[편입] 2023 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2023 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2023년 항공대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 항공대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

항공대의 경우 최근 2~3년 문제지만 공유하며, 년도가 바뀔 때마다 시험지를 입학처 홈페이지에서 삭제합니다.

따라서 시험지가 필요하신 분은 미리 입학처에서 다운로드를 받아두시기 바랍니다.

(항공대학교 입학처 - 편입학 - 지난기출문제)

 

2023년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설은 글 가장 아래에 정리되어 있습니다.

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

[풀이 1] (직관적 풀이)
주어진 방정식의 양변을 $2n$으로 나누어 주어진 방정식의 실근을
$$y=\sin \pi x, y=\frac{x}{2n}$$
의 교점으로 파악하자.

그러면 $n$을 $1$부터 키워가며 그래프를 그려보면 아래 그림과 같다.

(빨간색 : $n=1$, 파란색 : $n=2$, 초록색 : $n=3$)

그림으로 알 수 있듯 주어진 방정식의 실근은 $x=0$을 제외하면 $2n-1$개 존재한다.

이 실근을 크기 순서대로 작은 것부터 
$$x_1, x_2, \cdots x_{2n-1}$$
이라고 하자. 그러면 $n$이 한없이 많이 커진다면 $\frac{x}{2n} \to 0$이다.
이에 따라 $n\to\infty$일 때 $x_1, x_2, \cdots, x_{2n-1}$의 행동은 아래 사진의 빨간색 직선과 같다.

즉, $n\to\infty$일 때
$$\begin{align}
    & x_1 \to 1 \\ 
    & x_2 \to 2 \\ 
    & x_3 \to 3 \\ 
    & \vdots \\ 
    & x_{2n-1} \to 2n-1
\end{align}$$
이 성립한다. 따라서 근사적으로
$$S(n) \approx 0+1+2+3+\cdots+(2n-1) = 2n^2 - n$$
이 성립하므로
$$\lim_{n\to\infty} \frac{S(n)}{n^2} = 2$$
이다.



[풀이 2] (엄밀한 풀이)
풀이 1과 같이 주어진 방정식의 실근을 
$$y=\sin \pi x, y=\frac{x}{2n}$$
의 교점으로 파악하자.

그러면 마찬가지로 실근은 $2n-1$개 존재한다.
이 실근 중 $m$번째($m=0, 1, \cdots, 2n-1$)로 작은 실근을 $x_{mn}$이라 하면
$$S(n) = \sum_{m=1}^{2n-1} x_{mn}$$
이 성립한다. 한편 각각의 $m$에 대하여
$$m - \frac{1}{2} \leq x_{mn} \leq m + \frac{1}{2}$$
이 성립하고, 양변에 시그마를 씌우면
$$\sum_{m=0}^{2n-1}\left(m - \frac{1}{2}\right) \leq \sum_{m=1}^{2n-1} x_{mn} \leq \sum_{m=1}^{2n-1}\left(m + \frac{1}{2}\right)$$
이다. 이제 시그마를 계산하면
$$2n^2 - 2n \leq S(n) \leq 2n^2$$
이 성립하므로, 전부 $n^2$으로 나눈 뒤 $n\to\infty$인 극한을 취하면 조임정리로부터
$$\lim_{n\to\infty} \frac{S(n)}{n^2} = 2$$
이다.

 

 

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

3. 제약조건 $g(x,y)=xy=16$을 $y$에 대해 풀면 
$$y=\frac{16}{x}$$
이다. 이를 $f(x,y)$에 대입하면
$$f(x,y) = x+\frac{16}{x}$$
의 최댓값을 구하는 것과 같은데, $x\to\infty$인 극한을 취하면
$$\lim_{x\to\infty} \left(x + \frac{16}{x}\right) =\infty$$
이므로 최댓값은 존재하지 않는다. 

따라서 최댓값이 $8$이라는 진술은 거짓이다.

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

물체가 초기에 정지상태에 있으므로 $v(0)=0$이다. 

한편 시간이 충분히 흐른후의 속도가 $20$이므로
$$\lim_{t\to\infty} v(t) = 20$$
이다. 따라서 주어진 미분방정식에 $\frac{dv}{dt} = 0, v=20$을 대입하면
$$0 = -20k + 10$$
에서 $k=\frac{1}{2}$이다.

따라서 주어진 미분방정식을 풀면 
$$v(t) = 20 - 20e^{-\frac{t}{2}}$$
이므로 $v(\ln 4) = 10$이다.

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

주어진 교선을 매개화하면 
$$r(t) = \left(0, t, \frac{t^2}{2}\right)$$
이고, 주어진 점은 $r(1)$이다.

곡률을 구하기 위해 미분하면
$$\begin{align}
    & r'(t) = (0, 1, t) \\ 
    & r''(t) = (0, 0, 1)
\end{align}$$
에서 주어진 점에서의 곡률 $\kappa$는
$$\kappa=\frac{|r'(1)\times r''(1)|}{|r'(1)|^3} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$$
이다.

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

$2x+y-3=u, 2y-x+6=v$로 변수변환하면 $5dxdy = dudv$가 성립하므로 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \frac{1}{5}\int_{-3}^2 \int_1^6 \frac{u^2}{v^2}dvdu \\ 
    &= \frac{1}{5} \times \frac{5}{6} \times \frac{35}{3} \\ 
    &= \frac{35}{18}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

행렬 $A$의 고유특성다항식을 구해보면 
$$\lambda^3 - \lambda^2 - \lambda + 1 = 0$$
에서 행렬 $A$의 고유치는
$$\lambda = -1, 1, 1$$
이다. 따라서 행렬 $A^{99}$의 고유치는
$$\lambda = (-1)^{99}, 1^{99}, 1^{99}$$
이고 대각합은 고유치의 합과 같으므로 $\text{tr}A^{99} = 1$이다.

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

주어진 벡터가 고유공간의 기저가 된다는 말은 고유벡터라는 말과 같다.

선지의 모든 벡터를 곱해서 고유벡터인지 확인해보면
$4$번의 벡터가 고유치 $\lambda = -2$에 대응하는 고유벡터가 된다.

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

ㄱ. 맞다

ㄴ. 행렬식은 모든 고유치의 곱이므로 맞다.

ㄷ. $B$가 대칭행렬이므로 맞다.

ㄹ. 두 행렬 $A, B$가 직교행렬이므로
$$\begin{align}
    & AA^T = I \\ 
    & BB^T = I
\end{align}$$
가 성립한다. 한편
$$\begin{align}
    (AB)(AB)^T &= ABB^T A^T \\ 
    &= AIA^T \\ 
    &= AA^T \\ 
    &= I
\end{align}$$
이므로, $AB$도 직교행렬이다.



이상에서 옳은 것은 $4$개이다.

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

4. 함수 $f(x)$의 불연속점이 비가산개이므로 리만적분이 불가능하다.

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

ㄱ. 근판정법으로부터 수렴한다.

ㄴ. 지수로그의 성질로부터
$$\frac{1}{(\ln n)^{\ln n}} = \frac{1}{e^{\ln n \ln \ln n}}$$
이 성립한다. 그런데 $\ln \ln n > 2$인 모든 $n$에 대하여
$$n^2 = e^{\ln n \times 2} > e^{\ln n \ln \ln n}$$
이 성립하고, 역수를 취하면
$$\frac{1}{e^{\ln n \ln \ln n}} < \frac{1}{n^2}$$
이 성립한다. 이제 $\frac{1}{n^2}$에 대한 급수는 수렴하므로 주어진 급수도 수렴한다.

ㄷ. 지수로그의 성질로부터
$$\frac{1}{(\ln n)^{\ln\ln n}} = \frac{1}{e^{(\ln \ln n)^2}}$$
이 성립한다. 한편 충분히 큰 자연수 $n$에 대하여
$$(\ln\ln n)^2 < \ln n$$
이 성립하므로,
$$e^{(\ln\ln n)^2}< e^{\ln n} = n$$
이 성립한다. 이제 역수를 취하면
$$\frac{1}{e^{(\ln\ln n)^2}}> \frac{1}{n}$$
이 성립하고 $\frac{1}{n}$에 대한 급수는 발산하므로 주어진 급수는 발산한다.

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

각각 행렬식을 구해보면
1. $1$이다.

2. $3^3 \times 4$이다.

3. $2^3$이다.

4. $4^2$이다.



따라서 가장 큰 것은 $2$번이다.

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

주어진 선형변환의 값들에 전부 역변환을 취한 뒤 정리하면
$$\begin{align}
    & L^{-1}(1,0,0)=(2,4,2) \\ 
    &L^{-1}(0,1,0)=\frac{1}{2}(1,2,-4) \\ 
    &L^{-1}(0,0,1)=-\frac{1}{2}(3,2,2)
\end{align}$$
이다. 따라서
$$\begin{align}
    & L^{-1}(1,1,1) \\ 
    &= L^{-1}(1,0,0) + L^{-1}(0,1,0) + L^{-1}(0,0,1) \\ 
    &= (2,4,2) + \frac{1}{2}(1,2,-4) - \frac{1}{2}(3,2,2)
\end{align}$$
이므로, $a+b+c=4$이다.

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

주어진 함수 $f(x)$는 기함수이므로
$$\begin{align}
    c_n &= \frac{1}{4}\int_{-2}^2 f(x) e^{-\frac{n\pi i}{2}x}dx \\ 
    &= \frac{1}{4}\int_{-2}^2 f(x) \left( \cos\left(-\frac{n\pi i}{2}x\right) +i\sin\left(-\frac{n\pi i}{2}x\right)\right)dx \\ 
    &= \frac{1}{4}\int_{-2}^2 f(x)i\sin\left(-\frac{n\pi i}{2}x\right)dx \\ 
    &= -\frac{i}{2}\int_0^2 f(x) \sin\left(\frac{n\pi i}{2}x\right)dx \\ 
    &= -\frac{i}{2}\int_0^2 \sin\left(\frac{n\pi i}{2}x\right)dx \\ 
    &= \frac{i}{n\pi}((-1)^n - 1)
\end{align}$$
이다. 따라서
$$c_1 = -\frac{2}{\pi}, c_2 = 0$$
이므로, 구하는 값은 
$$|c_1| + |c_2| = \frac{2}{\pi}$$
이다.

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

주어진 경로 내부에서의 특이점은 $z=0, 1$이다.

각 지점에서의 유수를 구해보자.

1) $z=0$인 경우 :
피적분함수를 로랑급수 전개하면
$$\begin{align}
    f(z) &= \frac{-\cos \pi z}{z^2(1-z^2)} \\ 
    &= \frac{-1}{z^2} (1 - \frac{\pi^2}{2!}z^2 + \cdots)(1+z^2 + z^4 + \cdots)
\end{align}$$
에서 $-1$차항이 존재하지 않으므로 유수는 $0$이다.

2) $z=1$인 경우 :
단극이므로
$$\lim_{z\to 1} (z-1)f(z) = -\frac{1}{2}$$
이 구하는 유수의 값이다.



따라서 유수정리로부터 구하는 복소선적분의 값은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= 2\pi i\times\left(0 + \left(-\frac{1}{2}\right)\right) \\ 
    &= -\pi i
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

3번의 경우
$$\begin{align}
    & f(x) = x^2\left(\cos\left(\frac{1}{x}\right)+2\right)\\
    & g(x) = x
\end{align}$$
라고 하면
$$\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$$
이지만
$$\lim_{x\to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$
은 수렴하지 않으므로(진동) 거짓이다. 

 

$x=0$에서 함숫값이 어떻든 극한값에는 영향이 없으므로 $g(0)$의 값을 $0$이 아닌 아무 값으로 설정하고

$x=0$이 아닐때만 $g(x)=x$로 설정해주면 $g(x)\neq 0$조건을 회피하며 똑같이 거짓임을 보일 수 있다.

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

곡면 
$$z=e^{-(x^2 + y^2)}$$
와 평면
$$z=\frac{1}{e}$$
의 교선은 $x^2 + y^2 = 1$이다. 

한편 구하는 값은 선적분이고, 적분경로가 $xy$평면과 평행하게 놓여있으므로 
벡터장 $F(x,y,z)$에서 $z$성분을 제거한 $F(x,y)$에 그린정리를 사용할 수 있다.

따라서 구하는 선적분의 값은 영역 $D : x^2 + y^2 \leq 1$에 대하여
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iint_D (e^{y+z} - (e^{y+z}-2))dA \\ 
    &= 2\iint_D dA \\ 
    &= 2\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

주어진 곡면 $S$와 새로운 원판 $S ' : x^2 + y^2 \leq 1, z=0$을 합친 폐곡면을 $D$라고 하고
그 내부영역을 $E$라고 하자. 그러면 $\text{div}F = 0$이므로 발산정리로부터
$$\iiint_E \text{div}F dV = 0$$
이다. 

한편 우리가 구하는 면적분의 값은 위의 삼중적분의 값에서 $S '$의 면적분값을 뺀 값과 같고
$S'$에 대한 면적분의 값은 법선벡터의 방향이 아래임을 고려했을 때
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= - \iint_{x^2 + y^2 \leq 1} (x^2 + y^2 + 3)dA \\ 
    &= -\int_0^{2\pi} \int_0^1 r(r^2 + 3)drd\theta \\ 
    &= -\frac{7}{2}\pi
\end{align}$$
이다. 따라서 우리가 원래 구하던 면적분의 값은
$$0 - \left(-\frac{7}{2}\pi\right) = \frac{7}{2}\pi$$
이다.

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

$x=\frac{1}{t}$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_{\frac{1}{2}}^1 \sqrt{\frac{1-t}{1+t}}dt \\ 
    &= \int_0^{\frac{\pi}{6}} 2\sin 2u \times \sqrt{\frac{1-\cos 2u}{1+\cos 2u}}du \quad (t=\cos 2u) \\ 
    &= \int_0^{\frac{\pi}{6}} 2\sin 2u \times \frac{\sin u}{\cos u} du \\ 
    &= \int_0^{\frac{\pi}{6}} 4\sin u\cos u \times \frac{\sin u}{\cos u} du \\ 
    &= 4\int_0^{\frac{\pi}{6}} \sin^2 u du \\ 
    &= \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

새로운 함수 $u=y_1 + y_2$를 생각하자. 주어진 두 식을 더하면
$$u''+u = 6\cos 2x, u(0)=0, u'(0)=4$$
라는 새로운 미분방정식을 얻는다. 

역연산자와 소멸연산자를 이용하여 특수해를 구하면
$$\begin{align}
    u_p &= \frac{1}{D^2 + 1}\left\{6\cos 2x\right\} \\ 
    &= \frac{6}{-4+1}\cos 2x \\ 
    &= -2\cos 2x
\end{align}$$
이다. 따라서 $u_p (0) = -2, u_p '(0) = 0$임을 이용하면 제차해 $u_c$는 미분방정식
$$u'' + u = 0, u_c(0)=2, u_c '(0)=4$$
를 만족시키며, 이는 라플라스변환을 이용하여 해결할 수 있다.

제차해 $u_c$의 라플라스변환을 $Y$라 하고 양변을 라플라스변환하면
$$\begin{align}
    Y &= \frac{2s+4}{s^2 + 1}
\end{align}$$
이므로, 역변환하면 $u_c = 2\cos x+4\sin x$임을 얻는다. 

따라서 구하는 미분방정식의 해는
$$\begin{align}
    u &= u_c + u_p \\
    &= 2\cos x+4\sin x - 2\cos 2x
\end{align}$$
이고, 구하는 값은 $u(\pi) = -4$이다.

 

 

 

2023 항공대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

주어진 연립미분방정식의 계수행렬
$$A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 \\
-1 & -1 & 1 \\
3 & 2 & -2 
\end{pmatrix}$$
에 대하여 행렬 $A$의 고유치를 크기 순으로 나열한 값이 $k_1, k_2, k_3$이며
각각에 대응되는 고유벡터가 $p_1, p_2, p_3$이다.

직접 행렬 $A$의 고유치와 고유벡터를 구해보면 
$$\begin{align}
    & k_1 = -2, v_1 = (2,-3,5) \\ 
    & k_2 = -1, v_2 = (1,-1,1) \\ 
    & k_3 = 1, v_3 = (1,0,1)
\end{align}$$
이다. 그런데 문제의 $p_1, p_2, p_3$는 단위벡터이므로 정규화하면
$$\begin{align}
    & p_2 = \frac{1}{3} (1,-1,1) \\ 
    & p_3 = \frac{1}{\sqrt{2}} (1,0,1)
\end{align}$$
이므로 $|p_2 \circ p_3| = \frac{2}{\sqrt{6}}$이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2023 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

년도별 항공대학교 편입수학 정답 및 해설 (클릭시 이동)

- 2021 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설
- 2022 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설
- 2023 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (현재)