[편입] 2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)
안녕하세요 수학올인입니다.
이번 포스팅에선 2023년 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.
풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.
원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 중앙대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.
(중앙대학교 입학처 - 편입학 - 기출문제)
2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 빠른 정답
빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.
2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 1번 풀이
주어진 조건으로부터
$$T\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{pmatrix} = T\left(\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}- \begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}
-5 \\
3 \\
-1
\end{pmatrix}$$
이고,
$$T\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix} = T\left( \begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix}
9 \\
-8 \\
0
\end{pmatrix}$$
이다. 따라서 종합하면
$$T\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & -5 & 9 \\
2 & 3 & -8 \\
2 & -1 & 0
\end{pmatrix}$$
에서 곱해진 단위행렬은 생략할 수 있으므로
$$T = \begin{pmatrix}
1 & -5 & 9 \\
2 & 3 & -8 \\
2 & -1 & 0
\end{pmatrix}$$
이다. 한편 $T$의 핵은 실수 $t$에 대하여 $(t, 2t, t)$이므로 핵과 점 $(1,-2,3)$의
최단거리는 $\sqrt{14}$이다.
2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 2번 풀이
구하는 넓이는 성망형 곡선의 $\frac{1}{4}$이므로, (이 포스팅)을 참고하면
구하는 넓이는 $\frac{3}{32}\pi$이다.
2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 3번 풀이
[풀이 1]
직접 고유치를 구하면
$$\lambda = \frac{3}{5}, -\frac{1}{10}, \frac{1}{10}$$
이므로, 구하는 값은 $5$이다.
[풀이 2]
주어진 행렬을 $A$라고 하고, 고유치의 성질을 이용하면
$$\begin{align}
\frac{3}{\alpha} + \frac{3}{\beta} + \frac{3}{\gamma} &= \frac{3(\alpha\beta + \beta\gamma + \alpha\gamma)}{\alpha\beta\gamma} \\
&= \frac{3(C_{11} + C_{22} + C_{33})}{\det A} \\
&= \frac{3(-0.08 + 0.09 - 0.02)}{-0.006} \\
&= 5
\end{align}$$
이다. (단, $C_{nm}$은 여인수이다.)
2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 4번 풀이
주어진 식을 $y$에 대해 풀면 $y=\pm \sqrt{\frac{x^3}{3}}$인데, 그래프의 개형을 따져보면
부호가 +인 $y=\sqrt{\frac{x^3}{3}}$과 주어진 점 사이의 최단거리를 구하면 된다.
곡선 위의 점 중 최단거리가 되는 점을 $\mathrm{A}\left(t, \sqrt{\frac{t^3}{3}}\right)$라 하면
점 $\mathrm{A}$에서의 접선과 두 점 $(0, \sqrt{3})$, $\mathrm{A}$를 지나는 직선이 수직이다.
즉,
$$\frac{\sqrt{\frac{t^3}{3}} - \sqrt{3}}{t-0} \times \frac{\sqrt{3}t^2}{2\sqrt{t^3}} = -1$$
에서 식을 정리하면
$$(\sqrt{t^3} - 3)t = -2\sqrt{t^3}$$
이고 이를 풀면 $t=1$이다. 따라서 우리가 구하는 거리는 두 점
$$(0, \sqrt{3}),\quad \left(1, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$$
사이의 거리인 $\sqrt{\frac{7}{3}}$이다.
2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 5번 풀이
적분순서를 변경하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_0^1 \int_0^{x^2} e^{x^3} dydx\\
&= \int_0^1 x^2 e^{x^3} dx \\
&= \frac{1}{3}(e-1)
\end{align}$$
이다.
2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 6번 풀이
행렬
$$A = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
1.5 & 0.5
\end{pmatrix}$$
의 고유치와 고유벡터를 구해보면
$$\begin{align}
& \lambda_1 = 1,\quad v_1 = \begin{pmatrix}
\frac{1}{3} \\
1
\end{pmatrix} \\
&\lambda_2 = \frac{1}{2}, \quad v_2 = \begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이다. 한편 구하는 값은 $A^n$의 모든 성분의 합의 극한인데, 이는
$$A^n \begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix}$$
에 극한을 취한 결과의 모든 성분의 합과 같다. 한편
$$\begin{align}
A^n \begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix} &= A^n \left(3\begin{pmatrix}
\frac{1}{3} \\
1
\end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix}
0\\
1
\end{pmatrix}\right) \\
&= 3\begin{pmatrix}
\frac{1}{3} \\
1
\end{pmatrix} - 2\times \left(\frac{1}{2}\right)^n \begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이므로
$$\lim_{n\to\infty} A^n \begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 \\
3
\end{pmatrix}$$
이고 따라서 구하는 값은 $1+3 = 4$이다.
2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 7번 풀이
그림을 그리면 다음과 같다.
우리가 구해야 하는 넓이는 큰 원의 외부이면서 작은 원의 내부인 영역의 넓이이다.
그런데 그림상의 파란 직선 $y= \sqrt{3} (-1\leq x\leq 1)$은 작은 원의 지름이므로
구하는 넓이는 작은 원의 넓이의 절반에서 큰 원과 파란 직선으로 둘러싸인
활꼴의 넓이를 빼준 값과 같다.
즉, 구하는 넓이 $S$는
$$\begin{align}
S &= \frac{1}{2}\pi - \int_{-1}^1 (\sqrt{4-x^2} - \sqrt{3})dx \\
&= \frac{1}{2}\pi - \left(\frac{2}{3}\pi - \sqrt{3}\right) \\
&= \sqrt{3} - \frac{\pi}{6}
\end{align}$$
이다.
2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 8번 풀이
다음 그림을 생각하자.
그러면 점 $\mathrm{P}$를 지나고 $y$축과 평행한 직선을 생각했을 때
엇각의 성질로부터 $\theta = \alpha + \beta$가 성립함을 알 수 있다.
따라서
$$\begin{align}
\tan \theta &= \tan(\alpha + \beta) \\
&=\frac{\frac{t}{2} + \frac{5-t}{7}}{1-\frac{t(5-t)}{14}} \\
&= \frac{5t+10}{t^2 - 5t + 14}
\end{align}$$
이므로, $f(t) = \frac{5t+10}{t^2 - 5t + 14}$라고 하면
$$\theta = \tan^{-1} f(t)$$
가 성립한다. 그런데 $\tan^{-1}x$는 증가함수이므로, $f(t)$가 커지면 $\theta$도 커진다.
따라서 우리는 $f(t)$의 최대를 구하면 되며, $f'(2\sqrt{7} - 2) = 0$이므로
최대가 되는 $t$는 $t=2\sqrt{7} - 2$이다.
2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 9번 풀이
임계점을 구하면 $(1, 1)$이므로, $x=y=1$일 때 최솟값 $6$을 가진다.
2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 10번 풀이
다항식 $1+t+t^2$의 순서기저 $B$에 대한 좌표벡터를 구해보면
$$\begin{align}
&1+t+t^2 \\
&= \frac{1}{2}(1+t^2) + 0(t+t^2) + \frac{1}{2}(1+2t+t^2)
\end{align}$$
이 성립하므로, 좌표벡터는 $\left(\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}\right)$이다.
따라서 선형변환 $T_B$을 통해 공역의 좌표벡터를 구하면
$$T_B \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} \\
0 \\
\frac{1}{2}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\frac{3}{2} \\
-\frac{1}{2} \\
4
\end{pmatrix}$$
이므로, 다시 순서기저와 일차결합시키면
$$\begin{align}
& p(t) \\
&= \frac{3}{2}(1+t^2) - \frac{1}{2}(t+t^2) + 4(1+2t+t^2)
\end{align}$$
이 성립하므로, $p(-1) = 3$이다.
2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 11번 풀이
$\text{rank}(A) = x$라 하자. 우리는
$$\text{rank}(A) = \text{rank}(A^T) = \text{rank}(A^T A)$$
가 성립함을 이용할것이다.
가장 먼저 $A$의 영공간의 차원이 $7$이므로 $n-x = 7$이다.
또, $A^T$의 영공간의 차원이 $2$이므로 $m-x = 2$이다.
한편 행렬 $A^T A$는 $n\times n$행렬이므로, $n-x = k = 7$이다.
따라서 구하는 값은
$$\begin{align}
m-n+k &= (2+x) - (7+x) + 7 \\
&= 2
\end{align}$$
이다.
2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 12번 풀이
첫 번째 식에 $x$ 대신 $g(x)$를 대입하면
$$f'(g(x)) = 1+x^2$$
이 성립한다. 이제 두 번째 식의 양변을 미분하면
$$f'(g(x))g'(x) = 1$$
에서 식을 정리하면
$$g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))} = \frac{1}{1+x^2}$$
이므로 $g'(2) = \frac{1}{5}$이다.
2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 13번 풀이
지수로그의 성질로부터
$$\begin{align}
y' &= x^{\sin x}\left(\cos x\ln x + \frac{\sin x}{x}\right)
\end{align}$$
이 성립하므로,
$$y'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2}\times \frac{2}{\pi} = 1$$
이다.
2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 14번 풀이
좌변 전체를 $f(x,y,z)$라고 하고 경도벡터를 구하기 위해 편미분하면
$$\begin{align}
& f_x = 4x^3 - 6xy^2 z^2 \\
& f_y = 4y^3 - 6x^2 yz^2 \\
& f_z = 4z^3 - 6x^2 y^2 z
\end{align}$$
에서 주어진 점에서 경도벡터는
$$\nabla f = (-8, -8, 2\sqrt{2})$$
이다. 따라서 이를 법선벡터로 하고 주어진 점을 지나는 평면이 법평면이므로
$$P : 4x+4y - \sqrt{2}z = 6$$
이 구하는 법평면의 방정식이고, $(0, 0, a)$를 대입하면 $a=-3\sqrt{2}$이다.
2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 15번 풀이
$x=0$ 근방에서 $\sinh x\approx x + \frac{1}{6}x^3$이므로 구하는 극한값은
$\frac{1}{6}$이다.
2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 16번 풀이
주어진 곡선을 $y$에 대해 풀면 $y=\pm\sqrt{2x}$인데, 그래프의 개형을 고려하면
주어진 점과 곡선 $y=\sqrt{2x}$의 최단거리를 구하면 된다.
이제 곡선 위의 점 중 점 $(1, 4)$와 거리가 최소가 되는 점을 $\mathrm{A}(t, \sqrt{2t})$라 하면
점 $\mathrm{A}$에서의 접선과 두 점 $\mathrm{A}, (1, 4)$를 지나는 직선은 수직이다. 즉,
$$\frac{\sqrt{2t} - 4}{t-1}\times \frac{1}{\sqrt{2t}} = -1$$
에서 식을 정리하면
$$\sqrt{t} - 2\sqrt{2} = -(t-1)\sqrt{2}$$
이고 이를 풀면 $t=2$이다.
(상수항에 $\sqrt{2}$가 포함되어 있으므로 $t=2$를 대입해보는것이 합리적이다.)
따라서 구하는 거리는 두 점 $(1, 4), (2, 2)$사이의 거리이므로 $\sqrt{5}$이다.
2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 17번 풀이
구하는 부피 $V$는
$$\begin{align}
V &= 2\pi \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{2x}{(x-1)(x^2 - 1)}dx \\
&= \pi\int_0^{\frac{1}{2}} \left( \frac{2}{(x-1)^2} + \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right)dx \\
&= \pi(2-\ln 3)
\end{align}$$
이다.
2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 18번 풀이
주어진 타원 위의 점 중 제 $1$사분면의 점의 좌표를 $(a, b)$라 하자.
그러면 대칭성으로부터 내접하는 직사각형의 넓이 $S$는 $S =4ab$이다.
한편 산술기하평균 부등식을 이용하면
$$\begin{align}
1 &= a^2 + \frac{b^2}{4} \\
&\geq 2 \times \frac{ab}{2} \\
&=ab
\end{align}$$
에서 $S \leq 4$이다.
2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 19번 풀이
$\tan\frac{x}{2} =t$로 치환하자. 그러면
$$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$$
이 성립하므로, 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^1 \frac{2}{2t^2 + 2t} dt \\
&= \int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^1 \frac{1}{t(t+1)}dt \\
&= \ln \frac{1+\sqrt{3}}{2}
\end{align}$$
이다.
2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 20번 풀이
(가) 적분판정법으로부터 수렴한다.
(나) 근판정법으로부터 수렴한다.
(다) 교대급수판정법으로부터 수렴한다.
(라) $\frac{1}{n}$과의 극한비교판정으로부터 발산한다.
2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 21번 풀이
$f(x) = -\ln(1-x)$이므로 구하는 값은 $\ln 2$이다.
2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 22번 풀이
(가) 조건에 $x=y=0$을 대입하면 $f(0)=0$이고, (나) 조건으로부터 $f'(0) = 1$이다.
한편 (가)의 양변을 $y$로 편미분하면
$$f'(x+y) = f'(y) + x^2 + 2xy$$
에서 $y=0$을 대입하면
$$f'(x) = f'(0)+x^2 = x^2 + 1$$
이므로 다시 적분 후 $f(0)=0$임을 이용하면
$$f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x$$
이므로 $f(3) = 12$이다.
2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 23번 풀이
[풀이 1]
영역 $x^2 + y^2 \leq 4$는 극좌표계상의 영역으로 $0\leq r\leq 2$, $0\leq \theta \leq 2\pi$와 같다.
따라서 $x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$로 치환하면 주어진 이변수함수 $f(x,y)$는
$$f(x,y) = r^2 e^{-r^2}(\cos^2 \theta +2\sin^2 \theta)$$
로 쓸 수 있다. 이제 새로운 두 함수
$$g(r) = r^2 e^{-r^2},\quad h(\theta) = \cos^2 \theta +2\sin^2 \theta$$
를 생각하면 두 함수 $g, h$는 항상 $0$ 이상이므로, 각각을 최대로 만들면 $f(x,y)$가 최대가 된다.
$g$를 먼저 살펴보면
$$g'(r) = 2re^{-r^2}(1-r^2)$$
에서 $g'(1) = 0$이므로 $r=1$에서 최댓값 $\frac{1}{e}$를 가진다.
$h$를 살펴보는데, $\cos^2 \theta = 1-\sin^2 \theta$를 적용하면
$$h(\theta) = 1 + \sin^2 \theta$$
이므로 $h$의 최대는 $2$이다.
이상에서 $f$의 최대는 $\frac{1}{e}\times 2 = \frac{2}{e}$이다.
[풀이 2]
일반적인 이변수함수의 최대최소를 구하는 방법대로 영역 내부와 경계로 나누어 계산한다.
(계산 생략)
2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 24번 풀이
적분 순서를 변경하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_0^2 \int_0^{y^2} \frac{1}{y^3 + 1}dxdy \\
&= \int_0^2 \frac{y^2}{y^3 + 1}dy \\
&= \frac{1}{3} \ln 9 \\
&= \frac{2}{3}\ln 3
\end{align}$$
이다.
2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 25번 풀이
주어진 벡터장 $F$에 대하여 폐곡선이 아닌 경로에서의 선적분의 값은
시점으로부터 종점까지 이동한 각도와 같다.
이제 시점의 좌표는 $r(0)= (e, 0)$이고 종점의 좌표는 $r(1) = (e\cos 1, e\sin 1)$이다.
둘의 사잇각을 $\theta$라 하면
$$\tan\theta = \frac{e\sin 1}{e\cos 1} = \tan 1$$
에서 $\theta = 1$이다. 따라서 구하는 선적분의 값은 $1$이다.
2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 26번 풀이
주어진 구면은
$$\begin{align}
& S(\phi, \theta) \\
&= (2\sin\phi \cos\theta, 2\sin\phi \sin\theta, 2\cos\phi)
\end{align}$$
로 매개화 할 수 있고, $dS = 4\sin\phi d\phi d\theta$가 성립한다.
따라서 주어진 면적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \frac{4\sin \phi}{\sqrt{5-\cos\phi}}d\phi d\theta \\
&= 2\pi \times 4\\
&= 8\pi
\end{align}$$
이다.
2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 27번 풀이
곡면 $S$는 폐곡면이므로 발산정리를 적용할 수 있다.
$\text{div}F = 6$이므로 주어진 면적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_{-1}^1 \int_0^{1-x^2} \int_0^2 6 dydzdx \\
&= 12\int_{-1}^1 (1-x^2)dx \\
&= 12 \times \frac{1}{6}\times 2^3 \\
&= 16
\end{align}$$
이다.
2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 28번 풀이
구면좌표계를 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^1 e^{\rho^3} \rho^2 \sin\phi d\rho d\phi d\theta \\
&= 2\pi \times 2 \times \frac{1}{3}(e-1) \\
&= \frac{4}{3}\pi (e-1)
\end{align}$$
이다.
2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 29번 풀이
경도벡터를 구하기 위해 편도함수를 구해보면
$$\begin{align}
& f_x = e^{x^2 + y^2}\sin(y^2) + 2x^2 e^{x^2 + y^2}\sin (y^2) \\
& f_y = 2xy e^{x^2 + y^2}\sin(y^2) + xe^{x^2 + y^2}\cos(y^2) \times 2y
\end{align}$$
이다. 이제
$$\begin{align}
& a = f_x (1,1) = 3e^2 \sin 1 \\
& b = f_y (1,1) = 2e^2 \sin 1 + 2e^2 \cos 1
\end{align}$$
이므로
$$\frac{b}{a} = \frac{2}{3}(1+\cot 1)$$
이다.
2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 30번 풀이
구하는 행렬식의 값은
$$\det \begin{pmatrix}
3 & 1 \\
1 & 2
\end{pmatrix} \times \det \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 3 & 1 \\
2 & 0 & 2
\end{pmatrix} = 30$$
이다.
마치며
이상으로 2023 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.
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