편입수학 기출문제 풀이/항공대

[편입] 2014 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

수학올인 2024. 3. 18. 22:59

[편입] 2014 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에선 2014년 항공대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 항공대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

항공대의 경우 최근 2~3년 문제지만 공유하며, 년도가 바뀔 때마다 시험지를 입학처 홈페이지에서 삭제합니다.

따라서 시험지가 필요하신 분은 미리 입학처에서 다운로드를 받아두시기 바랍니다.

(항공대학교 입학처 - 편입학 - 지난기출문제)

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

주어진 행렬 $A$의 기약행사다리꼴이
$$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 3 & 2 \\
0 & 1 & -2 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} $$
이므로 $\text{rank}(A) = 2$이다.

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

선형변환의 치역의 차원은 표현행렬의 $\text{rank}$와 같다.

한편 문제에서 주어진 $M$의 기약행사다리꼴을 구해보면
$$\begin{pmatrix}
1 & 0 & -2 & 1 \\
0 & 1 & -3 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$$
이므로 $\text{rank}(M) = 2$이고 따라서 치역의 차원은 $2$이다.

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

1, 2, 3번의 경우 직접 해보면 참이고, 4는 동일한 고유치 $\lambda = 1$을 갖는데

이에 대응되는 고유벡터가 한 개 뿐이므로 대각화 불가능하다.

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

$n\times n$행렬 $A$에 대하여 $\text{adj}(\text{adj}A) = (\det A)^{n-2} A$가 성립한다.

한편 $\det A = -4$이므로, 구하는 값은 $16A$이다.

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

주어진 네 점을 대입하면
$$\begin{cases}
a + b &= 1 \\
a + 2b &= 3 \\
a+3b &= 4 \\
a + 4b &= 3
\end{cases}
$$
을 얻고, 이를 행렬표현으로 바꿔쓰면
$$\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 2 \\
1 & 3 \\
1 & 4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a \\
b
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 \\
3 \\
4 \\
3
\end{pmatrix}$$
임을 얻는다. 이제 최소제곱해를 구하는 공식으로부터
$$\begin{pmatrix}
4 & 10 \\
10 & 30
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a \\
b
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
11 \\
31
\end{pmatrix}$$
이고, 이를 풀면
$$a=1, b=0.7$$
이므로 $a+b=1.7$이다.

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

주어진 행렬의 고유치는 $\lambda = \frac{1}{2}, 1$이고 대응되는 고유벡터는 순서대로
$$\begin{pmatrix}
1 \\
-1
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
2 \\
3
\end{pmatrix}$$
이다. 이제 각각의 고유벡터를 $M^n$에 곱한 뒤 $n\to\infty$인 극한을 취해보면
$$\begin{align}
    \lim_{n\to\infty} M^n \begin{pmatrix}
1 \\
-1
\end{pmatrix} &= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n \begin{pmatrix}
1 \\
-1
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
x_1 - x_2 \\
x_3  -x_4
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
0 \\
0
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이고
$$\begin{align}
    \lim_{n\to\infty} M^n \begin{pmatrix}
2 \\
3
\end{pmatrix} &= \lim_{n\to\infty} 1^n \begin{pmatrix}
2 \\
3
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
2x_1 +3 x_2 \\
2x_3 +3 x_4
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
2 \\
3
\end{pmatrix}
\end{align}$$
에서 연립방정식
$$\begin{cases}
x_1 - x_2 = 0 \\
x_3  -x_4 = 0 \\
2x_1 +3 x_2 = 2\\
2x_3 +3 x_4 = 3
\end{cases}$$
을 풀면
$$\begin{cases}
x_1 = \frac{2}{5} \\
x_2 = \frac{2}{5} \\
x_3 = \frac{3}{5} \\
x_4 = \frac{3}{5}
\end{cases}$$
이므로, 구하는 값은 $36$이다.

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

문제에서 주어진 세 벡터 $x_1, x_2, x_3$은 전부 일차독립이다.

이제 문제에서 주어진 행렬 $M$을 선형변환으로 인식하면 $M$의 랭크가 3이므로
일차독립인 집합을 $M$을 통해 변환시켜 얻은 집합도 일차독립이 된다.

따라서 $y_1, y_2, y_3$도 일차독립이며, 이를 통해 옳은 것은 a, b, c임을 알 수 있다.

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

크래머 공식을 이용할 것인데, 1번 선지를 보면 $A$행렬의 행렬식을 구하는 과정에서
1열과 3열의 순서를 바꾼 뒤 2열과 3열의 순서를 바꾸면 우리가 찾는 해가 된다.

이때 열교환을 두 번 하였으므로 각각 교환할 때 생긴 $-1$끼리 곱해져 부호는 +가 되므로
정답은 1번이다.
(나머지 선지의 경우 비슷하게 해보면 옳지 않음을 알 수 있다.)

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

a. 행렬식을 구해보면 $0$이다.
b. $3x = y\times z$이므로 거짓이다.
c. 2차원이다.

이상에서 옳은 것은 $d$이다.

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

세 벡터 $v_1, v_2, v_3$가 이루는 평행육면체의 부피와 세 벡터 $w_1, w_2, w_3$이 이루는
평행육면체의 부피는 동일하다. 따라서 세 벡터 $v_1, v_2, v_3$를 행 또는 열로 갖는 $3\times 3$크기의
행렬을 $A$라 하면
$$|\det A| = 4$$
이므로
$$|w_1||w_2||w_3|=4$$
이다. 그런데 $|w_1| = \sqrt{3}$이므로 식을 정리하면
$$|w_2||w_3| = \frac{2}{3}\sqrt{12}$$
이다.

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

대칭성을 이용하면 $k=4$이므로, 구하는 값은 $80$이다.

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

함수 $e^x$의 테일러전개를 생각하면 주어진 급수의 수렴반경은 $\infty$이다.

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

3번의 경우 분자의 차수와 분모의 차수가 같으므로
원점으로의 극한이 존재하지 않는다.

따라서 원점에서 연속이 아니므로 옳지 않다.

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

1. $p$급수 판정법으로부터 발산한다.

2. 근판정법으로 수렴한다.

3. 절대수렴한다.

4. 마찬가지로 절대수렴한다.

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

$e$의 정의를 이용하면 주어진 극한은
$$\begin{align}
\text{(Limit)} &= \lim_{x\to 0}(1-2x)^{-\frac{1}{2x} \times (-2)} \\
&= e^{-2}
\end{align}$$
이다.

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

동경 $\theta$에 대하여 두 극곡선 $r=f(\theta)=1-\cos2\theta$, $r=g(\theta)=1+\cos\theta$에서의 접선 $l_1, l_2$가
동경벡터 $\theta$와 이루는 각을 각각 $\phi_1, \phi_2$라 하자.

그러면
$$\begin{align}
    \tan\phi_1 &= \frac{f(\theta)}{f'(\theta)} \\
    \tan\phi_2 &= \frac{g(\theta)}{g'(\theta)}
\end{align}$$
가 성립한다.

이제 둘의 교각 $\theta$를 구하기 위해 방정식
$$1-\cos2\theta=1+\cos\theta$$
를 풀면 $\theta=\frac{\pi}{3}$을 얻으므로, 이를 위에 대입하면
$$\begin{align}
    \tan\phi_1 &= \frac{\sqrt{3}}{2} \\
    \tan\phi_2 &= -\sqrt{3}
\end{align}$$
을 얻고, 덧셈정리로부터
$$\begin{align}
    \tan(\phi_1-\phi_2) &= \left|\frac{\tan\phi_1-\tan\phi_2}{1+\tan\phi_1\tan\phi_2}\right| \\
    &= 3\sqrt{3}
\end{align}$$
이므로
$$\phi_1-\phi_2=\tan^{-1}|3\sqrt{3}|$$
이다.

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

[오류 문항]
주어진 문항은 오류이다. 극좌표계를 이용하면 구하는 부피 $V$는
$$\begin{align}
    V &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_1^{1+\cos\theta}2r drd\theta \\
    &= \int_0^{\frac{\pi}{2}}(\cos^2 \theta+2\cos \theta)d\theta \\
    &= \frac{\pi}{4}+2
\end{align}$$
로 일치하는 선지가 없다.

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

극곡선을 회전시켜서 $r=1+2\cos\theta$의 내부곡선과 외부곡선으로 둘러싸인 면적을 구해도 된다. 이를 $S$라 하자.

그러면
$$\begin{align}
S &= 2\left(\frac{1}{2}\int_0^{\frac{2}{3}\pi} (1+2\cos\theta)^2d\theta - \frac{1}{2}\int_{\frac{2}{3}\pi}^{\pi} (1+2\cos\theta)^2d\theta\right) \\
&= \pi+3\sqrt{3}
\end{align}$$
이다.

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

[오류 문항]
주어진 문항은 오류이다. 직접 해보면 주어진 영역 내에서 최대 $M$과 최소 $m$은
$$M=\frac{3+\sqrt{2}}{2}, m=0$$
으로 일치하는 선지가 없다.

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

$f(x,y)=x^3 + y^3 - 6xy$라 하면 음함수의 미분법으로부터
$$\begin{align}
    \frac{dy}{dx} &= -\frac{f_x}{f_y} \\
    &= - \frac{3x^2 - 6y}{3y^2 - 6x}\bigg|_{(3,3)} \\
    &= -1
\end{align}$$
이다.

마치며

이상으로 2014 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~