교 편입수학 기출문제 26번 풀이

구하는 평면 $\alpha$의 방정식은

i) 두 직선의 방향벡터를 외적하여 얻은 벡터를 법선벡터로 가짐
ii) 첫 직선위의 한 점인 $(0,2,-1)$을 지남

을 모두 만족시키므로
$$\alpha : 14x-9y-z=-17$$
이다.

따라서 평면 $\alpha$와 점 $(2,1,3)$사이의 거리 $d$는
$$d = \frac{|28-9-3+17|}{\sqrt{278}} = \frac{33}{\sqrt{278}}$$
이다.

 

 

 

2017 중앙대학교 편입수학 기출문제 27번 풀이

구면좌표계상에서
$$x^2 + y^2 = \rho^2 \sin^2\phi$$
이므로
$$x^2 + y^2 = 1\quad\Longrightarrow\quad \rho=\csc\phi$$
이다.

따라서 삼중적분과 구면좌표계를 이용하면 구하는 질량은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^{2\pi} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{\csc\phi}^2 3\sin\phi d\rho d\phi d\theta \\ 
    &= 6\pi\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}(2\sin\phi - 1)d\phi \\ 
    &= 2\pi(3\sqrt{3} - \pi)
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2017 중앙대학교 편입수학 기출문제 28번 풀이

직접 주어진 정의대로 계산해보면
$$\begin{align}
    T(-2+x) &= -2+x = 1(-2+x)+0(-4+x^2)+0(-8+x^3)+0x \\ 
    T(-4+x^2) &= -4+x^2 = 0(-2+x)+1(-4+x^2)+0(-8+x^3)+0x \\ 
    T(-8+x^3) &= -8+x^3 = 0(-2+x)+0(-4+x^2)+1(-8+x^3)+0x \\ 
    T(x) &= 3x = 0(-2+x)+0(-4+x^2)+0(-8+x^3)+3x \\ 
\end{align}$$
이고, 구하는 값은 위에서 $0$이 아닌 모든 계수들의 합과 같으므로
$$\sum_{j=1}^4 \sum_{i=1}^4 a_{ij} = 6$$
이다.

 

 

 

2017 중앙대학교 편입수학 기출문제 29번 풀이

적분순서를 바꾸면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^2 \int_0^{\sqrt{4-y^2}} \sqrt{4-y^2}dxdy \\ 
    &= \int_0^2 (4-y^2)dy \\ 
    &= \frac{16}{3}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2017 중앙대학교 편입수학 기출문제 30번 풀이

행렬 $A$의 고윳값을 $a, b, c$라 하자. 

그러면 $a, b, c$가 모두 양수이고, $B^6=A$라는 사실로부터 행렬 $B$의 고윳값은
$$\pm a^{\frac{1}{6}}, \pm b^{\frac{1}{6}}, \pm c^{\frac{1}{6}}$$
이다.

따라서 각각 부호를 $+$ 또는 $-$로 선택해야 하므로 
$$2\times 2\times 2 = 8$$
개의 가능한 경우의 수가 있다.

이로부터 가능한 $B$의 개수는 $8$이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2017 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

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