[편입] 2025 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2025 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2025년 항공대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 항공대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

항공대의 경우 최근 2~3년 문제지만 공유하며, 년도가 바뀔 때마다 시험지를 입학처 홈페이지에서 삭제합니다.

따라서 시험지가 필요하신 분은 미리 입학처에서 다운로드를 받아두시기 바랍니다.

(항공대학교 입학처 - 편입학 - 지난기출문제)

 

2025년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설은 글 가장 아래에 정리되어 있습니다.

 

 

 

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

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2025 항공대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

주어진 미분방정식을 상수계수 미분방정식으로 변환하면
$$y''-3y'+2y=0, y(0)=1, y'(0)=3$$
이 되고, 구하는 값은 $y(\ln 2)$와 같다.

함수 $y$의 라플라스 변환을 $Y$라 하고 양변을 라플라스 변환하면
$$\begin{align}
    Y &= \frac{s+3-3}{(s-1)(s-2)} \\ 
    &= \frac{2}{s-2} - \frac{1}{s-1}
\end{align}$$
이므로 역변환하면
$$y = 2e^{2t} - e^t$$
이다. 따라서
$$y(\ln 2) = 6$$
이다.

 

 

 

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

주어진 미분방정식은
$$\frac{y'}{y^2} = 2x$$
와 같이 변수분리가 가능하다. 양변을 적분하면
$$-\frac{1}{y} = x^2 + C$$
에서 $y(1)=\frac{1}{2}$이므로 $C=-3$이다.

식을 정리하여 다시 쓰면
$$y(x) = \frac{1}{3-x^2}$$
이므로
$$y(3) = -\frac{1}{6}$$
이다.

 

 

 

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

고유특성다항식이 중근을 갖는 경우를 고르면 되고, 해보면 3번의 경우
$$\lambda^2 - 6\lambda + 9 = (\lambda-3)^2$$
이 되어 대각화가 불가능하다.

 

 

 

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

계산을 통해 구하는 행렬식의 값은 $-6$임을 알 수 있다.

 

 

 

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

영역 $D$의 내부와 경계로 나누어 계산하자.

i) 영역의 내부
임계점을 찾기 위해 편도함수를 구해보면
$$\begin{align}
    f_x &= 16x \\ 
    f_y &= 4
\end{align}$$
에서 임계점이 존재하지 않는다.



ii) 영역의 경계
$$4x^2 + y^2 = 16$$
이므로 식을 변형하면
$$8x^2 = 32 - 2y^2$$
이고, 이때 $y$의 범위는 $-4\leq y\leq 4$이다. 

따라서
$$\begin{align}
    f(x,y) &= -2y^2 + 4y+32 \\ 
    &= -2(y-1)^2 + 34 \quad (-4\leq y\leq 4)
\end{align}$$
이고 $y=1$일 때 최댓값 $34$, $y=-4$일 때 최솟값 $-16$을 가지므로
$$\frac{m}{M} = -\frac{8}{17}$$
이다.

 

 

 

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

ㄱ.
$$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\ln n} =\infty$$
이므로, 주어진 일반항의 극한도 $\infty$가 된다. 따라서 수렴하지 않는다.

ㄴ. 
비율판정법으로부터
$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3n+2}{4n+3}$$
이므로
$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3}{4} < 1$$
이 되어 수렴한다.

ㄷ.
적분판정법으로부터 발산한다.



이상에서 수렴하는 급수의 개수는 1이다.

 

 

 

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

분자, 분모를 $\cos x$로 나눈 뒤 테일러전개하면 주어진 극한은
$$\begin{align}
    \text{(Limit)} &= \lim_{x\to 0} \frac{x-\tan x}{2x^2\tan x} \\ 
    &\approx \lim_{x\to 0} \frac{x-\left(x+\frac{1}{3}x^2\right)}{2x^3} \\ 
    &= -\frac{1}{6}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

주어진 미분방정식은 완전미분방정식이다. 따라서 $dx, dy$에 곱해진 항들을
각각의 변수로 적분한 뒤 합집합 한
$$x^3y + 2xy^3 = C$$
를 해로 갖는다. 따라서
$$a=1, b=2, m+n+v+w=8$$
이므로 구하는 값은 $4$이다.

 

 

 

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

이 포스팅에서는 미분방정식을 변형하는 풀이와 변형하지 않는 풀이를 모두 소개한다.



[풀이 1]
주어진 미분방정식에 $t=0$을 대입하면 $y'(0)=0$임을 얻는다.
이제 주어진 미분방정식의 양변을 미분하면
$$y''+y'-6y=0, y(0)=5, y'(0)=0$$
이 되므로, 함수 $y(t)$의 라플라스 변환을 $Y$라 하고 양변을 라플라스 변환하면
$$\begin{align}
    Y &= \frac{5s+5}{(s+3)(s-2)} \\ 
    &= \frac{2}{s+3} + \frac{3}{s-2}
\end{align}$$
에서 역변환하면
$$y = 2e^{-3t} + 3e^{2t}$$
이다. 따라서 구하는 값은
$$y(\ln 2) = \frac{1}{4} + 12 = \frac{49}{4}$$
이다.



[풀이 2]
함수 $y(t)$의 라플라스 변환을 $Y$라 하고 양변을 라플라스 변환하면
라플라스 변환의 성질로부터
$$sY - 5 + Y - \frac{6Y}{s} = \frac{5}{s}$$
에서 식을 $Y$에 대해 풀면
$$\begin{align}
    Y &= \frac{5s+5}{s^2 + s-6} \\ 
    &= \frac{2}{s+3} + \frac{3}{s-2} \\ 
\end{align}$$
에서 역변환하면 위와 동일한 결론을 얻게 되어 
$$y(\ln 2) = \frac{49}{4}$$
가 된다.

 

 

 

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

ㄱ. 
대각행렬 $B$를 $A$의 오른쪽에 곱하면 행렬 $A$의 각 열을 $B$의 대각성분만큼 스칼라배 하는 것이고
왼쪽에 곱하면 $A$의 각 행을 $B$의 대각성분만큼 스칼라배 하는 것이 된다.
따라서 같지 않을 것임을 유추할 수 있다. 구체적인 반례는 두 행렬 $A, B$를
$$A = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0 
\end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 2 
\end{pmatrix}$$
라 하면
$$AB = \begin{pmatrix}
0 & 2 \\
1 & 0 
\end{pmatrix}, BA = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
2 & 0 
\end{pmatrix}$$
이므로 거짓이다.

ㄴ. 
대칭행렬의 성질로부터
$$(AA^T)^T = (A^T)^T A^T = AA^T$$
가 되어 참이다.

ㄷ. 
반례는 다음과 같다 : 
$$A = I, B=-2I$$
이면
$$\text{tr}(A) = 2\geq \text{tr}(B) = -4$$
이지만
$$A^2 = I, B^2 = 4I$$
이므로
$$\text{tr}(A^2) = 2\leq \text{tr}(B^2) = 8$$
이 되어 거짓이다.

ㄹ.
반례는 다음과 같다 :
$$A = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 
\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -2 
\end{pmatrix}$$
이면
$$\det A = -1 \geq \det B = -2$$
이지만
$$\det A^2 = 1 \leq \det B^2 = 4$$
이므로 거짓이다.



이상에서 옳은 것의 개수는 1이다.

 

 

 

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

구하는 값을 보면 $a, b$는 일반해에 관련되어 있고, $A, B$는 특수해에 관련되어있다.

주어진 미분방정식의 보조방정식은
$$r^2 - r-6 = (r-3)(r+2) = 0$$
이므로 $a=-2, b=3$이다. (둘이 순서가 바뀌더라도 상관없다.)

주어진 미분방정식의 특수해 $y_p$는 역연산자를 이용하면
$$\begin{align}
    y_p &= \frac{1}{(D-3)(D+2)}\left\{xe^x\right\} \\ 
    &= e^x \frac{1}{(D-2)(D+3)}\left\{x\right\} \\
    &= e^x \frac{1}{D^2 +D - 6} \left\{x\right\} \\ 
    &= -\frac{e^x}{6} \frac{1}{1-\frac{1}{6}D - \frac{1}{6}D^2} \left\{x\right\} \\ 
    &\approx -\frac{e^x}{6}\left(1 +\frac{D}{6}\right) \left\{x\right\} \\ 
    &= -\frac{e^x}{6}\left(x + \frac{1}{6}\right) \\ 
    &= -\frac{xe^x}{6} - \frac{1}{36}e^x
\end{align}$$
이므로
$$A = -\frac{1}{6}, B = -\frac{1}{36}$$
에서 구하는 값은 $-36$이다.

 

 

 

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

분모를 완전제곱식으로 고치면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{4-(x+1)^2}}dx \\ 
    &= \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2\sin t-1}{2\cos t}\times 2\cos tdt \\ 
    &= \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} (2\sin t - 1)dt \\ 
    &= \sqrt{3}-\frac{\pi}{3}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

주어진 두 함수를 미분해보면
$$\begin{align}
    f'(x) &= \frac{g'(x)}{\sqrt{1+g(x)^3}} \\ 
    g'(x) &= -\sin x\sqrt{1+\sin(\cos x)+\cos(\cos x)}
\end{align}$$
이고
$$g\left(\frac{\pi}{2}\right)=0, g'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\sqrt{2}$$
이므로
$$f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\sqrt{2}$$
이다.

 

 

 

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

주어진 두 극곡선의 교각 중 가장 작은 양수 $\theta$를 구해보면
$$\cos 2\theta = \frac{1}{2}$$
에서
$$\theta = \frac{\pi}{6}$$
이다.

이제 구하는 영역의 넓이는 
$$\frac{\pi}{6}\leq \theta\leq \frac{\pi}{4}$$
에서 주어진 두 극곡선으로 둘러싸인 넓이의 두배이므로 구하는 넓이 $S$는
$$\begin{align}
    S &= 2\times \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \left(\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \cos^2 (2\theta)\right)d\theta \\ 
    &= \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{1}{4}-\frac{1+\cos 4\theta}{2}\right)d\theta \\
    &= -\frac{\pi}{48} - \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\cos 4\theta d\theta \\ 
    &= \frac{3\sqrt{3} - \pi}{48}
\end{align}$$
이다. 눈치가 빠르다면 세 번째 등호까지만 계산했을 때 선택지를 보면
$\pi$가 들어있는 항이 일치하는 선지는 4번 뿐이므로 답을 바로 고를 수 있다.

 

 

 

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

문제에서 주어진 포물면과 평면으로 둘러싸인 영역을 $E$라 하자.
영역 $E$는 닫힌 영역이므로 발산정리를 이용할 수 있고, 
$$\text{div}F = 2z$$
이므로 발산정리로부터 구하는 유량은
$$\begin{align}
    \text{(Flux)} &= \iiint_{z}^{3-x^2-y^2} 2z dzdxdy \\ 
    &= \iint_{x^2 + y^2 \leq 1} ((3-x^2-y^2)^2 - 4) dxdy \\ 
    &= \int_0^{2\pi} \int_0^1 r((3-r^2)^2 - 4)drd\theta \\ 
    &= 2\pi\times \frac{1}{2}\int_2^3 (t^2 -4)dt\quad (3-r^2 = t) \\ 
    &= \frac{7}{3}\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

두 벡터장
$$\begin{align}
    P &= \left(\frac{x^5 + x^3y^2}{x^2 + y^2}, \frac{x^2 \cos y + y^2\cos y}{x^2 +y^2}\right) \\ 
    Q &= \left(-\frac{y}{x^2 + y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2}\right)
\end{align}$$
을 생각하면 주어진 벡터장 $F$는
$$F = P+Q$$
를 만족시킨다. 이때 벡터장 $P$의 식을 약분하여 다시 쓰면
$$P = (x^3, \cos y)$$
이므로 $P$에 대한 선적분은 $0$이다.

또, $Q$에 대한 선적분은 원점을 중심으로 한 바퀴를 회전했으므로 회전각인 $2\pi$이다.

따라서 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_C P + \int_C Q \\ 
    &= 0 + 2\pi \\ 
    &= 2\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

문제에서 주어진 벡터 $\rm{x}$를
$$\rm{x} = \begin{pmatrix}
x \\
y 
\end{pmatrix}$$
라 하자. 그러면
$$\begin{align}
    \rm{x}^{\it{T}}{\it{A}}\rm{x} &= \begin{pmatrix}
x & y 
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2 & 5 \\
-1 & 8 
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y 
\end{pmatrix} \\ 
&= \begin{pmatrix}
x & y 
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2x+5y \\
-x+8y 
\end{pmatrix} \\ 
&= 2x^2 + 4xy + 8y^2
\end{align}$$
이고
$${\rm{x}}^{\it{T}}{\it{b}} =  \begin{pmatrix}
x & y 
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
-2 \\
4 
\end{pmatrix} = -2x+4y$$
이다. 따라서 함수
$$\begin{align}
    f(x,y) &= \rm{x}^{\it{T}}{\it{A}}\rm{x} + {\rm{x}}^{\it{T}}{\it{b}} \\ 
    &= 2x^2 +4xy + 8y^2 - 2x+4y
\end{align}$$
가 최소가 되도록 하는 $x, y$에 대하여 $x+y$의 값을 구하면 된다.

임계점을 구하기 위해 편미분하면
$$\begin{align}
    f_x &= 4x+4y-2 = 0\\
    f_y &= 4x+16y+4=0
\end{align}$$
에서 함수 $f(x, y)$가 최소가 되도록 하는 점 $(x, y)$는 임계점이므로 위의 두 식을 만족시킨다.
한편 구하는 값을 보면 $x+y$를 구하면 되므로, 연립하지 말고 첫 식을 정리하면
$$x+y=\frac{1}{2}$$
임을 얻는다.

 

 

 

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

주어진 두 벡터를 일차결합하여
$$\begin{pmatrix}
0 \\
3 \\
-1 
\end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
-2 
\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
-3 
\end{pmatrix}$$
로 쓸 수 있음을 이용하면
$$\begin{align}
    A^3 \begin{pmatrix}
0 \\
3 \\
-1 
\end{pmatrix} &= A^3 \left(2\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
-2 
\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
-3 
\end{pmatrix}\right) \\ 
&= 2\times 2^3 \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
-2 
\end{pmatrix} - 3\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
-3 
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이므로 구하는 모든 성분의 합은
$$16 - 3\times 0 = 16$$
이다.

 

 

 

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

적분순서를 변경하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\sin x} \cos x\sqrt{3+\cos^2 x}dydx \\ 
    &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x\cos x\sqrt{3+\cos^2 x}dx \\ 
    &= \frac{1}{2}\int_3^4 \sqrt{t}dt \quad (3+\cos^2 x= t) \\ 
    &= \frac{8}{3} - \sqrt{3}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2025 항공대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

주어진 함수 $f$의 그래디언트는
$$\nabla f = (2xe^{x^2 - y^2}, -2ye^{x^2 - y^2}, 3)$$
이므로, 점 $\rm{P}$에서 함수 $f$의 경도벡터는
$$\nabla f(P) = (0, 0, 3)$$
이고, 점 $\rm{P}$에서의 최대변화율은 경도벡터의 크기와 같으므로
$$M = 3\quad\Longrightarrow\quad \frac{M}{3} = 1$$
이다.

이때, 어차피 방향도함수를 논하고 있고, 구하는 값을 보면 단위벡터가 되므로 벡터 $v$를
단위벡터로 가정해도 된다. 즉,
$$v=  (x,y,z)$$
라 하면
$$x^2 + y^2 + z^2 = 1$$
을 만족시킨다.

이제 점 $\rm{P}$에서 단위벡터 $v$방향으로의 방향미분값이 $1$이므로
$$(0,0,3)\circ v = 1$$
에서 
$$z = \frac{1}{3}$$
임을 얻는다.

따라서 벡터 $v$의 끝점이 만드는 도형은
$$\begin{cases}
    x^2 +y^2 + z^2 = 1 \\ 
    z= \frac{1}{3}
\end{cases}$$
의 교선이므로, 둘을 연립하면
$$x^2 + y^2 = \frac{8}{9},\quad z=\frac{1}{3}$$
이다. 이는 평면 $z=\frac{1}{3}$위에 놓여있는 반지름의 길이가 
$$r = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$
인 원이므로, 구하는 도형의 둘레는 원의 둘레인
$$2\pi r = \frac{4\sqrt{2}}{3}\pi$$
이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2025 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

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