[편입] 2019 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)
안녕하세요 수학올인입니다.
이번 포스팅에선 2019년 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.
풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.
원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 중앙대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.
(중앙대학교 입학처 - 편입학 - 기출문제)
2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답
빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.
2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이
$x=0$ 근방에서
$$\begin{align}
& \sin(x^2) \approx x^2 \\
& \tan x \approx x
\end{align}$$
이므로 구하는 극한값은 $1$이다.
2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이
$1+\sec x=t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_2^3 t dt \\
&=\frac{5}{2}
\end{align}$$
이다.
2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이
먼저 행렬
$$\begin{align}
A = \begin{pmatrix}
3 & -1 & 0 \\
-1 & 2 & -1 \\
0 & -1 & 3 \\
\end{pmatrix}
\end{align}$$
를 생각하자.
주어진 세 벡터가 일차종속이라면 주어진 세 벡터를 열로 갖는 행렬의 행렬식이 $0$일것이다.
그런데 주어진 세 벡터를 열로 갖는 행렬을 $B$라 하면
$$\det B = \det (A - kI)$$
가 성립하므로, 구하는 $k$는 행렬 $A$의 고유치이다.
따라서 모든 $k$의 합은 $\text{tr}(A) = 8$이다.
2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이
[풀이 1]
임의의 양의 실수 $x$에 대하여
$$\frac{\ln x}{x}\leq \frac{1}{e}$$
임을 알고있을 때 사용할 수 있는 풀이이다.
주어진 식을 변형하면
$$\begin{align}
x^{x^{-2}} &= e^{\frac{\ln x}{x^2}} \\
&= e^{\frac{\ln x^2}{2x^2}} \\
&\leq e^{\frac{1}{2e}}
\end{align}$$
이다.
[풀이 2]
정직하게 미분을 통해 계산하면 된다.
2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이
고유벡터의 정의로부터
$$\begin{align}
& A\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
2 \\
0 \\
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
a \\
c \\
\end{pmatrix} \\
& A\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
5 \\
5 \\
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
a+b \\
c+d \\
\end{pmatrix}
\end{align}$$
에서 계산을 통해 $b=3$임을 알 수 있다.
2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이
먼저 주어진 점을 원점을 기준으로 시계 반대 방향으로 회전시키자.
원점을 중심으로 반시계 방향으로 $45$도 회전하는 회전변환의 행렬표현은
$$T = \begin{pmatrix}
\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\
\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\
\end{pmatrix}
$$
이다. 따라서 회전시켜 얻은 점의 좌표는
$$T\begin{pmatrix}
5 \\
6 \\
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
-\frac{\sqrt{2}}{2} \\
\frac{11\sqrt{2}}{2} \\
\end{pmatrix}
$$
이다. 따라서 회전시켜 얻은 점의 좌표는 $\displaystyle \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{11\sqrt{2}}{2}\right)$이다.
이제 이를 직선 $y=-x$에 대칭시킬건데, $x, y$순서를 바꾸고 부호를 모두 바꾸면 된다.
따라서 위의 점을 직선 $y=-x$에 대칭시킨 점의 좌표는
$$\left(-\frac{11\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$
이고 $b+c=-5\sqrt{2}$이다.
2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이
$x=\sin t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} t\cos tdt \\
&= \frac{3\sqrt{2}-2}{24}\pi - \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}
\end{align}$$
이다.
2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이
$x=0$ 근방에서
$$\sin (x^2) \approx x^2$$
이므로
$$\int_0^x \sin(t^2)dt \approx \frac{1}{3}x^3$$
이다. 즉
$$f(x) \approx \frac{x}{3}$$
이고, $f'(0)=\frac{1}{3}$이다.
2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이
행렬 $X$를
$$X = \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}
$$
라고 하자. 그러면
$$T(X)=XA = \begin{pmatrix}
a & -2a+4b \\
c & -2c+4d \\
\end{pmatrix}
$$
이므로 $T$의 행렬표현은
$$T = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
-2 & 4 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -2 & 4 \\
\end{pmatrix}
$$
이다. 한편 $T$의 고윳값을 중복을 포함하여 모두 더한 값은 대각합과 같으므로
구하는 값은 $\text{tr}(T) = 10$이다.
2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이
직선 $y=tx$와 $x$축의 양의 방향이 이루는 각을 $\theta$라 하자. 그러면
$$\tan\theta = t$$
가 성립한다.
한편 $y=tx$에 대한 대칭이동 공식을 이용하면
$$\begin{pmatrix}
a(t) \\
b(t)
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\cos2\theta & \sin2\theta \\
\sin2\theta & -\cos2\theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-5 \\
12
\end{pmatrix}$$
가 성립한다. 이제 양변을 $t$로 미분하면
$$\begin{pmatrix}
a'(t) \\
b'(t)
\end{pmatrix} = \frac{d\theta}{dt}\times\begin{pmatrix}
-2\sin2\theta & 2\cos2\theta \\
2\cos2\theta & 2\sin2\theta
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-5 \\
12
\end{pmatrix}$$
가 성립하므로
$$\begin{cases}
a'(t) = \frac{d\theta}{dt}(10\sin2\theta+24\cos2\theta) \\
b'(t) = \frac{d\theta}{dt}(-10\cos2\theta + 24\sin2\theta)
\end{cases}$$
임을 얻는다. 따라서 구하는 길이 $L$은
$$\begin{align}
L &= \int_{-1}^1 \sqrt{(a'(t))^2 + (b'(t))^2}dt \\
&= \int_{-1}^1 \sqrt{(10\sin2\theta+24\cos2\theta)^2 + (-10\cos2\theta + 24\sin2\theta)^2} \frac{d\theta}{dt}dt\\
&= \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{26^2}d\theta \\
&= 13\pi
\end{align}$$
이다. 중간에 적분구간이 바뀐 이유는 $\frac{d\theta}{dt}$와 $dt$를 약분하며 $\theta$에 대한 적분으로 바뀌었기 때문이다.
2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이
구면좌표계를 이용하면 주어진 삼중적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{\frac{\pi}{4}} \int_0^{\sqrt{2}} \rho^3 \sin^2 \phi \cos\theta d\rho d\phi d\theta \\
&= \frac{\pi-2}{8}
\end{align}$$
이다.
2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이
이 포스팅에서는
i) 회전곡면의 겉넓이 공식을 이용하는 풀이
ii) 회전시킨 곡면의 방정식 자체를 구하는 풀이
두가지 풀이를 소개한다.
[풀이 1]
곡선 $y=f(x)\quad(a\leq x\leq b)$를 $x$축을 중심으로 회전시켜 얻은 회전곡면의 겉넓이를 구할 때
$$\int_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}dx$$
를 계산함을 이용한다.
문제에서 주어진 선분의 방정식은
$$l(t) = (t, 1, t)\quad (-1\leq t\leq 1)$$
이고, 선분 위의 임의의 점에서, 즉, 범위 내의 임의의 $t$에 대하여 직선에서 $z$축까지의 거리를 구하자.
구하는 거리를 $f(t)$라 하면 점 $(t,1 ,t)$에서 $z$축까지의 거리가 $f(t)$이므로
$$f(t) = \sqrt{t^2 + 1}$$
이다.
이제 구하는 겉넓이를 $S$라 하면 이를 $z$축을 중심으로 회전시킨 회전곡면의 겉넓이가 $S$와 같으므로
$$\begin{align}
S &= 2\pi\int_{-1}^1 f(t)\sqrt{1+(f'(t))^2}dt \\
&= 4\pi\int_0^1 \sqrt{2t^2 + 1}dt \\
&= 2\sqrt{2}\pi \int_0^a\sec^3 u du \quad \left(t=\frac{1}{\sqrt{2}}\tan u, \tan a = \sqrt{2}\right) \\
&= \pi(2\sqrt{3} + \sqrt{2}\ln(\sqrt{2} +\sqrt{3})
\end{align}$$
이다.
[풀이 2]
문제에서 주어진 선분의 방정식은
$$l(t) = (t, 1, t)\quad (-1\leq t\leq 1)$$
이다. 이제 우리가 구할 곡면은 이 선분을 $z$축으로 회전시켜 얻은 곡면이다.
즉, 얻은 곡면을 $z$축에 수직인 평면, 즉, $xy$평면과 평행한 평면으로 자른 단면은 원이다.
그리고 그 원은
$$x^2 + y^2 = t^2+1,\quad z=t$$
의 형태일 것이다. 그런데 이 둘을 연립하면 $t$를 소거시킬 수 있다. 즉, 곡면
$$S : x^2 + y^2 = z^2 + 1$$
의 일부분이 주어진 선분을 회전시켜 얻은 곡면이 된다.
또, 문제를 다시 일변수로 단순화하면 위의 곡면은 $xz$평면의 곡선
$$z=\pm\sqrt{x^2 - 1}$$
을 $z$축을 중심으로 회전시켜 얻은 곡면이다. 이제 $t=1$이면 $z=1$이므로 $x=\sqrt{2}$이다.
따라서 대칭성을 고려하면 구하는 곡면의 넓이는 $xz$평면의 곡선
$$z=\sqrt{x^2 - 1}\quad (1\leq x\leq \sqrt{2})$$
를 $z$축으로 회전시켜 얻은 회전곡면의 넓이의 $2$배이고, 계산을 통해 위와 동일한 결과를 얻을 수 있다.
2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이
주어진 행렬 $A^3$의 고윳값은
$$\lambda = 8, 1$$
이므로, 행렬 $A$의 고윳값은
$$\lambda = 2, 1$$
이다. 따라서 행렬 $A^5$의 고윳값은
$$\lambda = 32, 1$$
이고, 따라서 $\text{tr}(A) = 33$이다.
2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이
행렬 $A$의 고유치를 $a, b, c$라 하면, 문제의 조건으로부터
$$\begin{align}
a+b+c&= 2 \\
a^2+b^2+c^2&=10 \\
a^3 + b^3 + c^3 &= 20
\end{align}$$
을 만족시킨다. 한편 곱셈공식으로부터
$$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca)$$
가 성립하므로
$$ab+bc+ca=-3$$
이다. 또,
$$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$$
가 성립하므로
$$abc=-2$$
이다. 이제 구하는 값을 보면 어떤 행렬의 행렬식의 값은 모든 고유치의 곱과 같으므로
$$\det A = abc = -2$$
이다.
2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이
코시 슈바르츠 부등식으로부터
$$2(x^2 + y^2)\geq (x+y)^2$$
이다. 이때 문제의 조건인
$$\begin{cases}
x+y=2-2z \\
x^2 + y^2 = z
\end{cases}$$
를 대입하면
$$2z\geq 4-8z+4z^2$$
에서 식을 정리하면
$$\frac{1}{2}\leq z\leq 2$$
임을 얻는다. 따라서 구하는 값의 최대는
$$e^{x^2 + y^2 + z} = e^{z^2 + z} \leq e^6$$
이다.
2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이
문제의 조건으로부터 주어진 평면의 법선벡터와 주어진 두 점을 지나는 벡터는 수직이다.
평면의 법선벡터를 $n$, 주어진 두 점을 지나는 벡터를 $v$라 하면
$$\begin{align}
& n= (1,-2,3) \\
& v = (4,-5,6-a)
\end{align}$$
에서
$$n\circ v = 0\quad \Longleftrightarrow\quad a=\frac{32}{3}$$
이다. 따라서 $3a=32$이다.
2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이
주어진 내적에 대해 정규직교기저를 이룬다는 조건으로부터
i) 서로 내적했을 때 그 결과가 $0$
ii) 자기자신끼리 내적했을 때 그 결과가 $1$
임을 이용하자.
i)를 먼저 이용해보면
$$<\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
a \\
b \\
c
\end{pmatrix}> = a-c = 0$$
에서 $a=c$이고,
$$<\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
a \\
b \\
c
\end{pmatrix}> = b = 0$$
이다.
이제 ii)를 이용하면
$$\begin{align}
<\begin{pmatrix}
a \\
b \\
c
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
a \\
b \\
c
\end{pmatrix}> &= a^2 + b^2 - 2ac + 4c^2 \\
&= 3c^2 \\
&= 1
\end{align}$$
에서
$$a^2 = c^2 = \frac{1}{3}, b^2 = 0$$
이므로 구하는 값은 $\frac{2}{3}$이다.
2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이
구의 중심이 직선
$$x=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$$
위에 있으므로 중심의 좌표를 $(t, 2t, 3t)$로 쓸 수 있다.
따라서 이 점으로부터 주어진 두 평면까지의 거리가 동일하므로
$$\frac{|6t-3|}{\sqrt{3}} = \frac{|6t+3|}{3\sqrt{3}}$$
에서
$$t=\frac{1}{4}, 1$$
이다. 이때 각각의 $t$를 위에서 구한 거리 식에 대입하면
$$\begin{cases}
t=1 &\Longrightarrow r=\sqrt{3} \\
t=\frac{1}{4}&\Longrightarrow r=\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{cases}$$
이고, 이 두 값 모두 구하는 값은 동일하게
$$\left(r-\frac{3\sqrt{3}}{4}\right)^2 = \frac{3}{16}$$
이다.
2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이
점 $(a, b)$가 주어진 타원 위의 점이므로
$$a^2 + 4b^2 = 5$$
이다. 이제 점 $(a, b)$에서의 접선의 방정식을 구해보면
$$y=-\frac{a}{4b}(x-a)+b$$
이고, 이 직선이 두 점 $(3, 2)$, $(c, 0)$을 모두 지나므로
$$\begin{cases}
2&=-\frac{a}{4b}(3-a)+b \\
0&=-\frac{a}{4b}(c-a)+b
\end{cases}$$
임을 얻고, 식을 정리해서 써보면
$$\begin{cases}
3a+8b=a^2+4b^2 \\
ac=a^2 + 4b^2
\end{cases}$$
이므로 $a^2 + 4b^2 = 5$임을 이용하면
$$\begin{cases}
3a+8b=5 \\
ac=5
\end{cases}$$
이다. 따라서
$$a=\frac{5-8b}{3}$$
이고, 이를 $a^2 + 4b^2 = 5$에 대입하여 풀면
$$b = -\frac{1}{5}, 1$$
에서 $b>0$이므로 $b=1$이다. 따라서 이로부터 $a=-1, c=-5$임을 알 수 있으므로
$$a+b+c=-5$$
이다.
2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이
변수별로 각각 계산하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \left(\int_0^\infty e^{-x^2}dx\right)\left(\int_0^\infty ye^{-y^2}dy\right) \\
&= \frac{\sqrt{\pi}}{4}
\end{align}$$
이다.
2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이
(가) : 교대급수판정법으로부터 수렴한다.
(나) : $\ln n$을 무시할 수 있으므로 p급수 판정법으로부터 수렴한다.
(다) : 적분판정법으로부터 발산한다.
(라) : $\frac{1}{n\sqrt{n}}$과의 극한비교판정법으로부터 수렴한다.
2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이
임계점을 구하기 위해 편도함수가 $0$이 되는 지점을 계산하면
$$\begin{align}
& f_x = 3x^2 -6y +6 = 0 \\
& f_y = 2y - 6x + 3 = 0
\end{align}$$
이다. 이제 이 둘을 연립하면 임계점으로 두 점
$$\left(1, \frac{3}{2}\right), \left(5, \frac{27}{2}\right)$$
을 얻는다.
한편
$$\begin{cases}
f_{xx} = 6x \\
f_{yy} = 2 \\
f_{xy} = -6
\end{cases}$$
이므로 전자에서 극소, 후자는 안장점이다.
이상에서 $a+b=\frac{37}{2}$이다.
2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이
평면 $x+2z=0$이 원점을 포함하므로 주어진 상황을 다음 그림과 같이 나타낼 수 있다.
이때 점 $\rm{B}$의 좌표가 $(a,b,c)$이고, $\angle\rm{OBA}=\angle\rm{OBA}=\frac{\pi}{2}$이다.
$\angle\rm{OCA}=\angle\rm{OAB}=\theta$라 하고 두 평면의 법선벡터와 내적을 이용하면
$$\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{5}}\quad\Longrightarrow\quad \sin\theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$$
임을 알 수 있고, 점과 평면사이의 거리를 구해보면
$$\mathrm{\overline{OA}}=\frac{10}{3}$$
이므로 직각삼각형 $\rm{ABO}$를 생각하면 구하는 값은
$$\mathrm{\overline{OB}}=\frac{10}{3}\sin\theta = \frac{2\sqrt{5}}{3}$$
이다.
2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이
$x^2 + 2xy+4y^2 = 1$을 이차형식으로 표현했을 때의 대칭행렬 $A$는
$$A = \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 4
\end{pmatrix}$$
이고, 행렬 $A$의 고유치를 $a, b$라 하면 곡선 $x^2 + 2xy+4y^2 = 1$은 직교대각화외 주축정리로부터
$$ax^2 + by^2 = 1$$
로 바뀐다. 따라서 문제에서 주어진 적분은 영역
$$D' : ax^2 + by^2 \leq 1$$
에 대하여
$$\iint_{D'}(1-ax^2 - by^2)dxdy$$
와 같다.
이제 변수변환
$$\begin{cases}
\sqrt{a}x = u\\
\sqrt{b}y = v
\end{cases}$$
을 이용하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \frac{1}{\sqrt{ab}} \iint_{u^2 + v^2\leq 1}(1-u^2-v^2)dudv \\
&= \frac{1}{\sqrt{3}}\int_0^{2\pi}\int_0^1 r(1-r^2)drd\theta \\
&= \frac{\pi}{2\sqrt{3}}
\end{align}$$
이다.
2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이
곡면적의 정의를 이용한 풀이와 곡면을 직접 구하는 풀이가 있다.
[풀이 1]
$z>0$임을 고려했을 때 주어진 곡면을 직접
$$S : z=\sqrt{x^2 + y^2}$$
로 구할 수 있다.
이제 어떤 영역에서 저 곡면의 넓이를 구해야 하는지 파악하자.
$xy$평면상에서의 적분영역을 $A$라 하면
$$0\leq r \leq 1\quad\Longrightarrow\quad 1\leq e^r \leq e$$
이므로 $xy$평면상에서 정의역 $A$는
i) 원점이 중심이고 반지름이 $1$인 원의 외부
ii) 원점이 중심이고 반지름이 $e$인 원의 내부
를 전부 만족하면서 $0\leq \theta \leq \pi$인 부분이다.
따라서 영역 $A$의 넓이는
$$\text{Area}(A) = \frac{\pi}{2}(e^2 - 1)$$
이고, (이 포스팅)을 참고하면 구하는 곡면의 넓이는
$$\sqrt{2}\text{Area}(A) = \frac{\sqrt{2}\pi}{2}(e^2 - 1)$$
이다.
[풀이 2]
곡면적을 구하는 공식을 이용하기 위해 각각을 $r, \theta$로 편미분하면
$$\begin{align}
S_r &= (e^r\cos\theta, e^r\sin\theta, e^r) \\
S_{\theta}&= (-e^r\sin\theta, e^r\cos\theta, 0)
\end{align}$$
이므로
$$S_r \times S_{\theta} = e^{2r}(-\cos\theta, -\sin\theta, 1)$$
이다. 따라서 구하는 곡면의 넓이 $A$는
$$\begin{align}
A &= \int_0^\pi \int_0^1 |S_r \times S_{\theta}| drd\theta \\
&= \int_0^\pi \int_0^1 \sqrt{2}e^{2r} drd\theta \\
&= \frac{\sqrt{2}\pi}{2}(e^2 - 1)
\end{align}$$
이다.
2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 26번 풀이
주어진 벡터장은 보존적이므로 포텐셜함수를 구해보면
$$f(x,y,z)=e^x \sin y + \frac{1}{3}z^3$$
이다. 따라서 선적분의 기본정리로부터 주어진 선적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= f(x,y,z)\bigg|_{(0,0,0)}^{\left(1,\frac{\pi}{2},1\right)} \\
&= e + \frac{1}{3}
\end{align}$$
이다.
2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 27번 풀이
주어진 곡면 $S$에 새 곡면
$$S_1 : z=0\quad (x^2 + y^2 \leq 1)$$
을 추가하여 만든 곡면을 $S'$라 하자.
그러면 $S'$은 폐곡면이므로, 이 곡면의 내부를 $E$라 했을 때 발산정리로부터
$S'$에서의 면적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \iiint_{E}(2x+2y+2z) dV \\
&= 2\iiint_E zdV \\
&= \iint_{x^2 + y^2 \leq 1}(1-x^2 - y^2)dxdy \\
&= \pi
\end{align}$$
이다.
한편 $S_1$에 대한 면적분은 정의로부터
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= -\iint_{x^2 + y^2 \leq 1}(x^2 + y^2)dxdy \\
&= -\frac{\pi}{2}
\end{align}$$
이다.
따라서 우리가 구하는 원래의 면적분값은 $S'$에서의 면적분값에서 $S_1$에서의 면적분값을
뺀 것이므로
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) \\
&= \pi
\end{align}$$
이다.
2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 28번 풀이
1. 존재하지 않을 수도 있다. 예를 들어
$$A = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}$$
라고 하면 조건을 만족시키는 자연수 $n$은 존재하지 않는다.
2. 어떤 행렬의 대각합은 그 행렬의 모든 고윳값의 합이므로
$$\begin{align}
\text{tr}(A-2I) &= -2+(-1) + 0 \\
&= -3
\end{align}$$
이다.
3. 행렬 $A$의 고유특성다항식이
$$\lambda(\lambda-1)(\lambda-2) =\lambda^3 - 3\lambda^2 + 2\lambda = 0$$
임을 고려했을 때
$$A^3 - 3A^2 + 2A = O$$
가 되어야 한다.
4. 행렬 $A+I$의 고윳값이
$$\lambda=1, 2, 3$$
이므로, 이의 역행렬의 고윳값은
$$\lambda = 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}$$
이다.
이상에서 옳은 것은 4번이다.
2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 29번 풀이
행렬 $A$의 고윳값 $\lambda$에 대하여 구하는 최댓값은
$$2\times |\lambda|$$
이다.
이제 행렬 $A$의 고윳값을 구해보면
$$\lambda= 3, 3, 5$$
이므로, 구하는 최댓값은 $10$이다.
2019 중앙대학교 편입수학 기출문제 30번 풀이
쌍대기저의 정의로부터
$$\phi_n(f_m(x)) = \begin{cases}
1&\quad(n=m) \\
0&\quad (n\neq m)
\end{cases}$$
이다.
따라서
$$f_1(x) = a+bx+cx^2$$
라 하면
$$\begin{cases}
\phi_1(f_1(x))=1 \\
\phi_2(f_1(x))=0 \\
\phi_3(f_1(x))=0
\end{cases}$$
을 만족시켜야 하고, 계산을 통해
$$\begin{cases}
a+\frac{b}{2}+\frac{c}{3}=1 \\
b+2c=0\\
a=0
\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad \begin{cases}
a=0\\
b=3\\
c=-\frac{3}{2}
\end{cases}$$
이다.
마찬가지로 이 과정을 $f_2(x), f_3(x)$에도 그대로 적용하면
$$\begin{cases}
\phi_1(f_2(x))=0 \\
\phi_2(f_2(x))=1 \\
\phi_3(f_2(x))=0
\end{cases}$$
에서
$$\begin{cases}
a=0\\
b=-\frac{1}{2}\\
c=\frac{3}{4}
\end{cases}$$
이고
$$\begin{cases}
\phi_1(f_3(x))=0 \\
\phi_2(f_3(x))=0 \\
\phi_3(f_3(x))=1
\end{cases}$$
에서
$$\begin{cases}
a=1 \\
b=-3 \\
c=\frac{3}{2}
\end{cases}$$
이다.
이상에서
$$\begin{align}
f_1(x) &= 3x-\frac{3}{2}x^2 \\
f_2(x) &= -\frac{1}{2}x + \frac{3}{4}x^2 \\
f_3(x) &= 1-3x+\frac{3}{2}x^2
\end{align}$$
이므로
$$f_1(1)+f_2(1) + f_3(1) = \frac{5}{4}$$
이다.
마치며
이상으로 2019 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.
오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~
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