[편입] 2020 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2020 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2020년 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 중앙대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(중앙대학교 입학처 - 편입학 - 기출문제)

 

 

 

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

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2020 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

테일러전개로부터 $\theta=0$근방에서
$$\tan\theta - \sin\theta \approx \frac{1}{2}\theta^3$$
이 성립하므로, 구하는 극한값은 $\frac{1}{2}$이다.

 

 

 

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

점 $(0, a)$가 주어진 곡선 위의 점이므로 $x=0, y=a$를 주어진 식에 대입하면
등호가 성립해야 한다. 따라서
$$1==-a$$
에서 $a=-1$이다. 한편 음함수 미분법을 이용하면
$$\begin{align}
    y' &= -\frac{f_x}{f_y} \\ 
    &= -\frac{\frac{1}{y}e^{\frac{x}{y}}-1}{-\frac{x}{y^2}e^{\frac{x}{y}} + 1}
\end{align}$$
에서 $x=0, y=-1$을 대입하면
$$y' = 2$$
를 얻는다. 따라서 주어진 곡선 위의 점 $(0, -1)$에서의 접선의 방정식은
$$y=2x-1$$
이다. 따라서 이 직선과 $y=x+3$의 교점은
$$2x-1=x+3 \quad\Longrightarrow\quad x=4, y=7$$
이다. 이상에서 얻은 것을 정리하면 $(a,b,c)=(-1,4,7)$이므로 
$$a+b+c=10$$
이다.

 

 

 

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

주어진 두 점을 평면의 방정식에 대입해보면 둘 다 양수이다. 
따라서 좌표공간을 주어진 평면의 방정식을 통해 두 부분으로 나눴을 때 두 점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$는
같은 영역에 놓인다.

따라서 구하는 $\mathrm{\overline{PA}} + \mathrm{\overline{PB}}$의 최솟값은

1. 점 $\mathrm{A}$를 주어진 평면에 대칭시킨 뒤 대칭점을 $\mathrm{A}'$라 하면
2. $\mathrm{\overline{A'B}}$가 구하는 최솟값

이 된다. 이를 그림으로 나타내면 다음과 같다.

위의 그림처럼 평면에 수직이고 점 $\mathrm{A}$를 지나는 직선의 방정식을 구해보면
$$l(t)=(2t+1,-t+1,t+1)$$
이고, $t=0$일 때 점 $\mathrm{A}$, $t=-\frac{1}{3}$일 때 평면위를 지나므로 $t=-\frac{2}{3}$일 때
$$l\left(-\frac{2}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \frac{1}{3}\right)$$
가 점 $\mathrm{A}'$의 좌표가 된다.

이상에서 구하는 최솟값은
$$\mathrm{\overline{A'B}}=\sqrt{\frac{16}{9} + \frac{4}{9} + \frac{25}{9}} = \sqrt{5}$$
이다.

 

 

 

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

영역을 두 개로 나눠 적분하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^1 \int_1^{3y+1}y^2 dxdy + \int_1^2 \int_1^{7-3y}y^2 dxdy \\ 
    &= \frac{7}{2}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

문제에서 주어진 두 벡터 
$$\begin{pmatrix}
1 \\
-1 
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
1 \\
1 
\end{pmatrix}$$
은 각각 고유치 $\lambda=2, 3$에 대응되는 고유벡터이다.

이를 이용하여 식을 변형하면
$$\begin{align}
    A^{17}\begin{pmatrix}
11 \\
-5 
\end{pmatrix} &= A^{17}\left(8\begin{pmatrix}
1 \\
-1 
\end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix}
1 \\
1 
\end{pmatrix}\right) \\ 
&= 2^{17}\left(8\begin{pmatrix}
1 \\
-1 
\end{pmatrix} + 3\begin{pmatrix}
1 \\
1 
\end{pmatrix}\right)
\end{align}$$
이다. 이때 $x-y$를 구하게 되면 뒤의 벡터는 성분이 같아서 소거될 것이므로
앞의 벡터만 따져주면
$$x-y=2\times 8\times 2^{17} = 2^{21}$$
이다.

 

 

 

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

주어진 적분이 최대가 되려면 피적분함수가 양수가 되어야 한다. 
즉, 적분영역 $E$는
$$E : x^2 + 2y^2 + 3z^2 \leq 1$$
이다.

이제 
$$\begin{cases}
    u = x \\ 
    v = \frac{y}{\sqrt{2}} \\ 
    w = \frac{z}{\sqrt{3}}
\end{cases}$$
으로 변수변환하면 $dxdydz = \frac{1}{\sqrt{6}}dudvdw$가 성립하고 적분영역은
$$E' : u^2 + v^2 + w^2 \leq 1$$
이 된다. 따라서 주어진 삼중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \frac{1}{\sqrt{6}}\iiint_{E'}(1-u^2-v^2-w^2)dudvdw \\
    &= \frac{1}{\sqrt{6}}\left(\frac{4}{3}\pi - \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^1 \rho^4 \sin\phi d\rho d\phi d\theta\right) \\ 
    &= \frac{8\pi}{15\sqrt{6}}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

풀이를 시작하기에 앞서, 구하는 미지수와 주어진 순서기저가 모두 동일한 문자인 $\beta$를 사용하고 있다.
별도의 이름 수정 없이 진행하므로, 맥락에 맞게 이해하면 된다.

이 포스팅에서는

1. 좌표벡터를 이용한 풀이
2. 기저변환행렬을 이용한 풀이

를 소개한다.



[풀이 1]
주어진 세 벡터 $w_1, w_2, w_3$의 정의로부터
$$w_1 + w_2 + w_3 = v_1 + 3v_2 + 7v_3$$
이므로 벡터 $w_1 + w_2 + w_3$의 기저 $\beta$에 대한 좌표벡터는 $(1,3,7)$이다.

이를 주어진 행렬에 곱하면
$$\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 \\
2 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 \\
3 \\
7 
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-3 \\
9 \\
4 
\end{pmatrix}$$
이므로, 다시 일차결합시키면
$$T(w_1+w_2+w_3)=-3v_1+9v_2+4v_3$$
이다. 이때 주어진 관계식을 다시 $v$에 대해 풀면
$$\begin{cases}
    v_1 = w_1 - 2w_2 \\ 
    v_2 = w_2 - 2w_3 \\
    v_3 = w_3
\end{cases}$$
이므로
$$T(w_1+w_2+w_3)=-3w_1 + 15w_2 - 14w_3$$
가 되어 구하는 값은 $-2$이다.



[풀이 2]
순서기저
$$\alpha = \left\{w_1, w_2, w_3\right\}$$
를 생각하자. 그러면 문제에서 
$$\begin{cases}
    w_1 = v_1 + 2v_2 + 4v_3 \\ 
    w_2 = v_2 + 2v_3 \\
    w_3 = v_3
\end{cases}$$
임을 제시했으므로 기저 $\alpha$에서 $\beta$로의 기저변환행렬은
$$T_\alpha^\beta = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
2 & 0 & 0 \\
4 & 2 & 1 
\end{pmatrix} $$
이다. 또,
$$\begin{cases}
    v_1 = w_1 - 2w_2 \\ 
    v_2 = w_2 - 2w_3 \\
    v_3 = w_3
\end{cases}$$
이므로 기저 $\beta$에서 $\alpha$로의 기저변환행렬은
$$T_\beta^\alpha = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-2 & 1 & 0 \\
0 & -2 & 1 
\end{pmatrix}$$
이다. 따라서
$$\begin{align}
    &T_\alpha^\alpha \\
    &= T_\beta^\alpha T_\beta^\beta T_\alpha^\beta \\
    &= \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-2 & 1 & 0 \\
0 & -2 & 1 
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 \\
2 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
2 & 0 & 0 \\
4 & 2 & 1 
\end{pmatrix} 
\end{align}$$
이다. 이제 기저 $\alpha$에서 벡터 $w_1+w_2+w_3$의 좌표벡터는 $(1,1,1)$이므로 이를 곱하면
$$\begin{align}
    &T_\alpha^\alpha \begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1 
\end{pmatrix} \\ 
&= \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-2 & 1 & 0 \\
0 & -2 & 1 
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 \\
2 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1 \\
3 \\
7 
\end{pmatrix} \\ 
&= \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-2 & 1 & 0 \\
0 & -2 & 1 
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-3 \\
9 \\
4 
\end{pmatrix} \\ 
&= \begin{pmatrix}
-3 \\
15 \\
-14 
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이므로, 구하는 값은 모든 성분의 합인 $-2$이다.

 

 

 

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

$z$좌표를 $z=0$으로 임의로 추가한 뒤 주어진 타원을 매개화하면
$$r(t) = (2\sqrt{2}\cos t, \sqrt{2}\sin t, 0)$$
에서 주어진 점은 $t=\frac{\pi}{4}$일 때이다.

한편
$$\begin{align}
    r'(t) &= (-2\sqrt{2}\sin t, \sqrt{2}\cos t, 0) \\ 
    r''(t) &= (-2\sqrt{2}\cos t, -\sqrt{2}\sin t, 0)
\end{align}$$
이므로 구하는 곡률 $\kappa$는
$$\kappa = \frac{\left|r'\left(\frac{\pi}{4}\right)\times r''\left(\frac{\pi}{4}\right)\right|}{\left| r'\left(\frac{\pi}{4}\right)\right|^3} = \frac{4}{25}\sqrt{5}$$
이다.

 

 

 

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

이 포스팅에서는 

1. 고유특성다항식과 식조작을 이용한 풀이
2. 고유치와 곱셈공식을 이용한 풀이

를 소개한다.



[풀이 1]
행렬 $A$의 고유특성다항식을 $f(t)$라 하자. 즉,
$$f(t) = \det(A-tI)$$
라 하자. 그러면
$$\begin{align}
    p(t) &= \det(A^2 - tI) \\ 
    &= \det(A+\sqrt{t}I)\times \det(A-\sqrt{t}I) \\ 
    &= f(\sqrt{t})f(-\sqrt{t})
\end{align}$$
이다. 이제 
$$\begin{cases}
    f(1) = 6, f(-1) = -4 \\
    f'(1) = 7, f'(-1) = -1
\end{cases}$$
임을 이용하자. $p'(t)$를 구해보면 
$$p'(t) = \frac{1}{2\sqrt{t}}(f'(\sqrt{t})f(-\sqrt{t})-f(\sqrt{t})f'(-\sqrt{t}))$$
이므로
$$\begin{align}
    p'(1) &= \frac{1}{2}(f'(1)f(-1)-f(1)f'(-1)) \\ 
    &= \frac{1}{2}(-28-(-6)) \\
    &= -11
\end{align}$$
이다.



[풀이 2]
행렬 $A$의 고유치를 $a, b,c$라 하면 행렬 $A^2$의 고유치는 $a^2, b^2 ,c^2$이다.

이제 곱셈공식으로부터
$$\begin{align}
    a^2 + b^2 + c^2 &= (a+b+c)^2 - 2(ab+bc+ca) \\ 
    a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 &= (ab+bc+ca)^2 - 2abc(a+b+c)
\end{align}$$
가 성립함을 이용하자. 주어진 행렬 $A$의 고유특성다항식으로부터
$$\begin{cases}
    a+b+c=2 \\ 
    ab+bc+ca=-6 \\
    abc=-1
\end{cases}$$
이므로 
$$\begin{align}
    p(t) &= -(t^3-(a^2 + b^2 + c^2)t^2 + (a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)t - (abc)^2) \\
    &= -t^3 + 16t^2 - 40t + 1
\end{align}$$
임을 얻는다. 따라서 
$$p'(t) = -3t^2 + 32t - 40$$
이므로 $p'(1) = -11$이다.

 

 

 

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

$n=4-r$이므로 구하는 값은 $r-n=2r-4$이다. 한편 계산을 통해
$$\text{rank}(A) = 3$$
이므로 구하는 값이 $2$임을 알 수 있다.

 

 

 

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

제시된 기약행사다리꼴을 기준으로 보면 각 행의 선두원소가 위치하는 열이 1, 2, 4열이다.
이제 1, 2, 4열의 선형결합으로 5열을 만들어보면
$$2\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0 
\end{pmatrix} + 5\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0 
\end{pmatrix} + 6\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 \\
5 \\
6 
\end{pmatrix}$$
이 성립한다. 이로부터 계수를 똑같이 $2, 5, 6$으로 유지하여 원본행렬 $M$의 1, 2, 4열을 선형결합시키면
$$v= 2\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
2 
\end{pmatrix} + 5\begin{pmatrix}
3 \\
1 \\
-1 
\end{pmatrix} + 6\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
1 
\end{pmatrix}$$
이 행렬 $M$의 5열이 된다. 따라서 $v$의 모든 성분의 합은
$$2\times 4 + 5\times 3 + 6\times 4 = 47$$
이다.

 

 

 

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

면적소를 계산해보면
$$dS = \sqrt{1+(z_x)^2 + (z_y)^2} = \sqrt{1+y^2}dydx$$
이므로 주어진 면적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^1 \int_0^1 (1+y^2)dydx \\ 
    &= \frac{4}{3}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

어떤 영역 $A$와 선형변환 $T$에 대하여 영역 $A$를 변환시켜 얻은 영역 $T(A)$의 넓이는
$$\text{Area}(T(A)) = \text{Area}(A) \times |\det T|$$
이다.

따라서 세 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 $S$라 하면
$$S=\frac{3}{2}$$
이고, 문제에서 주어진 선형변환 $T$의 표현행렬은
$$T = \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
2 & -3 
\end{pmatrix}$$
이므로 $\det T = -5$이다. 따라서 구하는 넓이는
$$\frac{3}{2}\times 5 = \frac{15}{2}$$
이다.

 

 

 

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

이 포스팅에서는

1. 매개변수 $t$를 소거시키는 풀이
2. 직접 길이를 구하는 풀이

를 소개한다.



[풀이 1]
주어진 곡선의 매개변수 표현은
$$\begin{cases}
    x = \frac{t+1}{t^2 + 1} \\ 
    y = \frac{t(t+1)}{t^2 + 1}
\end{cases}$$
이다. 여기서 주목해야 할 것은 두 변수 $x, y$가
$$y=tx$$
를 만족시킨다는 것이다. 즉, $t=\frac{y}{x}$이므로
$$\begin{align}
    x &= \frac{t+1}{t^2 + 1}\\
    &= \frac{\frac{y}{x}+1}{\frac{y^2}{x^2} + 1} \\ 
    &= \frac{xy+x}{x^2 + y^2}
\end{align}$$
에서 식을 정리하면
$$x^2 + y^2 = y+1\quad\Longrightarrow\quad x^2 + \left(y-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{5}{4}$$
의 일부분이 곡선 $\gamma(t)$임을 알 수 있다.

한편 $\gamma(0) =(1, 0)$, $\gamma(1)=(1, 1)$이므로 주어진 곡선 $\gamma(t)$는 원
$$x^2 + \left(y-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{5}{4}$$
위의 점 $(1, 0)$에서 출발하여 $(1, 1)$까지 반시계방향으로 이동하는 곡선임을 알 수 있다.

따라서 구하는 길이는 $\frac{\pi}{2\sqrt{2}}$이다.



[풀이 2]
매개변수로 정의된 곡선의 길이를 구하기 위해 각각 미분해보면
$$\begin{align}
    \frac{dx}{dt} &= \frac{-t^2 - 2t + 1}{(t^2 + 1)^2} \\ 
    \frac{dy}{dt} &= \frac{-t^2 + 2t+1}{(t^2 + 1)^2}
\end{align}$$
이므로 약간의 인내심을 갖고 계산해보면 구하는 길이 $L$은
$$\begin{align}
    L &= \int_0^1 \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt \\ 
    &= \int_0^1 \frac{\sqrt{2}}{t^2 + 1}dt \\ 
    &= \frac{\pi}{2\sqrt{2}}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

문제에서 제시된 $(\alpha)_n$의 정의대로 해석해보면 $(-3)_n$은 $n\geq 4$일 때 항상 $0$이 된다.

즉, 주어진 급수는 애초에 무한급수가 아니다. 따라서 수렴반경은 $\infty$이다.

 

 

 

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

$x=\cos 2t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= 2\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin 2t \sqrt{\frac{1-\cos 2t}{1+\cos 2t}}dt \\ 
    &= 2\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin 2t \times \frac{\sin t}{\cos t}dt \\ 
    &= 4\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin^2 t dt \\ 
    &= 4\left(\frac{\pi}{8} - \frac{1}{4}\right) \\ 
    &= \frac{\pi}{2} - 1
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

$\cos^2 x = 1-\sin^2 x$임을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 x(1-\sin^2 x)\cos xdx \\ 
    &= \int_0^1 t^3(1-t^2)dt\quad (\sin x= t) \\ 
    &= \frac{1}{12}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

$x^3 = t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \frac{1}{3}\int_0^1 te^{-t}dt \\ 
    &= \frac{1}{3}\left(1-\frac{2}{e}\right)
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

함수 $f(t)=\cos t$의 라플라스 변환 $F(s)$가
$$\begin{align}
    F(s) &= \int_0^{\infty} e^{-st}\cos t dt \\ 
    &= \frac{s}{s^2 + 1}
\end{align}$$
이므로, 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= F(a) \\ 
    &= \frac{a}{a^2 + 1}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

$g(x) = t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_1^0 \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}dt \\ 
    &= 1-\sqrt{2}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이

반각치환 $\tan\frac{x}{2}=u$를 이용하면 덧셈정리로부터
$$\begin{cases}
    \tan x = \frac{2u}{1-u^2}\\
    \sin x = \frac{2u}{1+u^2}\\
    \cos x = \frac{1+u^2}{1-u^2} 
\end{cases}$$
가 성립하고 
$$dx = \frac{2du}{\cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{2}{u^2 + 1}du$$
가 성립하므로, 이를 전부 대입하면
$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} R(\cos x)dx = 2\int_0^1 R\left(\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)\times \frac{1}{1+u^2}du$$
이다.

 

 

 

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이

뒤의 적분항에 주목하자. $\theta = \cosh x$로 치환적분하면 $d\theta = \sin hx dx$이므로
$$\begin{align}
    \int_1^{\cosh t} \sqrt{\theta^2 - 1}d\theta &= \int_0^t \sinh x\sqrt{\cosh^2 x - 1}dx \\ 
    &= \int_0^t \sinh^2 xdx
\end{align}$$
가 성립한다.

따라서
$$A(t) = \frac{1}{2}\sinh t\cosh t - \int_0^t \sinh^2 xdx $$
에서 
$$\begin{align}
    A'(t) &= \frac{1}{2}\cosh^2t + \frac{1}{2}\sinh^2 t - \sinh^2 t \\ 
    &=\frac{1}{2}(\cosh^2 t - \sinh^2 t) \\ 
    &= \frac{1}{2}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이

벡터함수
$$s(t) = (\cos t, \sin t, t)$$
를 생각하면 
$$r(t) = \frac{1}{\sqrt{t}}s(t)$$
이고
$$r'(t) = -\frac{1}{2}t^{-\frac{3}{2}}s(t) + \frac{1}{\sqrt{t}}s'(t)$$
이므로
$$\begin{align}
    r(t)\times r'(t) &= \frac{1}{\sqrt{t}}s(t) \times r'(t) \\ 
    &= \frac{1}{t} s(t)\times s'(t) \\ 
    &= \frac{1}{t}(\sin t-t\cos t, -\cos t-t\sin t, 1)
\end{align}$$
이므로 크기를 구해보면
$$\sqrt{1+\frac{2}{t^2}}$$
이다.

 

 

 

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이

테일러전개로부터 $x=0$ 근방에서 
$$e^x - 1\approx x+\frac{1}{2}x^2$$
이 성립하므로, $x=0$ 근방에서
$$\begin{align}
    B(x) &\approx \frac{1}{1+\frac{1}{2}x} \\
    &\approx 1-\frac{1}{2}x
\end{align}$$
이므로 $B'(0)=-\frac{1}{2}$이다.

 

 

 

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이

$-1<x<1$에서 
$$\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$$
가 성립하고, 양변을 적분하면
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1}x^{n+1} = -\ln(1-x)$$
이 성립한다. 이제 양변을 $x$로 나누면
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1}x^n = -\frac{\ln(1-x)}{x}$$
이므로 양변을 $0$부터 $x$까지 적분하면
$$\begin{align}
    -\int_0^x \frac{\ln(1-t)}{t}dt &= \sum_{n=0}^{\infty} \int_0^x \frac{1}{n+1}t^ndt \\ 
    &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^2}x^{n+1} \\ 
    &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}x^n
\end{align}$$
이므로 
$$A_n = \frac{1}{n^2} \quad\Longrightarrow\quad A_{20} = \frac{1}{400}$$
이다.

 

 

 

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 26번 풀이

(가) 분자, 분모를 $3$으로 나누면
$$\frac{1}{1-\frac{2}{3}x} = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{2}{3}x\right)^n$$
이므로 참이다.

(나) 위에서 얻은 식의 양변을 미분한 뒤 양변에 $x$를 곱하면
$$\frac{6x}{(3-2x)^2} = \sum_{n=0}^{\infty} n\left(\frac{2}{3}x\right)^n$$
이다. 이때 $n=0$일 때는 어차피 더해지는 식의 값이 $0$이므로 시그마의 시작점을 $n=1$부터로 바꿔도 같다.
따라서 참이다.

(다) (가)에서 얻은 식의 양변을 적분하면
$$-\frac{3}{2}\ln(3-2x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1}\left(\frac{2}{3}\right)^n x^{n+1} + C$$
에서 양변에 $x=0$을 대입하면
$$C = -\frac{3}{2}\ln 3$$
이다. 따라서
$$-\frac{3}{2}\ln(3-2x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1}\left(\frac{2}{3}\right)^n x^{n+1}-\frac{3}{2}\ln 3$$
이고, 시그마의 형태를 맞춰주기 위해 평행이동하면
$$-\frac{3}{2}\ln(3-2x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} x^n-\frac{3}{2}\ln 3$$
이므로 참이다.

 

 

 

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 27번 풀이

[풀이 1]
적당한 함수를 찍어서 문제를 풀 수 있다. 두 함수 $f(x), g(x)$를
$$\begin{align}
    f(x) &= e^{-2(x-1)} \\ 
    g(x) &= e^{-3(x-1)}
\end{align}$$
이라 하면 문제의 조건을 모두 만족시킨다. 따라서
$$f(x)g(x)=e^{-5(x-1)}$$
의 $x=1$에서의 8차 도함수의 값은 $(-5)^8 = 5^8$이다.



[풀이 2]
곱함수의 미분법으로부터
$$(f(x)g(x))^{(8)} = {}_8\mathrm{C}_0 f^{(8)}(x)g^{(0)}(x) + {}_8\mathrm{C}_1 f^{(7)}(x)g^{(1)}(x) +\cdots $$
의 미분계수와 
$$(a+b)^8 = {}_8\mathrm{C}_0 a^8b^0 + {}_8\mathrm{C}_1 a^8b^1 + \cdots $$
의 모든 계수의 합이 같다.

따라서 $f(x)$의 $x=1$에서의 미분계수가 $(-2)^n$이고 $g(x)$의 $x=1$에서의 미분계수가 $(-3)^n$이므로
$a=-2, b=-3$을 대입한
$$(-2-3)^8 = 5^8$$
이 구하는 $f(x)g(x)$의 $x=1$에서의 8차 도함수의 값과 같다.

 

 

 

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 28번 풀이

$2x+3y+5z=k$라 하면 $k$를 최대로 만들면 된다.

이때 $k$의 값을 조절하는 행위는 평면 $2x+3y+5z=k$를 평행이동 한다고 생각할 수 있고, 
$k$가 최대일 때는 자연스럽게 평면 $2x+3y+5z=k$이 주어진 구면에 접할 때임을 알 수 있다.

따라서 방향벡터가 평면의 법선벡터와 같고 원점을 지나는 직선의 방정식인
$$l(t) = (2t,3t,5t)$$
와 주어진 구의 교점을 구해보면
$$38t^2 = 19\quad \Longrightarrow\quad t=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$$
이다. 그리고 이 점을 주어진 평면의 방정식도 지나야 하므로
$x=2t, y=3t, z=5t$를 평면의 방정식에 대입하면
$$k=38t=\pm19\sqrt{2}$$
이므로 $19\sqrt{2}$가 구하는 최댓값이 된다.

 

 

 

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 29번 풀이

그린정리를 이용하면 주어진 선적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iint_{\Omega} (3x^2 + 3y^2  + 1)dxdy \\ 
    &= \frac{\pi}{8} + 3\int_0^{\frac{\pi}{4}}\int_0^1 r^3drd\theta \\ 
    &= \frac{\pi}{8} + \frac{3}{16}\pi \\ 
    &= \frac{5}{16}\pi 
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2020 중앙대학교 편입수학 기출문제 30번 풀이

라플라스 전개를 적당히 이용하면
$$\begin{align}
    &16 \\
    &= \det \begin{pmatrix}
a & b & a & b \\
0 & a & b & a \\
0 & 3a & a+3b & 3a \\
0 & -a & -b & 0 
\end{pmatrix} \\ 
&= a\det \begin{pmatrix}
a & b & a \\
0 & a & 0 \\
-a & -b & 0 
\end{pmatrix} \\ 
&= a^2 \det \begin{pmatrix}
0 & a \\
-a & b 
\end{pmatrix} \\ 
&= a^4
\end{align}$$
이므로 주어진 방정식이 성립하려면
$$a^4 = 16$$
이어야 하고, 이를 만족시키는 선지는 2번 뿐이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2020 중앙대학교(수학과) 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

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