[편입] 2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)
안녕하세요 수학올인입니다.
이번 포스팅에선 2024년 중앙대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.
풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.
원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 중앙대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.
(중앙대학교 입학처 - 편입학 - 기출문제)
2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답
빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.
2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이
$x=0$ 근방에서
$$e^{\sin x}\approx 1+\sin x\approx 1+x$$
이고
$$\frac{1}{\tan x}\approx \frac{1}{x}$$
임을 이용하면 주어진 극한은
$$\lim_{x\to 0}(1+4x)^{\frac{1}{x}} = e^4$$
이다.
2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이
$e^x + e^{-x}=t$로 치환하면 산술기하평균 부등식으로부터 $t \geq 2$이므로 함수
$$g(t) = -t^3 + 6t^2 + 15t \quad (t\geq 2)$$
가 최대가 되는 $t$를 구하면 된다. 미분해보면
$$g'(t) = -3(t+1)(t-5)$$
이므로 함수 $g(t)$는 $t=5$에서 극대이자 최대이다.
따라서 $\alpha, \beta$는 방정식
$$e^x + e^{-x} = 5$$
의 두 실근인데, 함수 $e^x + e^{-x}$는 $y$축에 대칭(우함수)이므로 $\alpha = -\beta$이다.
따라서 구하는 값은
$$\begin{align}
e^{2\alpha} + e^{2\beta} &= e^{2\beta} + e^{-2\beta} \\
&= (e^{\beta} + e^{-\beta})^2 - 2 \\
&= 25 - 2 \\
&= 23
\end{align}$$
이다.
2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이
적분순서를 변경하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_0^1 \int_0^y x^{2022}\sqrt{1+y^{2024}}dxdy \\
&= \frac{1}{2023} \int_0^1 y^{2023} \sqrt{1+y^{2024}} dy \\
&= \frac{1}{2023\times 3036}(2\sqrt{2} - 1)
\end{align}$$
이다.
2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이
(가) 주어진 급수는
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^2}$$
와 수렴성이 같으므로 적분판정법으로부터 수렴한다.
(나) $\frac{1}{n}$과의 극한비교판정법으로부터 발산한다.
(다) $\cos(n\pi) = (-1)^n$이므로 교대급수판정법으로부터 수렴한다.
(라)
[풀이 1]
먼저 다음이 성립한다.
$$\begin{align}
1 &\geq \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}} \\
\frac{1}{\sqrt[3]{2^2}} &\geq \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}} \\
\frac{1}{\sqrt[3]{3^2}} &\geq \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}} \\
&\vdots \\
\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}&\geq \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}
\end{align}$$
이를 세로로 전부 더하면
$$\begin{align}
&1 + \frac{1}{\sqrt[3]{2^2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}} \\
&\geq n\times \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}} \\
&= \sqrt[3]{n}
\end{align}$$
이 성립한다. 따라서 주어진 급수는 급수
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\times \sqrt[3]{n}}$$
보다 작으므로 비교판정법으로부터 수렴한다.
[풀이 2]
주어진 급수의 분모에 있는 부분을 다시 써보면
$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt[3]{k^2}}$$
인데, 이를 적분으로 근사시키면
$$\begin{align}
& \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt[3]{k^2}} \\
&\approx \int_0^n \frac{1}{\sqrt[3]{k^2}} dk \\
&\approx \frac{1}{\sqrt[3]{n}}
\end{align}$$
으로 쓸 수 있다. 따라서 주어진 급수는
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\times \sqrt[3]{n}}$$
으로 근사되며 이는 $p$급수 판정법으로부터 수렴하므로 주어진 급수도 수렴한다.
이상에서 수렴하는 것의 개수는 3이다.
2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이
함수 $e^x$를 5차항까지 테일러전개하면
$$e^x = 1+x+\frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 + \frac{1}{5!}x^5$$
이고, 함수 $\sin 2x+\cos 2x$를 5차항까지 테일러전개하면
$$\begin{align}
&\sin 2x + \cos 2x \\
&= 1+2x-\frac{2^2}{2!}x^2 - \frac{2^3}{3!}x^3 + \frac{2^4}{4!}x^4 + \frac{2^5}{5!}x^5
\end{align}$$
이다. 이제 둘을 곱해서 $x^5$항이 나오는 경우를 전부 찾으면
$$a_5 = \frac{2^5 + 1}{5!} + \frac{2^4 + 2}{4!}-\frac{2^3 + 2^2}{2!\times 3!}$$
이다. 따라서 $5! \times a_5 = 3$이다.
2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이
두 곡선의 교점에서의 접선의 기울기의 곱이 $-1$이 되도록 하면 된다.
곡선 $y^3 = x^2$위의 점 $(x, y)$에서의 접선의 기울기는
$$\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{3y^2}$$
이고, 주어진 타원 위의 점 $(x, y)$에서의 접선의 기울기는
$$\frac{dy}{dx} = -\frac{2b^2 x}{2a^2 y}$$
이다. 이제 이 둘의 곱이 $-1$이므로 식을 정리하면
$$\frac{2b^2 x^2}{3a^2 y^3} = 1$$
인데, $y^3 = x^2$이므로, 대입한 뒤 약분하면
$$\frac{2b^2}{3a^2} = 1\quad\Longrightarrow \quad 2b^2 = 3a^2$$
이다.
2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이
[풀이 1]
문제의 조건에서 $0<\theta_1<\frac{\pi}{2}$, $0<\theta_2<\frac{\pi}{2}$이므로 둘을 더하면
$$0<\theta_1 + \theta_2 < \pi$$
가 성립하는데, 이를 만족하는 선택지는 3번 뿐이다.
[풀이 2]
다음과 같은 삼각형을 생각해보면 $\theta_1 + \theta_2 = \frac{\pi}{2}$이다.
[풀이 3]
문제의 조건으로부터
$$\begin{align}
& \sin\theta_1 = \frac{4}{\sqrt{17}},\quad \sin\theta_2 = \frac{1}{\sqrt{17}} \\
& \cos\theta_1 = \frac{1}{\sqrt{17}},\quad \cos\theta_2 = \frac{4}{\sqrt{17}}
\end{align}$$
이 성립하므로
$$\sin(\theta_1 + \theta_2) = 1\quad\Longrightarrow\quad \theta_1 + \theta_2 = \frac{\pi}{2}$$
이다.
2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이
가우스함수의 내부에 있는 식을 변형하면 반각공식으로부터
$$2\cos x-\cos 2x = -2\cos^2 x + 2\cos x + 1$$
이 성립한다. 따라서 우리는 이차함수
$$g(x) = -2x^2 +2x+1 \quad (-1 \leq x \leq 1)$$
에 $\cos x$가 합성된 형태로 위의 식을 관찰할 것이다.
먼저 $g(x)$의 그래프를 그려보면 다음과 같다.
이제 $t=\cos x$라고 하면
$$-2\cos^2 x + 2\cos x + 1 = g(t)$$
이므로, $x$의 움직임 → $t$의 움직임 → $g(t)$의 움직임 순서대로 관찰하면 된다.
$x$가 $0$에서 $3\pi$로 증가하는 동안 $t$의 움직임은
$$1\to -1 \to 1 \to -1 \to 1 \to -1$$
와 같이 움직이므로, 이 $t$의 움직임을 바탕으로 $g(t)$의 그래프를 그리면
다음과 같다.
우리가 얻은 위 그래프는 $y=-2\cos^2 x + 2\cos x + 1$의 그래프이다.
그런데 우리가 구하는 값은 위 식에 가우스함수를 취한 함수의 불연속점의 개수인데
이는 곧 각각의 정수 $k$에 대하여 두 곡선
$$\begin{align}
&y=k \\
&y=-2\cos^2 x + 2\cos x + 1\quad (0<x<3\pi)
\end{align}$$
의 교점 중 $y=k$를 뚫는 것의 개수가 불연속점의 개수와 같다.
이를 그림으로 동시에 표현해보면 다음과 같다.
각각의 가로선(점선)이 정수 $k$에 대하여 $y=k$를 나타낸 것이고
교점 중 빨간색 표시가 된 교점이 $y=k$를 뚫는 교점 (즉, 가우스함수의 불연속점)이다.
이를 모두 세어보면 12개이므로 정답은 3번이다.
2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이
함수 $\tanh x$는 도함수가 $0$이 되는 지점이 없으므로 함수 $h(x,y)$의 임계점은
함수 $g(x,y)$의 임계점과 같다.
직접 $g(x,y)$의 편도함수를 구해보면
$$\begin{align}
&g_x = 3x^2 - 12y \\
&g_y = 24y^2 - 12x
\end{align}$$
에서 $g_x = g_y = 0$을 풀면 연립했을 때
$$\frac{1}{8}x^4 = x \quad \Longrightarrow\quad x=0, 2$$
이고 이에 대응되는 $y$의 값은 순서대로 $y=0, 1$이다.
따라서 $(a,b) = (0, 0)$이고 $(c,d) = (2, 1)$이므로 $a+b+c+d=3$이다.
2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이
주어진 벡터장은 보존적이고 포텐셜함수가
$$f(x,y,z) = xy\cos z - yze^{x}$$
이므로 선적분의 기본정리로부터 주어진 선적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= f(x,y,z)\bigg|_{(1,0,0)}^{\left(0,1,\frac{\pi}{2}\right)} \\
&= -\frac{\pi}{2}
\end{align}$$
이다.
2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이
직접 편미분해보자. 어차피 $y$로 편미분 한 뒤 $x$로 편미분 할 것이므로
$x$에 대한 항이 없는 적분의 위끝에 대한 편미분은 생략하고 써보면
$$f_y = -4\times \frac{1}{1+e^{-(2x+4y)}}$$
이고
$$f_{yx} = 4\times \frac{-2e^{-(2x+4y)}}{(1+e^{-(2x+4y)})^2}$$
이므로 구하는 값은
$$f_{yx}(0,0) = \frac{-8}{2^2} = -2$$
이다.
2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이
경도벡터를 구하기 위해 편미분계수를 구해보면
$$\begin{align}
& f_x = e^{-1} \\
& f_y = -e^{-1} \\
& f_z = -e^{-1}
\end{align}$$
이므로 주어진 점에서 함수 $f$의 경도벡터는
$$\nabla f = \frac{1}{e}(1,-1,-1)$$
이다. 이제 함숫값이 가장 빨리 증가하는 방향은 경도벡터와 평행한 방향임을 이용하면
구하는 벡터는 경도벡터를 단위벡터로 만들어준
$$\frac{\nabla f}{|\nabla f|} = \left(\frac{1}{\sqrt{3}},- \frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$$
이다.
2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이
구하는 넓이 $S$는 곡선
$$y=\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\quad (0\leq x\leq 1)$$
와 직선 $y=x$로 둘러싸인 영역의 넓이의 두 배이다.
따라서 구하는 넓이 $S$는
$$\begin{align}
S &= 2\int_0^1 \left(\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right) - x\right)dx \\
&= 2\left(\frac{2}{\pi} - \frac{1}{2}\right) \\
&= \frac{4}{\pi} -1
\end{align}$$
이다.
2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이
삼각함수의 성질을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int \frac{\sin x(1-\cos^2 x)^3}{\cos^4 x}dx \\
&= \int \frac{(t^2 - 1)^3}{t^4}dt \quad (\cos x= t ) \\
&= \int \left(t^2 - 3 + \frac{3}{t^2} - \frac{1}{t^4}\right)dt \\
&= \frac{1}{3}t^3 - 3t - \frac{3}{t} + \frac{1}{3t^3} +C \\
&= \frac{1}{3\cos^3 x} - \frac{3}{\cos x} - 3\cos x + \frac{1}{3}\cos^3 x + C
\end{align}$$
이다.
2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이
(가)~(라)의 피적분함수의 분모를 관찰해보면, 부분분수 분해를 했을 때 (가)는 분모가
$$x+1, x-1$$
로 이루어진 유리식이 나올 것이고, (나)~(라)는
$$x, x+1$$
로 이루어진 유리식이 나올 것이다. (제곱항 포함)
그럼 선택지에서 아무거나 둘을 골라서 더해 적분한 것이 유리식이라는 말은
부분분수 분해를 하여 얻은 유리식의 분모가 $1$차인 식이 없다는 말인데,
만약 우리가 둘을 고르는 과정에서 (가)를 고른다면 반드시 분모가 $x-1$인 항이 남아있게 되고
그러면 적분했을 때 유리식이 아닌 로그 항이 생기게 된다.
따라서 선택지에서 (가)가 포함된 선지를 지우면 가능한 조합은 (나) + (다) or (라)이다.
(다)와 (라)를 비교했을 때 (라)가 간단하므로 (분모의 차수가 낮으므로) (나) + (라)를 먼저 해보자.
(나)와 (라)를 부분분수 분해 하면
$$\begin{align}
& \frac{2}{x(x+1)} = \frac{2}{x} - \frac{2}{x+1} \\
& \frac{x^2 + 1}{x^2 (x+1)} = -\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x+1}
\end{align}$$
이므로 둘을 더해보면 분모의 차수가 $1$인 유리식이 남는다.
이 말은 적분했을 때 유리식이 아닌 로그 항이 생긴다는 말과 같다.
따라서 소거법을 적용했을 때 정답은 (나) + (다)이다.
2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이
$e$의 정의를 이용하면 주어진 극한은
$$\begin{align}
\text{(Limit)} &= \lim_{x\to\infty} \left(\frac{x+2a-3a}{x+2a}\right)^x \\
&= \lim_{x\to\infty} \left(1 - \frac{3a}{x+2a}\right)^{-\frac{3ax}{x+2a}} \\
&= e^{-3a} \\
&= e^4
\end{align}$$
에서 $a=-\frac{4}{3}$이다.
2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이
$T$의 치역은 행렬 $A$의 열벡터의 일차결합으로 구성되는데 $A$를 살펴보면
1열과 2열이 기저가 됨을 알 수 있다. (랭크가 2임을 바로 알 수 있다는 뜻이다.)
그럼 $T$의 치역은 1열과 2열의 벡터를 외적하여 얻은 벡터를 법선벡터로 하고
원점을 지나는 평면이 $T$의 치역이 되고 직접 구해보면
$$\text{Im}(T)\quad : \quad x - 3y + z = 0$$
이다.
이제 평면 위의 점 중 점 $(1,2,3)$과 거리가 최소가 되는 점은
점 $(1,2,3)$을 지나고 방향벡터가 위에서 구한 법선벡터와 같은 직선 $l(t)$와
위에서 구한 평면의 교점이다.
직선 $l(t)$를 구해보면
$$l(t) = (t+1, -3t+2, t+3)$$
이고 이를 위에서 구한 평면의 방정식에 대입하여 $t$의 값을 구해보면
$$11t=2 \quad \Longrightarrow\quad t=\frac{2}{11}$$
이고, 따라서 구하는 값은
$$a+b+c=(6-t)\bigg|_{t=\frac{2}{11}} = \frac{64}{11}$$
이다.
2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이
선택지에 가능한 $x$의 값이
$$x=-\frac{1}{2}, 0, 1$$
뿐이므로 이 값들을 넣어서 확인해보자.
$x=0$을 대입하면 랭크는 3이다. 따라서 2, 4번은 아니다.
이제 1, 3번을 확인하면 $-\frac{1}{2}$은 공통적으로 들어있으므로 $x=1$을 대입해보면
랭크는 1이다. 따라서 정답은 3번이다.
2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이
주어진 구면의 중심과 평면 사이의 거리 $d$를 먼저 구해보면
$$d = \frac{2}{\sqrt{3}}$$
이다. 이제 아래 그림을 생각해보자.
그림과 같이 피타고라스 정리를 이용하면 원 $C$의 반지름 $r$은 $r=\sqrt{\frac{8}{3}}$이다.
이제 원뿔의 부피 공식을 떠올려보면
$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$
인데, $r$은 고정된 값이다. 따라서 원뿔의 부피가 최대이려면 높이가 최대이면 되는데
높이는 다음과 같은 상황일 때 최대가 된다.
따라서 높이 $h$는 $h=2+\frac{2}{\sqrt{3}}$이다.
이상에서 구하는 부피 $V$의 최대는
$$\begin{align}
V &= \frac{8}{9}\pi\left(2+\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \\
&= \frac{16}{9}\left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)
\end{align}$$
이다.
2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이
발산정리를 이용하자. 계산을 통해
$$\text{div}F = 5(x^2 + y^2 + z^2)$$
임을 알 수 있으므로, 주어진 영역 $R$에 대하여 구하는 면적분의 값은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= 5\iiint_R (x^2 + y^2 + z^2)dV \\
&= 5\left(\iint_{x^2 + y^2 \leq 9} \left(x^2 + y^2 +\frac{1}{3}\right)dA \right) \\
&= 5\left(3\pi + \int_0^{2\pi}\int_0^3 r^3 drd\theta \right) \\
&= 15\pi + \frac{405}{2}\pi \\
&= \frac{435}{2}\pi
\end{align}$$
이다.
2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이
일반적인 경우에 대해 구하지 말고 $n$을 특정하여 구해보자.
만약 $n=3$이라고 하면 1, 2, 3, 4번 선택지는 순서대로
$$13e, 31e, 16e, 34e$$
이므로 선지의 값이 모두 다르다. (같으면 $n$의 값을 바꿔야 한다.)
따라서 $n=3$인 경우에 대해 구하면 답을 찾기에 충분하다.
이제 새로운 함수
$$g(x) = f(x+1)$$
을 생각하면
$$g^{(3)}(0) = f^{(3)}(1)$$
임을 알 수 있다. 이제 $g$를 테일러전개하면
$$\begin{align}
g(x) &= (x+1)^3 e^{x+1} \\
&= e(x^3 + 3x^2 + 3x + 1)e^x \\
&= e(x^3 + 3x^2 + 3x + 1)\left(1+x+\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3+\cdots\right) \\
&=\cdots + e\left(1+3+\frac{3}{2}+\frac{1}{6}\right)x^3 + \cdots
\end{align}$$
이므로
$$g^{(3)}(0) = 3!\times e\left(1+3+\frac{3}{2}+\frac{1}{6}\right) = 34e$$
이다.
2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이
반각공식과 배각공식을 이용하면
$$\begin{align}
&x=\sin^2 t = \frac{1-\cos 2t}{2} \\
&y=\frac{1}{2}\sin 2t
\end{align}$$
에서
$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{1}{4}$$
이므로 주어진 점이 나타내는 자취는 중심이 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$이고 반지름이 $\frac{1}{2}$인 원이다.
2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이
[풀이 1]
분자의 식을 변형하면
$$\begin{align}
f(x) &= \frac{(x-5)^2 + 6(x-5) + 9}{x-5} \\
&= 6 + (x-5) + \frac{9}{x-5}
\end{align}$$
인데, 두 함수 $y=x-5, y=\frac{9}{x-5}$는 점 $(5, 0)$에 점대칭이고 $y=6$은 점 $(5, 6)$에 점대칭이므로
함수 $f(x)$는 점 $(5, 6)$에 점대칭이다.
한편 $x>5$에서 산술기하평균 부등식으로부터
$$\begin{align}
f(x) &\geq 6 + 2\sqrt{9} \\
&\geq 15
\end{align}$$
이고 등호가 성립할 조건은
$$(x-5)^2 = 9 \quad\Longrightarrow\quad x=8$$
이다. 따라서 함수 $f(x)$는 $x=8$에서 극소이다.
한편 위에서 언급했듯 함수 $f(x)$는 점 $(5, 6)$에 점대칭이므로 $x=2$에서 극대이다.
따라서 $2a^2 + b^2 = 72$이다.
[풀이 2]
직접 미분하면
$$\begin{align}
f'(x) &= \frac{2(x-2)(x-5) - (x-2)^2}{(x-5)^2} \\
&= \frac{(x-2)(x-8)}{(x-5)^2}
\end{align}$$
이므로 $a=2, b=8$이고 $2a^2 + b^2 = 72$이다.
2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이
주어진 등식에서 우변의 행렬과 $A$는 닮은 행렬이다. 따라서
$$a+b+c=\text{tr}(A) = 5$$
이다.
2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이
다음과 같은 변수변환을 생각하자.
$$x=u, y=\frac{v}{\sqrt{2}}, z=w$$
그러면 주어진 문제는 제약조건 $u^2 + v^2 + w^2=1$하에서 함수
$$g(u,v,w) = \frac{uv}{\sqrt{2}}+w$$
의 최대와 최소를 구하는 문제가 되는데, 이차형식을 생각하면 행렬
$$A = \begin{pmatrix}
0 & \frac{1}{2\sqrt{2}} & 0 \\
\frac{1}{2\sqrt{2}} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$$
의 고유치의 최대와 최소가 함수 $g$의 최대와 최소가 된다.
고유치를 직접 구해보면
$$\lambda = 1, -\frac{1}{2\sqrt{2}}, \frac{1}{2\sqrt{2}}$$
이므로, $a=1$, $b=-\frac{1}{2\sqrt{2}}$이고 따라서 $a^2 + b^2 = \frac{9}{8}$이다.
2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 26번 풀이
주어진 행렬 $A$의 고유치와 고유벡터를 구해보면
$$\lambda = 1, 2, 3$$
이고 이에 대응되는 고유벡터는 순서대로
$$v_1 = \begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix},\quad v_2 = \begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
1
\end{pmatrix},\quad v_3 = \begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
2
\end{pmatrix}$$
이다.
이때, $B$를 구할 때 $A^{2024}$의 오른쪽에 곱해지는 행렬의 각 열이
행렬 $A$의 고유벡터로 구성되어 있음을 알 수 있고 따라서
$$B = \begin{pmatrix}
1 & 2^{2024} & 3^{2024} \\
1 & 0 & 3^{2024} \\
1 & 2^{2024} & 2\times3^{2024}
\end{pmatrix}$$
임을 바로 알 수 있다. 따라서 $\text{tr}(B) = 1+2\times3^{2024}$이다.
2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 27번 풀이
행렬 $A$의 고유치 $\lambda$에 대하여 행렬 $A^4 - 3A^3 + A^2$의 고유치는
$\lambda^4 - 3\lambda^3 + \lambda^2$임을 이용하자.
행렬 $A$의 고유치를 구해보면 $\lambda = -1, 1, 1, 2$이므로 행렬 $A^4 - 3A^3 + A^2$의 고유치는
$$\lambda = -1, -1, -4, 5$$
이다. 따라서
$$\det(A^4 - 3A^3 + A^2) = -20$$
이다.
2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 28번 풀이
행렬
$$A = \begin{pmatrix}
6 & -3 \\
-3 & 6
\end{pmatrix}$$
의 한 고유벡터가
$$v = \begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix}$$
이므로
$$A^{10}\begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix} = 3^{10}\begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix}$$
이다. 따라서 $a+b=2\times 3^{10}$이다.
2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 29번 풀이
주어진 등식의 오른쪽에 $A^{-1}$을 곱하면
$$B = A+ I$$
이다. 따라서
$$\begin{align}
\det B &= \det(A+I) \\
&= \det(A(I+A^{-1})) \\
&= \det(A)\det(I+A^{-1}) \\
&= \frac{\det(I+A^{-1})}{\det (A^{-1})} \\
&= \frac{4}{3}
\end{align}$$
이다.
2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 30번 풀이
(가)
$$A = (A^TA)^T = A^TA = A^T$$
이므로 참이다.
(나)
반례 :
$$A = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}$$
가 반례가 된다.
(다)
$A = A^T$이므로
$$A^2 = AA = A^TA = A$$
이다. 따라서 참이다.
(라)
마찬가지로
$$A = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}$$
가 반례가 된다.
이상에서 옳은 것은 (가), (다)이다.
마치며
이상으로 2024 중앙대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.
오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~
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