[편입] 2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)
안녕하세요 수학올인입니다.
이번 포스팅에선 2025년 중앙대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.
풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.
원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 중앙대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.
(중앙대학교 입학처 - 편입학 - 기출문제)
2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답
빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.
2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이
분자와 분모에 곱해져있는 모든 항이 $x=2$근방에서 양수이므로 로그 미분법을 이용한다.
가장 먼저 $f(2) = \frac{4}{5}$이고
$$\ln f(x) = 4\ln x+\ln(x-1)-\ln(x+2)-\ln(x^2+ 1)$$
이므로 양변을 미분하면
$$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{4}{x} + \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+2}-\frac{2x}{x^2+1}$$
이므로
$$\begin{align}
f'(2) &= f(2)\times\left(2+1-\frac{1}{4}-\frac{4}{5}\right) \\
&=\frac{39}{25}
\end{align}$$
이다.
2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이
수열 $a_n$을
$$a_n = \frac{n!}{n^n}$$
라 하면, 비율판정법을 통해
$$\frac{a_n}{a_{n+1}} = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \to e$$
이므로 구하는 수렴반경은 $e$이다.
아래의 두 급수
$$\sum \frac{n!}{n^n},\quad \sum \frac{n^n}{n!}$$
의 수렴반경이 각각 $e, \frac{1}{e}$임은 암기하고 있으면 좋다.
2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이
로피탈의 정리를 두 번 적용해보면, 구하는 값은 $f''(1)$과 같음을 알 수 있고
$$\begin{align}
f'(x) &= \frac{1}{x^2+1} \\
f''(x) &= -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}
\end{align}$$
이므로 주어진 극한은
$$\text{(Limit)} = f''(1) = -\frac{1}{2}$$
이다.
2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이
주어진 행렬 $B$는 $3\times 3$행렬이므로 고윳값을 세 개 가질 것이다.
그리고 세 고윳값의 합은 대각합과 같으므로
$$\text{tr}(B) = 0$$
임을 고려하면 $B$의 세 고윳값의 합은 $0$이다.
따라서 4개의 선지 중 3개를 골라서 더했을때 그 값이 0이라면 그 셋은 고윳값이라는 말이고
이때 포함되지 않은 1개가 고윳값이 아닌 값이다.
선지를 확인하면 1, 2, 4번을 골라 더하면 0이므로, 정답은 3번이다.
2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이
구하는 값은 주어진 세 벡터 $a, b, c$를 행 (또는 열)로 갖는 $3\times 3$크기의 행렬의 행렬식과 같으므로
$$a\circ(b\times c) = \det \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
2 & 3 & 4 \\
4 & 9 & 16
\end{pmatrix} = 2$$
이다.
2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이
$f(2) = 9$이므로 $f^{-1}(9)=2$이다. 따라서 역함수 미분법을 이용하면
$$(f^{-1})'(9) = \frac{1}{f'(2)} = \frac{2}{25}$$
이다.
2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이
편미분을 이용하여 음함수의 이계도함수를 구하자.
$$f(x,y)=y^3 - x^2 - 4= 0 $$
이라 하면
$$\begin{align}
&f_x = -2x, \quad f_y = 3y^2 \\
&f_{xx} = -2 ,\quad f_{yy} = 6y \\
&\quad \quad \quad \quad f_{xy}=0
\end{align}$$
이므로
$$\begin{align}
\frac{d^2y}{dx^2} &= - \frac{(f_x)^2 f_{yy} - 2f_x f_y f_{xy} + (f_y)^2 f_{xx}}{(f_y)^3} \\
&=\frac{6y^3 - 8x^2}{9y^5}
\end{align}$$
이다.
2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이
행렬
$$A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
-1 & 3 & 4
\end{pmatrix}$$
에 대하여 $T$의 치역은 $A$의 열벡터들의 일차결합으로 생성된다.
이때 만약 치역의 차원이 3이라면 $\mathbb{R}^3$의 모든 벡터가 포함될 것이므로 3차원은 아닐 것이다.
마찬가지로 치역의 차원이 3이라면 선지중 3개는 한 직선 위에 놓여야 하는데 그렇지 않다.
따라서 치역의 차원은 2임을 알 수 있다.
따라서 $A$의 열벡터 중 일차독립인 아무 두 벡터가 치역의 기저가 됨을 알 수 있고
그 둘을 외적해서 얻은 벡터는 $T$의 치역과 수직이다.
이 문제에서는 $A$의 1, 2열의 벡터를 골라 외적하여 얻은 벡터를 $v$라 하면
$$v = \begin{pmatrix}
1 \\
-5 \\
1
\end{pmatrix}$$
임을 얻는다.
이 과정을 왜 한 것이냐면 :
- 만약 선택지의 벡터가 치역에 속한다면 $v$와의 내적이 $0$이다.
- 만약 선택지의 벡터가 치역에 속하지 않는다면 $v$와의 내적이 $0$이 아니다.
를 이용하기 위함이다. 치역을 직접 구하는 문제에서 단순히 선지마다 참거짓을 확인하는 문제로 바꾼 것이다.
이제 $v$와 선지 4개를 전부 내적해서 확인해보면 내적값이 $0$이 아닌 것은 4번이므로
정답은 4번이다.
2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이
주어진 함수는 우함수이므로, $x\geq 0$에서만 생각하자.
미분해보면
$$S '(x) = \begin{cases} \frac{x\cos x -\sin x}{x^2} & (x\neq 0) \\
0&(x=0)\end{cases}$$
이므로
$$S'(x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad \tan x= x$$
이다.
그런데 주어진 구간에서 $\tan x = x$의 실근은 $x=0$뿐이고 $x=0$근방에서
$|\sin x|\leq |x|$이므로 $x=0$ 근방에서
$$|S(x)|\leq 1$$
이 되어 $x=0$에서 $S(x)$는 극대이다.
이때 $0<x<\frac{\pi}{2}$이면
$$\begin{align}
x<\tan x &\quad\Longrightarrow\quad x\cos x - \sin x<0 \\
&\quad\Longrightarrow\quad S'(x) < 0
\end{align}$$
이므로 함수 $S(x)$는 $0\leq x\leq \frac{\pi}{2}$에서 감소하므로 최솟값
$$S\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{2}{\pi}$$
를 갖는다.
2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이
행렬식을 구하는 과정에서 2, 3, 4행에 전부 1행을 빼면
$$\det M = \det\begin{pmatrix}
a & b & b & b \\
0 & a-b & 0 & a-b \\
0 & 0 & a-b & a-b \\
-(a-b) & 0 & 0 & a-b
\end{pmatrix}$$
이다. 이제 4열에 2, 3열을 뺀 뒤 1열을 더하면
$$\begin{align}\det M &= \det\begin{pmatrix}
a & b & b & a-b \\
0 & a-b & 0 & 0 \\
0 & 0 & a-b & 0 \\
-(a-b) & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \\
&= (a-b)\det \begin{pmatrix}
b & b & a-b \\
a-b & 0 & 0 \\
0 & a-b & 0
\end{pmatrix} \\
&= -(a-b)^2 \det \begin{pmatrix}
b & a-b \\
a-b & 0
\end{pmatrix} \\
&= (a-b)^4
\end{align}$$
이다. 순서대로
1. 4행에 대한 라플라스 전개
2. 3행에 대한 라플라스 전개
를 이용한 것이다.
2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이
극좌표 상에서 넓이를 구하는 공식을 사용하면 반각치환이나 복소적분을 이용해야 하므로
직교좌표계로 고친 뒤 넓이를 구하는 것이 빠를 것임을 유추할 수 있다.
(이러한 근거로는 기출문제로부터 주어진 극곡선이 타원임을 알 수 있기 때문도 있다.)
직교좌표계로 고치기 위해 양변에 $5+3\cos\theta$를 곱하면
$$16=5r+3r\cos\theta = 5r+3x$$
에서 $5r$에 대해 정리하면
$$5r = 16-3x$$
에서 양변을 제곱하면 $r^2 = x^2 + y^2$이므로
$$25x^2 + 25y^2 = 9x^2 - 96x+256$$
에서
$$16x^2 + 96x+25y^2 = 256$$
이고 완전제곱꼴로 고치면
$$16(x+3)^2 + 25y^2 = 400$$
이므로 주어진 곡선은
$$\frac{(x+3)^2}{5^2} + \frac{y^2}{4^2} = 1$$
이 되므로, 이 타원 내부의 넓이 $S$는
$$S = 4\times 5\times\pi = 20\pi$$
이다.
2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이
두 양수 $a, b$에 대하여
$$\lim_{n\to\infty} (a^n + b^n)^{\frac{1}{n}} = \max(a, b)$$
가 성립한다.
왜냐하면 두 양수 $a, b$중 큰 것을 $k$라 하면
$$k^n\leq a^n+b^n\leq 2k^n$$
에서 양변에 $\frac{1}{n}$승을 취하면
$$k\leq (a^n + b^n)^{\frac{1}{n}} \leq k2^{\frac{1}{n}}$$
이고 양변에 $n\to\infty$인 극한을 취하면
$$\begin{align}
\lim_{n\to\infty} k &= k \\
\lim_{n\to\infty} k2^{\frac{1}{n}} &= k
\end{align}$$
이므로
$$\lim_{n\to\infty} (a^n + b^n)^{\frac{1}{n}} = k = \max(a, b)$$
이기 때문이다. 따라서 $0<a<b$이므로 정답은 3번이다.
2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이
$(g(x))^2 = t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_1^3 \frac{1}{2\sqrt{t+1}}dt \\
&= \sqrt{t+1}\bigg|_1^3 \\
&= 2-\sqrt{2}
\end{align}$$
이다.
2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이
$2t=x$로 치환한 뒤 부분적분을 반복하여 적용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \frac{1}{8}\int_0^{\pi} x^2\sin xdx \\
&= \frac{1}{8}\left(-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x\right)\bigg|_0^{\pi} \\
&= \frac{\pi^2 - 4}{8}
\end{align}$$
이다.
2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이
분자를
$$6x+7 = 6(x+2) - 5$$
로 변형하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_{-1}^1 \left(\frac{6}{x+2} - \frac{5}{(x+2)^2}\right)dx \\
&= 6\ln(x+2) + \frac{5}{x+2}\bigg|_{-1}^1 \\
&= 6\ln 3-\frac{10}{3}
\end{align}$$
이다.
2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이
경계 $z=0$이 포함되든 그렇지 않든 이중적분 값에 변화는 없다.
따라서 구면좌표계를 이용하여 계산하면 주어진 삼중적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int_0^{2\pi}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^1 \rho^2 \sin^2\phi \times \rho \cos\phi \times \rho^2 \sin\phi d\rho d\phi d\theta \\
&= \left(\int_0^{2\pi} d\theta \right)\left(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3\phi \cos\phi d\phi \right)\left(\int_0^1 \rho^5 d\rho \right) \\
&= 2\pi \times \frac{1}{4}\times \frac{1}{6} \\
&= \frac{\pi}{12}
\end{align}$$
이다.
2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이
$\sqrt{x}=t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \frac{2}{\pi}\int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt \\
&= \frac{2}{\pi} \times \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\
&= \frac{2}{\pi}\times \frac{\pi}{3} \\
&= \frac{2}{3}
\end{align}$$
이다.
2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이
$f(x)=y$로 쓰고 양변을 $x^2 + 1$로 나누면 주어진 미분방정식은
$$y'+\frac{4x}{x^2 + 1}y = \frac{x}{x^2 + 1}$$
이라는 일계 선형 미분방정식이 된다. 따라서 공식을 이용하면
$$\begin{align}
y &= e^{-2\ln(x^2 + 1)}\left(\int \frac{x}{x^2 + 1}\times (x^2 + 1)^2 dx + C\right) \\
&= \frac{1}{(x^2 + 1)^2} \left(\frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2}+C\right)
\end{align}$$
이고
$$f(2)=\frac{6+C}{25}=1$$
이므로 $C=19$이다.
따라서
$$f(0)=C=19$$
이다.
2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이
단순폐곡선 $C$의 내부를 $D$라 하고 그린정리를 이용하면 주어진 선적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \iint_D (6-2)dA \\
&= \iint_D 4 dA \\
&= 4s
\end{align}$$
이다.
2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이
부분적분을 반복해서 적용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= x(\ln x)^2 - 2x\ln x+2x\bigg|_1^e \\
&= e-2
\end{align}$$
이다.
2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이
(가)
$$\begin{align}
(A-A^T)^T &= A^T - A \\
&= -A + A^T \\
&= -(A-A^T)
\end{align}$$
에서 $B=A-A^T$라 하면
$$B^T = -B$$
이므로 $B=A-A^T$는 반대칭행렬이다. (참)
(나)
홀수 자연수 $n$에 대하여
$$A^T = -A$$
의 양변에 $\det$을 취하면
$$\det A^T = (-1)^n \det A$$
에서 $n$이 홀수이므로 $(-1)^n = -1$이다. 즉,
$$\det A = -\det A$$
이므로
$$\det A=0$$
이다. (참)
(다)
반례는 다음과 같다.
$$\det \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix} = 1$$
(거짓)
일반적으로 짝수 자연수 $n$에 대하여 실수 성분을 갖는 $n\times n$크기의 반대칭행렬 $A$의 행렬식은
$$\det A \geq 0$$
이다.
(라)
반대칭행렬의 주대각선은 전부 $0$이므로
$$\text{tr}(A) = 0$$
이다.(참)
이상에서 옳은 것은 (가), (나), (라)이다.
2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이
먼저 주어진 함수가 원점에 대칭이므로 $B_8 = 0$임을 알 수 있고
$$\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) = \ln(1+x) - \ln(1-x)$$
에서 각각의 전개식이
$$\begin{align}
\ln(1+x) &= x-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \cdots \\
-\ln(1-x) &= x+\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 + \cdots
\end{align}$$
이므로
$$B_5 = \left(\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\right)=\frac{2}{5}$$
이다.
따라서 구하는 값은
$$B_5 + B_8 = \frac{2}{5}$$
이다.
2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이
사차다항식 $p(x)$를
$$p(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx+e$$
라 하자. 그러면
$$x^4 p\left(\frac{1}{x}\right) = ex^4 + dx^3 + cx^2 + bx+a$$
이므로 둘이 같다는 조건으로부터
$$a=e, b=d$$
를 얻는다.
따라서 전체 5개의 변수 $a, b, c, d, e$중 자유롭게 정할 수 있는 것은 $a, b, c$로 3개이므로
부분공간 $W$의 차원은 자유변수의 개수인 $3$이다.
2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이
절댓값이 $1$보다 작은 실수 $x$에 대하여
$$\sum_{n=1}^{\infty} n^2x^n = \frac{x(x+1)}{(1-x)^3}$$
이 성립함을 이용하자.
$n+1=m$으로 치환하면 주어진 급수는
$$\begin{align}
\text{(Sum)} &= \sum_{m=1}^{\infty} \frac{m^2}{3^{m-1}} \\
&= 3\sum_{m=1}^{\infty} \frac{m^2}{3^m} \\
&= 3\times \frac{\frac{1}{3}\times \frac{4}{3}}{\left(1-\frac{1}{3}\right)^3} \\
&= \frac{9}{2}
\end{align}$$
이다.
2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이
$0<a<b$인 두 실수 $a, b$에 대하여 타원
$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$
이 있을 때, 이 타원의 이심률 $k$는 긴 반지름 $b$, 짧은 반지름 $a$에 대하여
$$k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$$
이다.
주어진 이차곡선(타원)을 이차형식으로 표현했을 때 나타나는 대칭행렬 $A$는
$$A = \begin{pmatrix}
5 & \sqrt{2} \\
\sqrt{2} & 4
\end{pmatrix}$$
이므로, 이 행렬의 고유특성다항식은
$$\lambda^2 - 9\lambda+18 = 0$$
에서
$$\lambda=3, 6$$
이다.
따라서 주어진 타원을 적당히 회전시켜
$$3x^2 + 6y^2 = 1$$
로 만들 수 있고, 이 타원의 긴 반지름은 $\frac{1}{\sqrt{3}}$, 짧은 반지름은 $\frac{1}{\sqrt{6}}$이므로
이심률 $k$는
$$k = \sqrt{1-\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
이다.
2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 26번 풀이
실수 $n$에 대하여 $x=0$근방에서
$$(1+x)^n \approx 1+nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \cdots$$
임을 이용하자. $x$대신 $-x^2$을 대입하고 $n=-\frac{1}{2}$인 경우가 문제의 상황인데
약분하면서 계산을 최대한 줄이기 위해 $-x^2$만 대입하고 $n=-\frac{1}{2}$은 대입하지 않고 그냥 $n$으로 쓰면
$$\begin{align}
A_4 &= \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!} \\
A_5 &= -\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{5!}
\end{align}$$
이므로 약분한 뒤 $n=-\frac{1}{2}$을 대입하면
$$\frac{A_5}{A_4} = -\frac{n-4}{5}\bigg|_{n=-\frac{1}{2}} = \frac{9}{10}$$
이다.
2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 27번 풀이
(가)
문제가 되는 지점은 $x=1$이고, $x=1$근방에서 차수가 $-\frac{1}{2}$이므로 수렴한다.
(나)
문제가 되는 지점은 $x=2$이고, $x=2$근방에서 차수가 $-2$이므로 발산한다.
(다)
문제가 되는 지점은 무한대이고, $x$가 충분히 크면
$$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\approx \frac{1}{\sqrt{x^2}} = \frac{1}{x}$$
가 되어 발산한다.
(라)
문제가 되는 지점은 무한대이고, $x$가 충분히 크면
$$\frac{1}{\sqrt{1+x^3}}\approx \frac{1}{\sqrt{x^3}} = \frac{1}{x\sqrt{x}}$$
가 되어 수렴한다.
이상에서 발산하는 적분은 (나), (다)이다.
2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 28번 풀이
편의상 $y=h(x)$라 하고, 함수 $y$의 라플라스 변환을 $Y$라 하자. 양변을 라플라스 변환하면
$$\begin{align}
Y&= \frac{-1}{(s+5)(s-3)} \\
&= \frac{1}{8(s+5)} - \frac{1}{8(s-3)}
\end{align}$$
에서 역변환하면
$$y = \frac{1}{8}(e^{-5x} - e^{3x})$$
이므로
$$h(-1)=y(-1)=\frac{1}{8} (e^5 - e^{-3})$$
이다.
2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 29번 풀이
계산을 최대한 줄이기 위해 미분을 해서 하는 풀이나 라그랑주 승수법을 이용하는 풀이 대신 기울기를 이용하자.
주어진 점을 $\rm P$라 하자.
주어진 곡선 위의 점 $\rm{A}$$\displaystyle\left(t, \frac{1}{t}\right)$에 대하여 주어진 점과 점 $\rm{A}$ 사이의 거리가 최대 또는 최소가 되는 순간은
두 점 $\rm P$, $\rm A$를 지나는 직선과 점 $\rm A$에서의 접선이 수직인 경우이다.
곡선 $xy=1$은 $y=-x$에 대칭이고, 점 $(-1, 1)$또한 직선 $y=-x$위에 있으므로 $t>0$이든 $t<0$이든 상관없다.
(어떤 경우는 곡선의 개형에 따라서 $t$의 범위를 고려해야 하는 문제도 있을 수 있으나 이 문제에서는 상관없다.)
두 점 $\rm P$, $\rm A$를 지나는 직선의 기울기는
$$\frac{\frac{1}{t} - 1}{t+1}$$
이고, 점 $\rm A$에서의 접선의 기울기는
$$-\frac{1}{t^2}$$
이므로
$$\frac{\frac{1}{t} - 1}{t+1} \times \left(-\frac{1}{t^2}\right) = -1$$
에서 식을 정리하면
$$t^4 + t^3 + t-1 = 0$$
이다. 이제 이를 인수분해하면
$$\begin{align}
t^4 + t^3 + t-1 &= t^4 - 1 + t^3 + t \\
&= (t^2 + 1)(t^2 - 1) + t(t^2 + 1) \\
&= (t^2 + 1)(t^2 + t -1 ) \\
&=0
\end{align}$$
에서 $t^2 + 1>0$이므로
$$t^2 + t-1 = 0$$
이다.
이제 두 점 $\rm A, P$ 사이의 최장 또는 최단거리 $d$는
$$\begin{align}
d &= \sqrt{(t+1)^2 + \left(\frac{1}{t}-1\right)^2} \\
&= \sqrt{(t+1)^2 + t^2} \\
&= \sqrt{2t^2 + 2t + 1} \\
&= \sqrt{(2t^2 + 2t - 2) + 3} \\
&= \sqrt{3}
\end{align}$$
이다.
참고1) 마지막 계산 부분에서
$$t^2 + t-1 = 0$$
의 양변을 $t$로 나누면
$$t=\frac{1}{t}-1$$
가 됨을 이용하였다.
참고2) 마지막 계산시 $d$를 구했을 때 상수가 아니라 $t$에 대한 식이 나왔다면
구한 제약조건 (이 문제에서는 $t^2 + t-1 = 0$)과 곡선의 개형 및 $t$의 범위를 통해 어떨때 최소가 되는지 찾아야 한다.
이 문제에서는 $d$가 $t$에 대한 식이 아닌 상수로 나오므로 최소임을 바로 보장받을 수 있다.
2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 30번 풀이
변수변환
$$\begin{cases}
x-y=u \\
x+2y=v
\end{cases}$$
를 이용하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \frac{1}{3}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{\pi} \sin u\cos v dudv \\
&= \frac{1}{3}\times 2\times 1 \\
&= \frac{2}{3}
\end{align}$$
이다.
마치며
이상으로 2025 중앙대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.
오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~
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