[편입] 2024 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2024 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2024년 항공대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 항공대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

항공대의 경우 최근 2~3년 문제지만 공유하며, 년도가 바뀔 때마다 시험지를 입학처 홈페이지에서 삭제합니다.

따라서 시험지가 필요하신 분은 미리 입학처에서 다운로드를 받아두시기 바랍니다.

(항공대학교 입학처 - 편입학 - 지난기출문제)

 

2024년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설은 글 가장 아래에 정리되어 있습니다.

 

 

 

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

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2024 항공대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

유수정리를 이용하자. 주어진 적분경로 내부에 속한 특이점은 $z=1$뿐이고
$$f(z) = \frac{1}{(z-1)(z-3)}$$
라 하면
$$\underset{z=1}{\mathrm{Res}} f(z) = -\frac{1}{2}$$
이므로 주어진 복소선적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= 2\pi i \times \underset{z=1}{\mathrm{Res}} f(z) \\ 
    &= -\pi i
\end{align}$$
이다.

 

 

 

 

 

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

선택지의 벡터를 곱해서 영벡터가 되는 것을 찾으면 되며, 해보면 정답은 1번이다.

 

 

 

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

먼저
$$\begin{align}
    r'(t) &= (2\cos 2t, 4t, -2\sin 2t) \\ 
    r''(t) &= (-4\sin 2t, 4, -4\cos 2t)
\end{align}$$
이므로 $t=0$일 때의 곡률 $\kappa$는
$$\kappa=\frac{|r'(0)\times r''(0)|}{|r'(0)|^3} = \sqrt{2}$$
이므로 1번은 참이다.

또, 단위접선벡터 $T$를 구해보면
$$T(t) = \frac{r'(t)}{|r'(t)|} = \frac{1}{\sqrt{16t^2 + 4}}(2\cos 2t, 4t, -2\sin 2t)$$
이므로 2번도 참이다.

이제 3번을 보면 점 $(0,0,1)$에 대응되는 $t$의 값은 $t=0$이다. $B(t)$의 정의를 보면
$$B(t) = \frac{T'(t)}{|T'(t)|}$$
이므로 $B(0)$을 구하려면 $T'(0)$을 구해야 하므로 $T(t)$를 미분해야 하는데, 함수
$$\frac{1}{\sqrt{16t^2 + 4}}$$
는 우함수이므로 미분하고 $t=0$을 넣으면 $0$이 된다. 따라서 곱미분 후 $t=0$을 대입한다고 생각하면
어차피 앞의 항을 미분하고 $t=0$을 넣은 것은 $0$이 되므로 뒤의 항만 미분 후 $t=0$을 넣으면 된다.

즉, 
$$T'(0)=\frac{1}{2}(0,4,-4)$$
이므로
$$B'(0)=\frac{T'(0)}{|T'(0)|}=\frac{1}{\sqrt{2}}(0,1,-1)$$
이다. 따라서 3번도 참이므로 옳지 않은 것은 4번이다.

 

 

 

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

문제에서 제시되는 용어를 바꿔서 쓰면 아래로 오목 = 위로 볼록이고, 위로 오목 = 아래로 볼록이다.

즉, 문제의 조건을 전부 뽑아보면
$$\begin{align}
    f'(x) > 0 &\quad (x\neq 0) \\ 
    f''(x) > 0 &\quad (x>0) \\ 
    f''(x) < 0 &\quad (x<0)
\end{align}$$
이다. 이를 바탕으로 문제를 풀어보자.

ㄱ. 
직접 미분해보면
$$g'(x) =-2xf'(-x^2)$$
에서 $g'(x) = 0$이려면 $x=0$이거나 $f'(-x^2) = 0$이다.
그런데 $x\neq 0$이면 $f'(x) \neq 0$이므로 $g'(x) = 0$이 되려면 $x=0$이다. (참)

ㄴ. 
$f'(-x^2) > 0 (x\neq 0)$임을 이용하여 $g'(x)$의 증감표를 그려보면 다음과 같다.
(그림)
따라서 함수 $g(x)$는 $x=0$에서 극대이다. (거짓)

ㄷ. 
직접 두 번 미분해보면
$$g''(x) = -2f'(-x^2) + 4x^2 f''(-x^2)$$
이다. (참)

ㄹ. 
바로 위에서 얻은 결과를 이용하자. $g(x)$가 위로 오목 (= 아래로 볼록)하려면
$$g''(x) > 0$$
이어야 한다. 그리고 이는 곧
$$-2f'(-x^2) + 4x^2 f''(-x^2) > 0$$
이 항상 성립하냐는 질문과 같은데, 임의의 실수 $x$에 대하여
$$\begin{align}
    -2f'(-x^2) &\leq 0 \\ 
    4x^2 f''(-x^2) &\leq 0
\end{align}$$
이므로
$$g''(x) \leq 0$$
이다. (거짓)

 

 

 

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

 

 

 

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

소거법을 이용하자. 

가장 먼저 비제차항이 있는 2번과 3번을 보면 비제차항에 대한 특수해가
$0$이 아닌 상수함수로 주어질 것이므로, 절대로 극한값이 $0$이 될 수 없다.

따라서 남은 1번과 4번을 보면, 둘 다 이계 선형 미분방정식이고
보조방정식이 서로 다른 두 실근을 가지므로, 해가 지수함수의 형태를 띌 것이다.

이때 극한값이 $0$이 되려면 보조방정식이 음의 실근을 가져야 하고 이를 만족시키는 선지는
4번 뿐이다. (4번의 보조방정식은 $(r+1)(r+3) = 0$으로 두 음의 실근을 갖는다.)

 

 

 

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

주어진 행렬의 기약행사다리꼴은
$$\text{rref}(A) = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 
\end{pmatrix}$$
이므로 구하는 랭크는 $3$이다.

 

 

 

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

$(x-1)(3-x) = 1-(x-2)^2$이 성립하므로 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_1^3 \frac{1}{\sqrt{1-(x-2)^2}}dx \\ 
    &= \int_{-1}^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx \\ 
    &= 2\times \frac{\pi}{2} \\ 
    &= \pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

라플라스전개를 통해 계산해보면 구하는 행렬식의 값은 $2$이다.

 

 

 

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

원판 $D$의 내부를 $A$라 하면 구하는 질량중심의 $x$좌표인 $\bar{x}$는
$$\begin{align}
    \bar{x} &= \frac{\iint_A x\rho(x,y)dxdy}{\iint_A \rho(x,y)dxdy} \\ 
    &= \frac{\iint_A (2x+x^2)dxdy}{\iint_A (2+x)dxdy} \\
    &= \frac{\iint_A x^2 dxdy}{\iint_A 2dxdy} \\
    &= \frac{\frac{\pi}{4}}{\pi}\\ 
    &= \frac{1}{4}
\end{align}$$
이다. (계산 과정에서 대칭성을 적절히 이용한다.)

 

 

 

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

주어진 원 $C$의 내부를 $D$라 하면 그린정리로부터 주어진 선적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iint_D (y+4)dA \\ 
    &= 4\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

주어진 미분방정식은 일계 선형 미분방정식이므로 공식을 이용하면
$$\begin{align}
    y &= e^{-4x}\left(\int 4xe^{4x}dx + C\right) \\ 
    &= e^{-4x}\left(\left(x-\frac{1}{4}\right)e^{4x} + C\right) \\ 
    &= x-\frac{1}{4} + Ce^{-4x} \\ 
    &= x-\frac{1}{4} + \frac{1}{4}e^{-4x}
\end{align}$$
임을 얻으므로 
$$y\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{e^{-1}}{4}$$
이다.

 

 

 

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

역쌍곡함수의 정의인
$$\begin{align}
    \sinh^{-1}x &= \ln(x+\sqrt{x^2 + 1}) \\ 
    \cosh^{-1}x &= \ln(x+\sqrt{x^2 - 1})
\end{align}$$
을 이용하자. 구하는 극한값에서 $f(x)=t$로 치환하면 $x\to\infty$일 때 $t\to\infty$이므로
$$\begin{align}
    \text{(Limit)} &= \lim_{t\to\infty} \frac{g(t)}{f(t)} \\ 
    &= \lim_{t\to\infty} \frac{\ln(t+\sqrt{t^2 - 1})}{\ln(t+\sqrt{t^2 + 1})} \\ 
    &= 1
\end{align}$$
이다. 

 

 

 

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

먼저 벡터장 
$$F(x,y,z)=(5x,3y,z)$$
를 생각하자. 구면 $S$의 법선벡터가 
$$n=(x,y,z)$$
이고
$$F\circ n = 5x^2 + 3y^2 + z^2$$
이므로 주어진 스칼라장에 대한 면적분은 벡터장 $F$에 대한 면적분으로 바꿀 수 있고
발산정리를 이용하면 구면 $S$의 내부를 $E$라 했을 때 구하는 면적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iiint_E \text{div}F dV \\ 
    &= \iiint_E 9 dV \\ 
    &= 9\times \frac{4}{3}\pi \\ 
    &= 12\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

행렬 $A$의 세 고유치를 $a, b, c$라 하자.
이 세 고유치를 대각성분으로 갖는 대각행렬 $D$를 생각하면
$$X^{-1}A^3X = D^3$$
이 성립한다. 따라서 행렬 $D^3$의 모든 성분의 합은
$$a^3 + b^3 + c^3$$
와 같다.

한편 행렬 $A$의 고유특성다항식을 구해보면
$$\lambda^3 - 7\lambda^2 +14\lambda - 8 = 0$$
에서
$$\lambda = 1,2,4$$
이므로 구하는 값은
$$1^3 + 2^3 + 4^3 = 73$$
이다.

 

 

 

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

ㄱ. 전치는 덧셈에 대해 분배할 수 있으므로 참이다.

ㄴ. 만약 $A=A^T$라면 $C$의 역행렬 자체가 존재하지 않으므로 거짓이다.

ㄷ. 좌변을 구해보면
$$\text{tr}(B) = 2\text{tr}(A)$$
가 성립하므로 주어진 문제는
$$\text{tr}(A) \geq 0$$
이냐는 물음과 같은데, 항상 성립해야할 이유가 없으므로 거짓이다.

ㄹ. 
$$\text{tr}(C) = \text{tr}(A) - \text{tr}(A) = 0$$
이므로 참이다.



이상에서 옳은 것의 개수는 2이다.

 

 

 

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

구하는 급수에 $2$를 곱하고 나눠주면 구하는 급수의 값은
$$2\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n+1}(n+1)}$$
와 같다. 이때 $n+1=m$으로 치환하면
$$2\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m2^m} = 2\times \ln 2$$
가 구하는 급수의 값이 된다.

 

 

 

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

두 도형의 대칭성을 생각했을 때 제 $1$사분면의 도형의 넓이를 구한 후 두 배 하면
우리가 구하는 도형의 넓이와 같다.

$\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$임을 이용하여 교각을 구하면
$$\sin\theta = 2\sin\theta\cos\theta$$
에서 
$$\cos\theta=\frac{1}{2}\quad\Longrightarrow\quad \theta=\frac{\pi}{3}$$
이다.

따라서 구하는 도형의 넓이 $S$는
$$\begin{align}
    S &= 2\times\frac{1}{2}\left(\int_0^{\frac{\pi}{3}} \sin^2 \theta d\theta + \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2(2\theta)d\theta\right) \\ 
    &= \frac{\pi}{4} - \frac{3\sqrt{3}}{16}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

주어진 영역 $S$는 비스듬히 잘린 원기둥이므로 문제에서 구하는 면적분은

i) 원기둥의 밑면 $x=0$에서의 면적분 $I_1$
ii) 원기둥의 윗면 $x=2-z$에서의 면적분 $I_2$
iii) 원기둥의 옆면에서의 면적분 $I_3$

이다. 이제 순서대로 구해보자.

i) 밑면
$x=0$이므로 대입하면 0을 적분하게 된다. 따라서
$$I_1 = 0$$
이다.

ii) 윗면
$x=2-z$이므로 면적소는
$$dS = \sqrt{2}dydz$$
이고, 적분영역은
$$D : y^2 + z^2 \leq 4$$
이므로
$$\begin{align}
    I_2 &= \sqrt{2}\iint_D z(2-z)dydz \\ 
    &= -\frac{\sqrt{2}}{2} \iint_D (y^2 + z^2)dydz \\ 
    &= -\frac{\sqrt{2}}{2} \int_0^{2\pi} \int_0^2 r^3 drd\theta \\ 
    &= -4\sqrt{2}\pi
\end{align}$$
이다.

iii) 옆면
옆면에 해당하는 부분을 매개화하자. 먼저 $y^2+z^2=4$이므로
$$\begin{cases}
    y = 2\cos t \\
    z= 2\sin t
\end{cases}$$
로 매개화 할 수 있다. 이제 높이 $x$는 $0\leq x\leq 2-z$임을 고려하면
$$x=s\quad (0\leq s\leq 2-2\sin t)$$
라고 쓸 수 있다. 즉, 원기둥의 옆면을
$$\begin{align}
    r(s,t) &= (s, 2\cos t,2\sin t)\\
    &(0\leq s\leq 2-2\sin t, 0\leq t\leq 2\pi)
\end{align}$$
라고 쓸 수 있고,
$$|r_s \times r_t| = 2$$
이므로
$$\begin{align}
    I_3 &= \int_0^{2\pi}\int_0^{2-2\sin t}4s \sin tdsdt \\ 
    &= 2\int_0^{2\pi} (2-2\sin t)^2\sin tdt \\ 
    &= -16\pi
\end{align}$$
이다.



이상에서 주어진 면적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= I_1+ I_2 + I_3 \\ 
    &= -4(4+\sqrt{2})\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

네 벡터
$$v_1= \begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 
\end{pmatrix}, v_2 = \begin{pmatrix}
x_4 \\
x_5 \\
x_6 
\end{pmatrix}, b_1 = \begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0 
\end{pmatrix}, b_2 = \begin{pmatrix}
2 \\
3 \\
4 
\end{pmatrix}$$
와 행렬 
$$C = \begin{pmatrix}
3 & 1 & 1 \\
1 & 3 & 3 \\
2 & 3 & 2 
\end{pmatrix}$$
에 대하여, 주어진 방정식을 블록행렬처럼
$$\begin{pmatrix}
I & B \\
A & C 
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
v_1 \\
v_2 
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2 
\end{pmatrix}$$
와 같이 쓸 수 있다. 그러면 행렬곱이 이루어지는 과정을 생각해보면
$$\begin{align}
    Iv_1 + Bv_2 &= b_1 \\ 
    Av_1 + Cv_2 &= b_2
\end{align}$$
가 성립함을 알 수 있다. 이제 첫 식을 다시 쓰면
$$Bv_2 = -v_1$$
이 성립하고, 양변의 왼쪽에 $A$를 곱한 뒤 $AB=I$임을 이용하면
$$v_2 = -Av_1$$
이 성립한다.

한편 두번째 식을 위에서 얻은 $v_2 = -Av_1$을 적용하여 다시 써보면
$$Cv_2 - v_2 = \begin{pmatrix}
2 \\
3 \\
4 
\end{pmatrix}$$
에서 좌변을 $v_2$로 묶으면 $(C-I)v_2$이므로
$$\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 3 \\
2 & 3 & 1 
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x_4 \\
x_5 \\
x_6 
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 \\
3 \\
4 
\end{pmatrix}$$
이 성립한다. 이제 직접 벡터를 곱한 뒤 첫번째 원소를 보면
$$2x_4 + x_5 + x_6 = 2$$
이다.

 

 

 

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

$L$의 표준행렬의 모든 성분의 합은
$$L\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1 
\end{pmatrix}$$
의 모든 성분의 합과 같다.

따라서 세 벡터 $u_1, u_2, u_3$를 일차결합하여 
$$a\begin{pmatrix}
2 \\
0 \\
1 
\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
1 
\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}
-1 \\
0 \\
2 
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1 
\end{pmatrix}$$
이 되도록 하는 세 실수 $a, b, c$의 값을 구하자.

이때 두 번째 성분을 비교해보면 $b=1$임을 먼저 얻을 수 있고, 나머지 두 성분을 비교하면
$$\begin{cases}
2a - c = 1 \\
a + 2c = 0
\end{cases}$$
라는 연립방정식을 얻으며, 이를 풀면
$$a=\frac{2}{5}, c=-\frac{1}{5}$$
를 얻는다. 

따라서 
$$\begin{align}
    L\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1 
\end{pmatrix} &= \frac{2}{5} L(u_1) + L(u_2) -\frac{1}{5}L(u_3) \\ 
&= \frac{2}{5}\begin{pmatrix}
3 \\
2 
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
2 \\
3 
\end{pmatrix} - \frac{1}{5}\begin{pmatrix}
1 \\
-1 
\end{pmatrix} \\ 
&= \begin{pmatrix}
3 \\
4 
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이므로, 구하는 모든 성분의 합은 $7$이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2024 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

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