[편입] 2018 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)
안녕하세요 수학올인입니다.
이번 포스팅에선 2018년 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.
풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.
원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 중앙대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.
(중앙대학교 입학처 - 편입학 - 기출문제)
2018 중앙대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답
빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.
2018 중앙대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이
식을 정리하면 주어진 극한값은
$$\begin{align}
\text{(Limit)} &= e^{\frac{\ln(x^2 - 3x + 1) - \ln (5x + 2)}{2\ln x}} \\
&\approx e^{\frac{2\ln x - \ln 5 -\ln x}{2\ln x}} \\
&= e^\frac{1}{2}
\end{align}$$
이다.
2018 중앙대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이
$n^{10}$으로 분자, 분모를 나누면 주어진 극한값은
$$\begin{align}
\text{(Limit)} &= \frac{\left(\int_0^1 x^3 dx\right)\left(\int_0^1 x^5 dx\right)}{\left(\int_0^1 x dx\right)\left(\int_0^1 x^7 dx\right)} \\
&= \frac{2}{3}
\end{align}$$
이다.
2018 중앙대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이
주어진 점에서의 편도함수들의 값을 구해보면
$$\begin{align}
&f_x = -1,\quad f_y = -1 \\
&f_{xx} = 0,\quad f_{yy} = \\
&f_{xy} = 0
\end{align}$$
이다. 따라서 음함수의 미분법을 이용하면 구하는 값은
$$\begin{align}
\frac{d^2y}{dx^2} &= -\frac{(f_x)^2 f_{yy} - 2f_xf_yf_{xy} + (f_y)^2 f_{xx}}{(f_y)^3} \\
&= 2
\end{align}$$
이다.
2018 중앙대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이
(가) : $\frac{1}{n^3}$와 극한비교판정으로부터 수렴한다.
(나) : $\frac{1}{n\sqrt{n}}$와 극한비교판정으로부터 수렴한다.
(다) : 근판정법을 적용하면 수렴한다.
(라) : 교대급수판정법을 적용하면 수렴한다.
(마) : 모든 항이 양수이므로 더하는 순서를 바꿔도 상관 없고,
밑이 $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$인 등비급수의 합이므로 수렴한다.
(바) : $\frac{1}{n^3}$와 극한비교판정으로부터 수렴한다.
이상에서 수렴하는 급수의 개수는 $6$이다.
2018 중앙대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이
두 평면의 교선은 직선이므로, 한 점과 방향벡터를 구하면 교선의 방정식을 알 수 있다.
한 점의 경우 두 평면의 방정식을 연립하여 구할 수 있다. 이 풀이에서는 $(5,1,0)$을 사용한다.
방향벡터의 경우 두 평면의 법선벡터의 외적을 통해 구할 수 있다. 계산하면 $(1,-2,3)$이다.
따라서 직선의 방정식 $l(t)$는
$$l(t)=(t+5, -2t+1, 3t)$$
이다.
이제 직선 $l(t)$위에서 원점과의 거리가 최소가 되는 점을 $P$라 하면
벡터 $\mathrm{OP}$와 직선 $l(t)$의 방향벡터 $v$의 내적이 $0$이다. 한편
$$\begin{align}
&\mathrm{OP} = (t+5, -2t+1, 3t) \\
& v = (1,-2,3)
\end{align}$$
이므로
$$\mathrm{OP}\circ v = 0 \quad \Longleftrightarrow\quad t=-\frac{3}{14}$$
이다. 따라서 $P(a,b,c)$일 때 $a+b+c$의 값은
$$a+b+c=((t+5)+(-2t+1)+3t)\bigg|_{t=-\frac{3}{14}} = \frac{39}{7}$$
이다.
2018 중앙대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이
구하는 극한값을 $L$이라 하자. 즉,
$$\lim_{n\to\infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = L$$
이라 하자. 주어진 점화식의 양변을 $x_n$으로 나누면
$$\frac{x_{n+1}}{x_n} = 2 + 3\frac{x_{n-1}}{x_{n}}$$
이다. 양변에 $n\to\infty$인 극한을 취하면
$$L = 2 + \frac{3}{L}$$
에서 양변에 $L$을 곱한 뒤 이차방정식을 풀면 $L=-1, 3$이다.
그런데 주어진 점화식을 확인하면 수열 $x_n$의 모든 항이 양수이므로
$L$은 음수일 수 없다. 즉, $L=3$이다.
2018 중앙대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이
감마함수를 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} = \Gamma(4) = 6
\end{align}$$
이다.
2018 중앙대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이
주어진 포물선과 직선 $y=a$로 둘러싸인 넓이를 $S_1$, $x$축으로 둘러싸인 넓이를 $S_2$라 하면
$$\begin{align}
& S_1 = \frac{1}{6}(2\sqrt{a+2})^3 \\
& S_2 = \frac{1}{6}(2\sqrt{2})^3
\end{align}$$
이다. 문제의 조건으로부터 $S_1 = 8S_2$이고 직접 계산하면 $a=6$임을 얻는다.
2018 중앙대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이
(가) : 모든 $x$에 대하여 $f(x)=0$이므로 참이다.
(나) : 모든 $y$에 대하여 $g(y)=0$이므로 참이다.
(다) : 분자의 차수가 분모의 차수보다 크므로 참이다.
(라) : 먼저 미분계수의 정의로부터
$$f_x(0,0) = f_y(0,0) = 0$$
이다. 이제
$$\begin{cases}
\alpha = f_x(0,0) \\
\beta = f_y(0,0)
\end{cases}$$
이라 하면, 주어진 함수의 미분가능성은 극한
$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-\alpha x-\beta y - f(0,0)}{\sqrt{x^2 + y^2}}$$
의 존재 여부와 동치이다. 그런데 $\alpha=\beta = f(0,0)=0$이므로 극한값
$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-\alpha x-\beta y - f(0,0)}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3y^2}{(x^4 + y^4)\sqrt{x^2 + y^2}}$$
이 존재하는지 판정하면 되는데, 이 극한은
i) $y=0$위에서 원점으로 접근하는 경로
ii) $y=x$위에서 원점으로 접근하는 경로
에 대하여 극한값이 다르므로 존재하지 않는다.
따라서 주어진 함수 $f(x,y)$는 원점에서 미분불가능하다.
이상에서 옳은 것의 개수는 3이다.
2018 중앙대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이
주어진 평면의 방정식을 다시 써보면
$$x=2z-9$$
이다. 이제 주어진 조건을 전부 만족시키는 점 $(x, y, z)$는 두 조건
$$\begin{cases}
x=2z-9 \\
z^2 = x^2+y^2
\end{cases}$$
을 모두 만족시키므로, 원점으로부터 점 $(x,y,z)$까지의 거리를 최대화하려면
$$\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{z^2 + z^2} = \sqrt{2}|z|$$
를 최대화하는 문제와 같다.
이제 문제의 두 제약조건을 이용하기 위해 코시 슈바르츠 부등식을 이용하면
$$1\times (x^2+y^2)\geq (x+0\times y)^2$$
에서 위의 두 제약조건을 대입하면
$$z^2 \geq (2z-9)^2$$
에서 식을 정리하면
$$(z-3)(z-9)\leq 0$$
이다. 따라서 구하는 최대거리는 $z=9$일 때 $9\sqrt{2}$이다.
2018 중앙대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이
변수변환
$$\begin{cases}
x+y=u \\
x-y=v
\end{cases}$$
를 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \frac{1}{2}\int_0^2 \int_0^{u+2} ue^v dvdu\\
&= \frac{1}{2}\int_0^2 u(e^{u+2}-1)du \\
&= e^4 - 1
\end{align}$$
이다.
2018 중앙대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이
주어진 식에서
$$x-\frac{3}{x}=t$$
로 치환하자. 그러면 $1\leq x\leq 3$에서 $-2\leq t\leq 2$이다.
이제 주어진 문제는 $-2\leq t\leq 2$에서 함수
$$g(t)=2t^3 -15t^2 + 36t - 50$$
의 최대와 최소의 차를 구하는 문제가 되고, 계산을 통해 $176$임을 알 수 있다.
2018 중앙대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이
(가)
계산 노가다를 해보면 두 점 $(0, -1), (0, 1)$에서 극솟값 $-1$을 가진다. 따라서 참이다.
(나)
마찬가지로 계산을 통해 두 점 $(-1, 0), (1, 0)$에서 극댓값을 가진다.
(가)와 (나)에서 언급되지 않은 점은 모두 안장점이므로 거짓이다.
(다)
주어진 제약조건을
$$\begin{cases}
x=\cos t\\
y=\sin t
\end{cases}$$
로 매개화하면
$$\begin{align}
g(x, y) &= 1 + \sin^2 t \\
&\leq 2
\end{align}$$
이므로 거짓이다.
(라)
마찬가지로 제약조건을
$$\begin{cases}
x=\cos t\\
y=\sin t \\
z=1-\cos t+\sin t
\end{cases}$$
로 매개화하면
$$\begin{align}
h(x,y,z) &= 3-2\cos t+5\sin t \\
&\leq 3+\sqrt{29}
\end{align}$$
이므로 거짓이다.
이상에서 옳은 것의 개수는 1이다.
2018 중앙대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이
구하는 넓이를 $A$라 하면
$$\begin{align}
A &= 2\left(\int_0^{\frac{\pi}{3}}(1-\cos\theta)^2d\theta + \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta d\theta\right) \\
&= \frac{7}{12}\pi -\sqrt{3}
\end{align}$$
이다.
2018 중앙대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이
단순폐곡선 $C$의 내부를 $D$라 하자.
그린정리를 적용하면 주어진 선적분의 값은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \iint_D (9 - 3(x^2 + y^2))dA
\end{align}$$
이다. 이제 우변의 이중적분이 최대가 되려면 영역 $D$는
피적분함수가 음수가 아니도록 하는 영역, 즉
$$D : 9-3(x^2 + y^2) \geq 0$$
이어야 한다. 이 영역에 대해 위의 이중적분을 계산하면 $\frac{27}{2}\pi$를 얻는다.
2018 중앙대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이
주어진 벡터장의 포텐셜함수는
$$f(x,y) = x^3 \cos\left(\frac{\pi}{4}y\right)$$
이다. 따라서 선적분의 기본정리로부터 주어진 선적분의 값은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= f(x,y)\bigg|_{(1-e,1)}^{(0,\frac{\sqrt{3}}{2})} \\
&= \frac{\sqrt{2}}{2}(e-1)^3
\end{align}$$
이다.
2018 중앙대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이
주어진 구면 $S$에 평면
$$P : z=0\quad (x^2 + y^2 \leq 1)$$
을 추가한 면을 $S'$이라 하자. 그러면 $S'$은 폐곡면이다.
이제 주어진 면적분의 값은 $S'$에 대한 면적분에서 $P$에 대한 면적분의 값을
빼준 값과 같다.
$S'$에 대한 면적분의 값을 발산정리를 통해 계산하면
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \frac{2}{3}\pi
\end{align}$$
이고, $P$에 대한 면적분의 값은 정의로부터 영역 $D : x^2 + y^2 \leq 1$에 대하여
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \iint_D (-4x^2)dA \\
&= -2\iint_D (x^2 + y^2)dA \\
&= -\pi
\end{align}$$
이다. 따라서 구하는 면적분의 값은 $\frac{2}{3}\pi - (-\pi) = \frac{5}{3}\pi$이다.
2018 중앙대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이
치환적분을 이용하면
$$\phi(\alpha) = \int_0^{\infty} e^{-u^2} \cos(\alpha u)du\quad (x^2 = u)$$
라고 쓸 수 있다. 이제 표기의 편의상 문자를 바꾸어
$$y(t) = \int_0^{\infty} e^{-x^2} \cos(t x)dx$$
라 하자. 그러면
$$y(0)=\int_0^{\infty} e^{-x^2}dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$$
이다. 이제 양변을 $t$로 미분한 뒤 부분적분을 이용하면
$$\begin{align}
y'(t) &= \int_0^{\infty} -xe^{-x^2}\sin (tx)dx \\
&= \frac{1}{2}e^{-x^2}\sin(tx)\bigg|_{x=0}^{x=\infty} - \frac{t}{2}\int_0^{\infty} e^{-x^2}\cos(tx)dx \\
&= 0-\frac{t}{2}y(t) \\
&= -\frac{t}{2}y(t)
\end{align}$$
이다. 즉, 함수 $y(t)$는 미분방정식
$$y'(t)=-\frac{t}{2}y(t),\quad y(0)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$$
의 해가 되고, 이는 일계 선형 미분방정식이므로 공식을 이용하면
$$\begin{align}
y(t) &= e^{-\frac{t^2}{4}}\times C \\
&= \frac{\sqrt{\pi}}{2}\times e^{-\frac{t^2}{4}}
\end{align}$$
이다.
따라서 구하는 값은
$$y(e) = \frac{\sqrt{\pi}}{2e}$$
이다.
2018 중앙대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이
구하는 극한값은
$$\begin{align}
\text{(Limit)} &\approx \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{10e^{2k}}{e^{2k}} \\
&= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n 10 \\
&= \lim_{n\to\infty} \frac{10n}{n} \\
&= 10
\end{align}$$
이다.
2018 중앙대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이
1, 2, 3, 4, 5열에서 전부 6열을 빼주면 구하는 행렬식의 값은
$$\det \begin{pmatrix}
x-1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
-1 & x-2 & 0 & 0 & 0 & 2 \\
-1 & -1 & x-3 & 0 & 0 & 3 \\
-1 & -1 & -1 & x-4 & 0 & 4 \\
-1 & -1 & -1 & -1 & x-5 & 5 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$$
와 같다. 이제 6행을 기준으로 라플라스 전개하면 한 번 전개한 이후는 대각행렬이 되므로
주어진 방정식은
$$1\times (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) = 0$$
와 같다. 따라서 주어진 방정식의 해는
$$x= 1,2,3,4,5$$
이므로 이들의 합은 $15$이다.
2018 중앙대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이
이차식 $p(x)$를
$$p(x)=a+bx+cx^2$$
이라 하면
$$\begin{align}
p'(0) &= b \\
p''(1) &= 2c \\
\int_0^1 p(x)dx &= a+\frac{b}{2}+\frac{c}{3}
\end{align}$$
이다. 즉 표준기저에 대한 $T$의 표현행렬은
$$T = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2 \\
1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3}
\end{pmatrix}$$
이다. 문제에서 물어보는 값은 $T$의 모든 성분의 합이므로 $\frac{29}{6}$이다.
2018 중앙대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이
선형변환 $T$의 표현행렬을 $A$라 하면
$$A = \begin{pmatrix}
5 & 4 & 3 \\
-1 & 0 & -3 \\
1 & -2 & 1
\end{pmatrix}$$
이고, 고유치를 구하기 위해 고유특성다항식을 구해보면
$$\lambda^3 - 6\lambda^2+32 = 0$$
이고, 이를 풀면 행렬 $A$의 고유치는
$$\lambda = -2, 4, 4$$
이다.
2018 중앙대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이
주어진 행렬 $A$의 고유치는
$$\lambda = -1, 2i, -2i$$
이다. 따라서 행렬 $A^{2018}$의 고유치는
$$\lambda = 1, -2^{2018}, -2^{2018}$$
이고 $\text{tr}(A^{2018})$의 값은 $A^{2018}$의 모든 고유치의 합이므로
$$\text{tr}(A^{2018}) = -2^{2019} + 1$$
이다.
2018 중앙대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이
주어진 기저를 이용해보면
$$\begin{align}
T(e) &=0e + 1T(e) + 0T^2(e) + 0T^3(e) \\
T^2(e) &= 0e + 0T(e) + 1T^2(e) + 0T^3(e) \\
T^3(e) &= 0e + 0T(e) + 0T^2(e) + 1T^3(e) \\
T^4(e) &= 0e + 0T(e) + 0T^2(e) + 0T^3(e)
\end{align}$$
이다. 이제 구하는 값은 위의 식에서 계수 중 $1$의 개수와 같으므로
$$\sum_{i=1}^4 \sum_{j=1}^4 a_{ij} = 3$$
이다.
2018 중앙대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이
외적을 통해 평면 $W$의 법선벡터 $n$을 구해보면
$$n = \begin{pmatrix}
-1 \\
-1 \\
1
\end{pmatrix}$$
이다. 따라서 $W$에 대한 정사영을 구하기 위해 법선벡터 $n$에 대한 정사영을 이용하면
$$\begin{align}
\text{proj}_W(b) &= b - \text{proj}_n(b) \\
&= b - \frac{n\circ b}{n\circ n}n \\
&= b + 2n
\end{align}$$
이므로
$$p_1 + p_2 + p_3 = 2 + 2\times(-1) = 0$$
이다.
2018 중앙대학교 편입수학 기출문제 26번 풀이
$\det e^A = e^{\text{tr}(A)} = e^{21}$이다.
2018 중앙대학교 편입수학 기출문제 27번 풀이
만약 $T(1, -1, 0)$에서 두 번째 성분을 $0$으로 만들 수 있다면 원하는 목표가 쉽게 구해진다.
주어진 평면 위에서 $z=0$이고 $y=1$이라고 하면 $x=-\frac{3}{2}$이다. 따라서
$$T\left(-\frac{3}{2}, 1, 0\right) = 0$$
이고, 선형변환의 선형성으로부터
$$\begin{align}
T\left(-\frac{1}{2}, 0, 0\right) &= T(1, -1, 0) + T\left(-\frac{3}{2}, 1, 0\right) \\
&= (2, 3, 7)
\end{align}$$
이다. 따라서 선형성을 다시 한 번 이용하면
$$T(1,0,0) = -2T\left(-\frac{1}{2}, 0, 0\right)$$
이므로
$$a+b+c=-2(2+3+7) = -24$$
이다.
2018 중앙대학교 편입수학 기출문제 28번 풀이
가장 먼저 차수가 $5$이하인 다항식을 나타내기 위해서는 상수항과 $x, x^2, \cdots, x^5$의 계수가 필요하다.
즉, 자유변수가 6개이므로 전체 차원은 6이다. 여기서부터 시작하자.
부분공간 $U$의 차원은 $p(0)=0$이라는 사실로부터 상수항이 결정되게 된다.
따라서 남은 자유변수의 개수가 $5$이므로 $\dim U = 5$이다.
부분공간 $V$의 차원은 $p(x)=p(-x)$라는 사실로부터 홀수차항의 계수가 전부 $0$이 된다.
따라서 남은 자유변수의 개수가 $3$이므로 $\dim V = 3$이다.
부분공간 $W$의 차원은 $p'(x)=0$이라는 사실로부터 $x, x^2, \cdots, x^5$의 계수가 전부 $0$이 된다.
따라서 남은 자유변수의 개수가 $1$이므로 $\dim W = 1$이다.
이상에서
$$\dim U + \dim V + \dim W = 9$$
이다.
2018 중앙대학교 편입수학 기출문제 29번 풀이
먼저 주어진 직선의 방향벡터인 $(1, -1, 1)$을 법선벡터로 하고 점 $(1,0,0)$을 지나는 평면을 구해보면
$$P : x-y+z=1$$
이다.
이제 이 평면을 위에서 내려다보는 그림을 생각하자.
이때 삼각형의 각 꼭짓점은 각각 $x, y, z$축과 만나는 점이고, 삼각형 내부의 점 $Q$는 직선 $x=-y=z$가
평면 $P$와 만나는 점이다.
그러면 주어진 세 점은 인접한 점과 점 $Q$를 중심으로 120도 회전시킨 관계이다.
따라서
$$\begin{align}
T\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix} \\
T\begin{pmatrix}
0 \\
-1 \\
0
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix} \\
T\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
0 \\
-1 \\
0
\end{pmatrix}
\end{align}$$
위의 결과를 이용하자. 선형변환의 선형성을 이용하면
$$\begin{align}
T\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix} &= T\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix} - 2T\begin{pmatrix}
0 \\
-1 \\
0
\end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
-2 \\
-3 \\
1
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이다. 따라서
$$\begin{cases}
a = -2\\
b = -3\\
c = 1
\end{cases}$$
이므로
$$a+2b+3c = -5$$
이다.
2018 중앙대학교 편입수학 기출문제 30번 풀이
주어진 연립방정식을 행렬표현으로 써보면
$$\begin{pmatrix}
2 & -1 & 0 & 1 & 1 \\
1 & 2 & -1 & 4 & 2 \\
1 & 7 & -4 & 11 & c
\end{pmatrix}$$
이고, 첨가행렬과의 rank가 같도록 하는 $c$를 기본행연산을 이용하여 구해보면
$$c-2=3$$
임을 얻으므로
$$c=5$$
이다.
마치며
이상으로 2018 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.
오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~
년도별 중앙대학교(수학과) 편입수학 정답 및 해설 (클릭시 이동)
2014년 및 그 이후의 시험지를 다룹니다.
별도로 기재되어 있지 않은 년도의 시험지의 경우 제 블로그의 '중앙대' 카테고리를 확인하세요.
- 2017 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설
- 2018 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (현재)
- 2019 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설
- 2020 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설
- 2021 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설
- 2022 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설
- 2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설
- 2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설
'편입수학 기출문제 풀이 > 중앙대(공대 및 수학과)' 카테고리의 다른 글
| [편입] 2020 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이) (2) | 2025.01.01 |
|---|---|
| [편입] 2019 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이) (0) | 2025.01.01 |
| [편입] 2017 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이) (0) | 2025.01.01 |
| [편입] 2016 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이) (0) | 2025.01.01 |
| [편입] 2015 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이) (1) | 2025.01.01 |