[편입] 2022 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2022 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2022년 항공대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 항공대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

항공대의 경우 최근 2~3년 문제지만 공유하며, 년도가 바뀔 때마다 시험지를 입학처 홈페이지에서 삭제합니다.

따라서 시험지가 필요하신 분은 미리 입학처에서 다운로드를 받아두시기 바랍니다.

(항공대학교 입학처 - 편입학 - 지난기출문제)

 

2022년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설은 글 가장 아래에 정리되어 있습니다.

 

 

 

2022 항공대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

2022 항공대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2022 항공대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

역연산자 방법을 이용하여 특수해를 구하면
$$y_p = \frac{1}{(D-1)(D-2)}\left\{ e^x \right\} = -xe^x$$
이므로 $e^{-2}y_p (2) = -2$이다.

 

 

 

2022 항공대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

계산을 통해 $\text{rank}A = 2$임을 알 수 있다.

 

 

 

2022 항공대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

$\text{rank}A = 2$이므로, 행공간에 수직인 공간의 차원은 $1$이다.

한편 행렬 $A$의 $1$행과 $2$행은 일차독립이므로, 이 둘이 행공간의 기저가 될 수 있다.
따라서 이 둘을 외적하여 얻은 벡터 $n = (-1,-1, 1)$은 행공간에 수직인 벡터가 된다.

이제 선택지에서 행공간에 속하는 벡터라면 위에서 구한 $n$과의 내적이 $0$일것이므로
선택지의 모든 벡터와 내적했을 때 내적값이 $0$인 것을 찾으면 $3$번이다.

 

 

 

2022 항공대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

주어진 함수를 관찰해보면
$$0\leq |f(x,y)| \leq \left|(x^2 + y^2)\sin\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right|\leq |x^2 + y^2|$$
이므로, $(x, y)\to (0, 0)$일 때 $f(x, y)\to 0$일 것이다.

한편 편미분계수의 정의로부터
$$f_x(0,0) = f_y(0,0) = 0$$
임을 알 수 있다.

이제 새로운 이변수함수
$$g(x,y) = f(0, 0) + xf_x(0,0) + yf_y(0,0)$$
을 생각하면, 다변수함수의 미분가능성의 정의로부터
$$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x,y) - g(x, y)}{\sqrt{x^2 + y^2}}$$
의 극한값이 $0$이라면 점 $(0, 0)$에서 미분가능할것이다.

그런데 $g(x, y)=0$이므로
$$\begin{align}
    \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x,y) - g(x, y)}{\sqrt{x^2 + y^2}} &= \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \\ 
    &= \lim_{(x,y)\to(0,0)} \sqrt{x^2 + y^2}\sin\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}
\end{align}$$
로 쓸 수 있고, 
$$0 \leq \left|\sqrt{x^2 + y^2}\sin\frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right|\leq |\sqrt{x^2 + y^2}|$$
이 성립하므로, 샌드위치 정리로부터 위 극한값은 $0$이다. 따라서 점 $(0, 0)$에서 미분가능하다.

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ이다.

 

 

 

2022 항공대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

직접 TNB Frame을 계산해보면
$$\begin{align}
    & T(t) = \frac{r'(t)}{|r'(t)|} = \frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2}}(-a\sin t, a\cos t, b) \\ 
    & N(t) = \frac{T'(t)}{|T'(t)|} = (-\cos t, -\sin t, 0) \\ 
    & B(t) = T(t) \times N(t) = \frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2}}(b\sin t, -b\cos t, a)
\end{align}$$
이고, 원형나선 $r(t) = (a\sin t,a\cos t, b)$의 곡률 $\kappa$는
$$\kappa = \frac{a}{a^2 + b^2}$$
이므로, 이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다.

 

 

 

2022 항공대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

$x^2 + y^2 = \frac{z^2}{2}$이므로 
$$d^2 = x^2 + y^2 + z^2 = \frac{3}{2}z^2$$
이 성립한다. 한편 코시 슈바르츠 부등식으로부터
$$(1^2 + 1^2)(x^2 + y^2) \geq (x+y)^2$$
인데, $x^2 + y^2 = \frac{z^2}{2}$, $x+y=1-z$임을 대입하면
$$z^2 \geq (1-z)^2 \quad \Longrightarrow\quad \frac{1}{2}\leq z$$
임을 얻는다. 따라서 
$$d^2 = \frac{3}{2}z^2 \geq \frac{3}{8}$$
이다.

 

 

 

2022 항공대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

피적분함수와 주어진 적분영역 (평행사변형)도 전부 $y=x$에 대칭이므로 주어진 적분은
$$2\iint_D (x-y)^2 dA$$
이다. (단, $D$는 세 점 $(-1,-1), (1,0), (2,2)$를 꼭짓점으로 하는 삼각형이다.)

이제 $x-y=u, y=v$로 변수변환하면 $dxdy=dudv$이고, 적분영역의 꼭짓점은
$$\begin{align}
    & (-1,-1)\to (0,-1) \\ 
    & (1,0) \to (1,0) \\ 
    & (2,2) \to (0, 2)
\end{align}$$
로 변환된다. 따라서 우리가 구하는 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= 2\int_0^1 \int{u-1}^{2-2v} u^2 dvdu \\ 
    &= 2\int_0^1 u^2 (3-3u)du \\ 
    &= \frac{1}{2}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2022 항공대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

함수 $y(t)$의 라플라스변환을 $Y$라고 하고 양변을 라플라스변환하면
$$\begin{align}
    Y &= \frac{1}{(s+1)(s+2)}\left(\frac{2e^{-s}}{s} - 1\right) \\ 
    &= \left( \frac{1}{s} - \frac{2}{s+1} + \frac{1}{s+2}\right)e^{-s} - \left(\frac{1}{s+1} - \frac{1}{s+2}\right) 
\end{align}$$
이므로, 역변환하면
$$y(t)= (1-2e^{-(t-1)} + e^{-2(t-1)})u(t-1) - (e^{-t} - e^{-2t})$$
이므로 
$$y(2) = 1 - \frac{2}{e} + \frac{1}{e^4}$$
이다.

 

 

 

2022 항공대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

정적분과 급수의 관계로부터 주어진 극한값은 
$$\int_0^2 f\left(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{8}x\right)dx = \frac{8}{\pi}\int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{3}{8}\pi} f(x)dx$$
와 같다.

한편
$$I = \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{3}{8}\pi} f(x)dx$$
라 하면 $x= \frac{\pi}{2} - t$를 이용한 치환적분으로부터
$$\begin{align}
    I &= \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{3}{8}\pi} \frac{1}{1+\tan^4 x}dx \\ 
    &= \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{3}{8}\pi}\frac{1}{1+\cot^4 x}dx \\ 
    &= \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{3}{8}\pi} \frac{\tan^4 x}{\tan^4 x+1}dx \\ 
    &= I
\end{align}$$
이다. 따라서 치환 전의 $I$와 치환 후의 $I$를 더하면
$$2I = \int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{3}{8}\pi} \frac{1+\tan^4 x}{1+\tan^4 x}dx = \frac{\pi}{4}$$
이므로 양변을 $2$로 나누면
$$I = \frac{\pi}{8}$$
이다. 따라서 구하는 적분값은
$$\text{(Integral)} = \frac{8}{\pi}\times I = 1$$
이다.

 

 

 

2022 항공대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

$\text{curl}F$를 면적분하므로 주어진 적분은 선적분과 같다.
한편 선적분의 경로는 $C : x^2 + z^2 = 9$이고, 경로가 $xz$평면과 평행하게 놓여있으므로 
주어진 벡터장에서 $y$성분을 제거한 뒤 $y=1$을 대입한 벡터장
$$G(x,z) = (2xz + 5z, x^2)$$
에 그린정리를 적용한 값과 같다.
이때 그린정리를 적용한 이후 부호를 $-$로 맞춰줘야 함에 유의하자. (스토크스 정리로부터 유도됨을 생각해보자.)

따라서 주어진 선적분의 값은 그린정리로부터
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= -\iint_{x^2 + z^2 \leq 9} (2x - (2x + 5))dA \\ 
    &= \iint_{x^2 + z^2 \leq 9}5 dA \\ 
    &= 45\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2022 항공대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

주어진 적분은 
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_K \nabla f \circ (dx, -dy) \\
    &= \int_K \left(\frac{-2ydx + 2xdy}{x^2 + y^2}\right)
\end{align}$$
와 같다. 한편 벡터장 
$$F(x,y) = \frac{(-y, x)}{x^2 + y^2}$$
은 원점을 포함하고 반시계방향으로 한 번 도는 임의의 단순폐곡선 $C$에 대하여
$$\int_C F dr = 2\pi$$
이다. 따라서 
$$\int_K \left(\frac{-2ydx + 2xdy}{x^2 + y^2}\right) = 4\pi$$
이다. 경로 $K$ 또한 원점을 포함하는 반시계방향으로 한 번 도는 단순폐곡선이고
적분의 대상이 되는 벡터장은 $2F(x,y)$이기 때문이다.

 

 

 

2022 항공대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

양변을 $x$로 나누면 주어진 미분방정식은 아래와 같은 일계 선형 미분방정식이다.
$$y'+\frac{2}{x}y = \cosh x$$
따라서 공식으로부터
$$\begin{align}
    y &= \frac{1}{x^2} \left(\int x^2 \cosh x dx + C\right) \\ 
    &= \frac{1}{x^2} \left(x^2 \sinh x -2x\cosh x + 2\sinh x + C\right) \\ 
    &= \frac{1}{x^2} \left(x^2 \sinh x -2x\cosh x + 2\sinh x\right) \\ 
    &= \sinh x - \frac{2}{x}\cosh x + \frac{2}{x^2}\sinh x
\end{align}$$
이고
$$y(2) = \frac{e^2}{4} - \frac{5}{4e^2}$$
이므로 $a=-\frac{5}{4}, b=\frac{1}{4}$이다. 따라서 $a+b=-1$이다.

 

 

 

2022 항공대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

ㄱ. $x\to\infty$일 때의 극한값을 구해보면
$$\lim_{x\to\infty} f(x) = \frac{1}{\sqrt{e}}$$
이므로 거짓이다.

ㄴ. 로그미분법을 이용하여 계산해보면 참이다.

ㄷ. 몫의 미분법으로부터
$$\left(\frac{f'(x)}{f(x)}\right)' = \frac{f(x)f''(x) - (f'(x))^2}{(f(x))^2}$$
인데, $(f(x))^2 > 0$이므로, $f(x)f''(x) > (f'(x))^2$인지 판정하려면 함수 
$$g(x) = \frac{f'(x)}{f(x)}$$
에 대하여 $g'(x) > 0$인지 판정하면 된다. 그런데 ㄴ의 결과에서 $f(x)$로 양변을 나누면
$$g(x) = \frac{1}{2x+2} + \ln \frac{2x+1}{2x+2}$$
이고 미분한 뒤 식을 정리하면
$$g'(x) = \frac{2}{(2x+1)(2x+2)^2}$$
이므로 $x>0$에서 $g'(x) > 0$이다. 따라서 $f(x)f''(x) > (f'(x))^2$이므로 참이다.

ㄹ. ㄱ의 결과로부터 수평점근선이 $y=\frac{1}{\sqrt{e}}$이다. 
한편 부등식
$$\frac{1}{\sqrt{e}} < \frac{1}{\sqrt{2}}$$
가 성립하므로, 어느 순간부터는 함숫값이 $\frac{1}{\sqrt{2}}$보다 작아진다.
따라서 $\frac{1}{\sqrt{2}}$는 최솟값이 아니다.

 

 

 

2022 항공대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

적분의 선형성으로부터 주어진 복소선적분의 값은 두 복소선적분
$$\begin{align}
    & I = \int_C \bar{z}(z+1)dz \\ 
    & J = \int_C \frac{4z}{(z-1)(z+3)}dz
\end{align}$$
에 대하여 $I - J$와 같다. 둘을 각각 계산하자. 

$I$에 대한 계산)
주어진 적분경로 위의 모든 $z$에 대하여 $z\bar{z} = 4$가 성립한다. 따라서
$$\begin{align}
    I &= \int_C \bar{z}(z+1)dz \\ 
    &= \int_C \frac{4}{z}(z+1)dz \\ 
    &= 2\pi \times i \times \underset{z=0}{\mathrm{Res}}\left(\frac{4}{z}(z+1)\right) \\ 
    &= 8\pi i
\end{align}$$
이다.

$J$에 대한 계산)
적분경로 내부에서 특이점은 $z=1$뿐이다. 따라서 유수정리를 이용하면
$$\begin{align}
    J &= 2\pi\times i \times \underset{z=1}{\mathrm{Res}} \left(\frac{4z}{(z-1)(z+3)}\right) \\ 
    &= 2\pi i
\end{align}$$
이다. 

따라서 구하는 복소선적분의 값은 $I - J = 6\pi i$이다.

 

 

 

2022 항공대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

ㄱ. 대각합의 성질로부터 참이다.

ㄴ. 행렬 $A$는 $3\times 3$행렬이므로 부호가 $-$여야한다.

ㄷ. 참이다. ㄱ 에서 보인 성질과 $A, B, C$가 대칭행렬임을 이용하면
$$\begin{align}
    \text{tr}(ABC) &= \text{tr}((ABC)^T) \\ 
    &= \text{tr}(C^T B^T A^T) \\ 
    &= \text{tr}(CBA) \\ 
    &= \text{tr}((CB)A) \\ 
    &= \text{tr}(ACB)
\end{align}$$
이므로 참이다.

ㄹ. 합의 $n$승이 아니라 각각의 $n$승의 합이어야 하므로 거짓이다.

 

 

 

2022 항공대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

[풀이 1]
텔레스코핑을 적용하자. 부분분수 분해로부터
$$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$$
임을 이용하면
$$\begin{align}
    \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+1)(k+1)1} &= \sum_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{k(k+1)!} - \frac{1}{(k+1)(k+1)!} \right) \\ 
    &= \sum_{k=1}^\infty \left( \left(\frac{1}{k(k+1)k!} - \frac{1}{(k+1)(k+1)!} \right) \\ 
    &= \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{kk!} - \frac{1}{(k+1)(k+1)!} - \frac{1}{(k+1)k!}\right) \\ 
    &= \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{1}{kk!} - \frac{1}{(k+1)(k+1)!}\right) - \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(k+1)k!} \\ 
    &= 1 - \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(k+1)k!} \\ 
\end{align}$$
이다. 그런데 함수 $e^x$의 테일러전개로부터
$$\sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k!} = e^x - 1$$
이고 양변을 적분하면
$$\sum_{k=1}^\infty \frac{x^{k+1}}{(k+1)k!} = e^x - x - 1$$
이므로 $x=1$을 대입하면
$$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(k+1)k!} = e-2$$
이다. 따라서 구하는 급수의 값은 $1 - (e-2) = 3-e$이다.



[풀이 2]
정적분을 이용하자. 위와 같은 과정을 통해 주어진 급수가
$$\sum_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{k(k+1)!} - \frac{1}{(k+1)(k+1)!} \right)$$
와 같음을 보였다고 하자. 그러면 마찬가지로 함수 $e^x$의 테일러전개로부터
$$\sum_{k=1}^\infty \frac{x^{k+1}}{(k+1)!} = e^x - 1 - x$$
가 성립한다. 위 식의 양변을 각각 $x, x^2$으로 나누면
$$\begin{align}
    & \sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{(k+1)!} = \frac{e^x - 1 - x}{x} \\ 
    & \sum_{k=1}^\infty \frac{x^{k-1}}{(k+1)!} =  \frac{e^x - 1 - x}{x^2}
\end{align}$$
이므로, 각각 양변을 $0$부터 $1$까지 정적분하면
$$\begin{align}
    & \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(k+1)(k+1)!} = \int_0^1 \frac{e^x - 1 - x}{x}dx \\ 
    & \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+1)!} =  \int_0^1 \frac{e^x - 1 - x}{x^2}dx
\end{align}$$
이므로, 
$$\begin{align}
    &\sum_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{k(k+1)!} - \frac{1}{(k+1)(k+1)!} \right) \\
    &=  \int_0^1 \frac{e^x - 1 - x}{x^2}dx - \int_0^1 \frac{e^x - 1 - x}{x}dx
\end{align}$$
가 성립한다. 그런데, 부분적분으로부터
$$\int_0^1 \frac{e^x - 1 - x}{x^2}dx = 2-e + \int_0^1 \frac{e^x - 1}{x}dx $$
가 성립하므로 주어진 급수는
$$\begin{align}
    & \sum_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{k(k+1)!} - \frac{1}{(k+1)(k+1)!} \right) \\
    &=  \int_0^1 \frac{e^x - 1 - x}{x^2}dx - \int_0^1 \frac{e^x - 1 - x}{x}dx \\ 
    &= 2-e + \int_0^1 \frac{e^x - 1}{x}dx - \int_0^1 \frac{e^x - 1 - x}{x}dx \\ 
    &= 2-e + \int_0^1 1 dx \\ 
    &= 3-e
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2022 항공대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

행렬 $A$의 모든 성분의 합은 
$$A \begin{pmatrix}
1 \\
1 
\end{pmatrix}$$
의 모든 성분의 합과 같다. 한편
$$ \begin{pmatrix}
1 \\
1 
\end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}
-1 \\
2
\end{pmatrix} +  \begin{pmatrix}
2 \\
-1 
\end{pmatrix}$$
이므로
$$\begin{align}
    A \begin{pmatrix}
1 \\
1 
\end{pmatrix} &= A\left( \begin{pmatrix}
-1 \\
2
\end{pmatrix} +  \begin{pmatrix}
2 \\
-1 
\end{pmatrix}\right) \\ 
&= -\begin{pmatrix}
-1 \\
2
\end{pmatrix} + a\begin{pmatrix}
2 \\
-1 
\end{pmatrix} \\ 
&= \begin{pmatrix}
2a+1 \\
-a-2
\end{pmatrix}
\end{align}$$
에서 $A$의 모든 성분의 합은 $a-1$이다. 이 값이 $1$이려면 $a=2$여야 한다.

 

 

 

2022 항공대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

반복적분을 직접 계산하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^1 \int_0^{\frac{x}{\sqrt{3}}} \frac{x}{x^2 + y^2}(1-x)dydx \\ 
    &= \frac{\pi}{6}\int_0^1 (1-x)dx \\ 
    &= \frac{\pi}{12}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2022 항공대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

행렬 $A$의 고유치를
$$\lambda = \alpha, \beta, \gamma$$
라고 하면 행렬 $A^{-1}$의 고유치는
$$\lambda = \frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}, \frac{1}{\gamma}$$
이므로, 역행렬의 고유치의 합은
$$\begin{align}
    \frac{1}{\alpha}+ \frac{1}{\beta}+ \frac{1}{\gamma} &= \frac{\alpha\beta + \beta\gamma + \alpha\gamma}{\alpha\beta\gamma} \\ 
    &= \frac{C_{11} + C_{22} + C_{33}}{\det A} \\ 
    &= \frac{1}{3}
\end{align}$$
이다. (단, $C_{nm}$은 행렬 $A$의 $n$행 $m$열 성분에 대한 여인수이다.)

 

 

 

2022 항공대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

좌표평면에서 두 벡터 $(a, b), (c, d)$가 이루는 평행사변형의 넓이는
$$|(a, b, 0) \times (c, d, 0)| = \left|\det \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d 
\end{pmatrix}\right| $$
임을 생각하자. 그러면 구하는 값은 세 벡터
$$\begin{align}
    &v_1 = (x_1, y_1) \\ 
    &v_2 = (x_2, y_2) \\ 
    &v_3 = (x_3, y_3)
\end{align}$$
에 대하여 두 벡터 $v_1 - v_3, v_2 - v_3$이 이루는 평행사변형의 넓이와 같다.

한편 변환 $L(x)$을 살펴보면 $A^4 x$를 계산한 뒤 $b$만큼 평행이동을 해주는 변환이다.
그런데 우리는 변환된 벡터의 차 $v_1 - v_3, v_2 - v_3$를 생각하기 때문에, $b$는 서로 소거되어 없어질 것이다.

이를 정리하면 행렬 $A^4$에 두 벡터 $(1,1)-(3,4), (2,1)-(3,4)$가 곱해지면 각각
$v_1 - v_3, v_2 - v_3$가 된다는 말과 같다.

따라서 구하는 값은 두 벡터 $(1,1)-(3,4), (2,1)-(3,4)$가 이루는 평행사변형의 넓이에 
행렬 $A^4$의 행렬식을 곱한 값과 같다.

순서대로 계산해보면 $\det A^4 = 16$이고, 
두 벡터 $(-2, -3), (-1, -3)$이 이루는 평행사변형의 넓이는 $3$이므로 구하는 값은 $48$이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2022 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

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