[편입] 2024 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2024 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2024년 항공대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 항공대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

항공대의 경우 최근 2~3년 문제지만 공유하며, 년도가 바뀔 때마다 시험지를 입학처 홈페이지에서 삭제합니다.

따라서 시험지가 필요하신 분은 미리 입학처에서 다운로드를 받아두시기 바랍니다.

(항공대학교 입학처 - 편입학 - 지난기출문제)

 

2024년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설은 글 가장 아래에 정리되어 있습니다.

 

 

 

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

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2024 항공대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

유수정리를 이용하자. 주어진 적분경로 내부에 속한 특이점은 $z=1$뿐이고
$$f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-3)}$$
라 하면
$$\underset{z=1}{\mathrm{Res}}f(z)=-\frac{1}{2}$$
이므로 주어진 복소선적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =2\pi i\times \underset{z=1}{\mathrm{Res}}f(z)\\ & =-\pi i\end{array}$$
이다.

 

 

 

 

 

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

선택지의 벡터를 곱해서 영벡터가 되는 것을 찾으면 되며, 해보면 정답은 1번이다.

 

 

 

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

먼저
$$\begin{array}{rl}{r}^{\prime }(t)& =(2\cos 2t,4t,-2\sin 2t)\\ r^{″}(t)& =(-4\sin 2t,4,-4\cos 2t)\end{array}$$
이므로 $t=0$일 때의 곡률 $\kappa$는
$$\kappa =\frac{|r^{\prime }(0)\times r^{″}(0)|}{|r^{\prime }(0){|}^3}=\sqrt{2}$$
이므로 1번은 참이다.

또, 단위접선벡터 $T$를 구해보면
$$T(t)=\frac{r^{\prime }(t)}{|r^{\prime }(t)|}=\frac{1}{\sqrt{16t^2+4}}(2\cos 2t,4t,-2\sin 2t)$$
이므로 2번도 참이다.

이제 3번을 보면 점 $(0,0,1)$에 대응되는 $t$의 값은 $t=0$이다. $B(t)$의 정의를 보면
$$B(t)=\frac{T^{\prime }(t)}{|T^{\prime }(t)|}$$
이므로 $B(0)$을 구하려면 $T^{\prime }(0)$을 구해야 하므로 $T(t)$를 미분해야 하는데, 함수
$$\frac{1}{\sqrt{16t^2+4}}$$
는 우함수이므로 미분하고 $t=0$을 넣으면 $0$이 된다. 따라서 곱미분 후 $t=0$을 대입한다고 생각하면
어차피 앞의 항을 미분하고 $t=0$을 넣은 것은 $0$이 되므로 뒤의 항만 미분 후 $t=0$을 넣으면 된다.

즉, 
$$T^{\prime }(0)=\frac{1}{2}(0,4,-4)$$
이므로
$$B^{\prime }(0)=\frac{T^{\prime }(0)}{|T^{\prime }(0)|}=\frac{1}{\sqrt{2}}(0,1,-1)$$
이다. 따라서 3번도 참이므로 옳지 않은 것은 4번이다.

 

 

 

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

문제에서 제시되는 용어를 바꿔서 쓰면 아래로 오목 = 위로 볼록이고, 위로 오목 = 아래로 볼록이다.

즉, 문제의 조건을 전부 뽑아보면
$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)>0& (x\ne 0)\\ f^{″}(x)>0& (x>0)\\ f^{″}(x)<0& (x<0)\end{array}$$
이다. 이를 바탕으로 문제를 풀어보자.

ㄱ. 
직접 미분해보면
$$g^{\prime }(x)=-2x{f}^{\prime }(-x^2)$$
에서 $g^{\prime }(x)=0$이려면 $x=0$이거나 $f^{\prime }(-x^2)=0$이다.
그런데 $x\ne 0$이면 $f^{\prime }(x)\ne 0$이므로 $g^{\prime }(x)=0$이 되려면 $x=0$이다. (참)

ㄴ. 
$f^{\prime }(-x^2)>0(x\ne 0)$임을 이용하여 $g^{\prime }(x)$의 증감표를 그려보면 다음과 같다.
(그림)
따라서 함수 $g(x)$는 $x=0$에서 극대이다. (거짓)

ㄷ. 
직접 두 번 미분해보면
$$g^{″}(x)=-2f^{\prime }(-x^2)+4x^2{f}^{″}(-x^2)$$
이다. (참)

ㄹ. 
바로 위에서 얻은 결과를 이용하자. $g(x)$가 위로 오목 (= 아래로 볼록)하려면
$$g^{″}(x)>0$$
이어야 한다. 그리고 이는 곧
$$-2f^{\prime }(-x^2)+4x^2{f}^{″}(-x^2)>0$$
이 항상 성립하냐는 질문과 같은데, 임의의 실수 $x$에 대하여
$$\begin{array}{rl}-2f^{\prime }(-x^2)& \le 0\\ 4x^2{f}^{″}(-x^2)& \le 0\end{array}$$
이므로
$$g^{″}(x)\le 0$$
이다. (거짓)

 

 

 

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

 

 

 

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

소거법을 이용하자. 

가장 먼저 비제차항이 있는 2번과 3번을 보면 비제차항에 대한 특수해가
$0$이 아닌 상수함수로 주어질 것이므로, 절대로 극한값이 $0$이 될 수 없다.

따라서 남은 1번과 4번을 보면, 둘 다 이계 선형 미분방정식이고
보조방정식이 서로 다른 두 실근을 가지므로, 해가 지수함수의 형태를 띌 것이다.

이때 극한값이 $0$이 되려면 보조방정식이 음의 실근을 가져야 하고 이를 만족시키는 선지는
4번 뿐이다. (4번의 보조방정식은 $(r+1)(r+3)=0$으로 두 음의 실근을 갖는다.)

 

 

 

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

주어진 행렬의 기약행사다리꼴은
$$\text{rref}(A)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& -1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$
이므로 구하는 랭크는 $3$이다.

 

 

 

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

$(x-1)(3-x)=1-(x-2{)}^2$이 성립하므로 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_1^3\frac{1}{\sqrt{1-(x-2{)}^2}}dx\\ & ={\int }_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx\\ & =2\times \frac{\pi }{2}\\ & =\pi \end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

라플라스전개를 통해 계산해보면 구하는 행렬식의 값은 $2$이다.

 

 

 

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

원판 $D$의 내부를 $A$라 하면 구하는 질량중심의 $x$좌표인 $\overline{x}$는
$$\begin{array}{rl}\overline{x}& =\frac{{\iint }_{A}x\rho (x,y)dxdy}{{\iint }_A\rho (x,y)dxdy}\\ & =\frac{{\iint }_A(2x+x^2)dxdy}{{\iint }_A(2+x)dxdy}\\ & =\frac{{\iint }_A{x}^{2}dxdy}{{\iint }_{A}2dxdy}\\ & =\frac{\frac{\pi }{4}}{\pi }\\ & =\frac{1}{4}\end{array}$$
이다. (계산 과정에서 대칭성을 적절히 이용한다.)

 

 

 

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

주어진 원 $C$의 내부를 $D$라 하면 그린정리로부터 주어진 선적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\iint }_D(y+4)dA\\ & =4\pi \end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

주어진 미분방정식은 일계 선형 미분방정식이므로 공식을 이용하면
$$\begin{array}{rl}y& =e^{-4x}(\int 4x{e}^{4x}dx+C)\\ & =e^{-4x}((x-\frac{1}{4})e^{4x}+C)\\ & =x-\frac{1}{4}+C{e}^{-4x}\\ & =x-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}{e}^{-4x}\end{array}$$
임을 얻으므로 
$$y\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{e^{-1}}{4}$$
이다.

 

 

 

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

역쌍곡함수의 정의인
$$\begin{array}{rl}{\sinh }^{-1}x& =\ln (x+\sqrt{x^2+1})\\ {\cosh }^{-1}x& =\ln (x+\sqrt{x^2-1})\end{array}$$
을 이용하자. 구하는 극한값에서 $f(x)=t$로 치환하면 $x\to \mathrm{\infty }$일 때 $t\to \mathrm{\infty }$이므로
$$\begin{array}{rl}\text{(Limit)}& =\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{g(t)}{f(t)}\\ & =\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln (t+\sqrt{t^2-1})}{\ln (t+\sqrt{t^2+1})}\\ & =1\end{array}$$
이다. 

 

 

 

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

먼저 벡터장 
$$F(x,y,z)=(5x,3y,z)$$
를 생각하자. 구면 $S$의 법선벡터가 
$$n=(x,y,z)$$
이고
$$F\circ n=5x^2+3y^2+z^2$$
이므로 주어진 스칼라장에 대한 면적분은 벡터장 $F$에 대한 면적분으로 바꿀 수 있고
발산정리를 이용하면 구면 $S$의 내부를 $E$라 했을 때 구하는 면적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\iiint }_E\text{div}FdV\\ & ={\iiint }_{E}9dV\\ & =9\times \frac{4}{3}\pi \\ & =12\pi \end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

행렬 $A$의 세 고유치를 $a,b,c$라 하자.
이 세 고유치를 대각성분으로 갖는 대각행렬 $D$를 생각하면
$$X^{-1}{A}^{3}X=D^3$$
이 성립한다. 따라서 행렬 $D^3$의 모든 성분의 합은
$$a^3+b^3+c^3$$
와 같다.

한편 행렬 $A$의 고유특성다항식을 구해보면
$${\lambda }^3-7{\lambda }^2+14\lambda -8=0$$
에서
$$\lambda =1,2,4$$
이므로 구하는 값은
$$1^3+2^3+4^3=73$$
이다.

 

 

 

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

ㄱ. 전치는 덧셈에 대해 분배할 수 있으므로 참이다.

ㄴ. 만약 $A=A^T$라면 $C$의 역행렬 자체가 존재하지 않으므로 거짓이다.

ㄷ. 좌변을 구해보면
$$\text{tr}(B)=2\text{tr}(A)$$
가 성립하므로 주어진 문제는
$$\text{tr}(A)\ge 0$$
이냐는 물음과 같은데, 항상 성립해야할 이유가 없으므로 거짓이다.

ㄹ. 
$$\text{tr}(C)=\text{tr}(A)-\text{tr}(A)=0$$
이므로 참이다.



이상에서 옳은 것의 개수는 2이다.

 

 

 

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

구하는 급수에 $2$를 곱하고 나눠주면 구하는 급수의 값은
$$2\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n+1}(n+1)}$$
와 같다. 이때 $n+1=m$으로 치환하면
$$2\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m{2}^m}=2\times \ln 2$$
가 구하는 급수의 값이 된다.

 

 

 

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

두 도형의 대칭성을 생각했을 때 제 $1$사분면의 도형의 넓이를 구한 후 두 배 하면
우리가 구하는 도형의 넓이와 같다.

$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$임을 이용하여 교각을 구하면
$$\sin \theta =2\sin \theta \cos \theta$$
에서 
$$\cos \theta =\frac{1}{2}⟹\theta =\frac{\pi }{3}$$
이다.

따라서 구하는 도형의 넓이 $S$는
$$\begin{array}{rl}S& =2\times \frac{1}{2}({\int }_0^{\frac{\pi }{3}}{\sin }^2\theta d\theta +{\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^2(2\theta )d\theta )\\ & =\frac{\pi }{4}-\frac{3\sqrt{3}}{16}\end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

주어진 영역 $S$는 비스듬히 잘린 원기둥이므로 문제에서 구하는 면적분은

i) 원기둥의 밑면 $x=0$에서의 면적분 $I_1$
ii) 원기둥의 윗면 $x=2-z$에서의 면적분 $I_2$
iii) 원기둥의 옆면에서의 면적분 $I_3$

이다. 이제 순서대로 구해보자.

i) 밑면
$x=0$이므로 대입하면 0을 적분하게 된다. 따라서
$$I_1=0$$
이다.

ii) 윗면
$x=2-z$이므로 면적소는
$$dS=\sqrt{2}dydz$$
이고, 적분영역은
$$D:y^2+z^2\le 4$$
이므로
$$\begin{array}{rl}{I}_2& =\sqrt{2}{\iint }_{D}z(2-z)dydz\\ & =-\frac{\sqrt{2}}{2}{\iint }_D(y^2+z^2)dydz\\ & =-\frac{\sqrt{2}}{2}{\int }_0^{2\pi }{\int }_0^2{r}^{3}drd\theta \\ & =-4\sqrt{2}\pi \end{array}$$
이다.

iii) 옆면
옆면에 해당하는 부분을 매개화하자. 먼저 $y^2+z^2=4$이므로
$$\{\begin{array}{l}y=2\cos t\\ z=2\sin t\end{array}$$
로 매개화 할 수 있다. 이제 높이 $x$는 $0\le x\le 2-z$임을 고려하면
$$x=s(0\le s\le 2-2\sin t)$$
라고 쓸 수 있다. 즉, 원기둥의 옆면을
$$\begin{array}{rl}r(s,t)& =(s,2\cos t,2\sin t)\\ & (0\le s\le 2-2\sin t,0\le t\le 2\pi )\end{array}$$
라고 쓸 수 있고,
$$|r_s\times r_t|=2$$
이므로
$$\begin{array}{rl}{I}_3& ={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2-2\sin t}4s\sin tdsdt\\ & =2{\int }_0^{2\pi }(2-2\sin t{)}^2\sin tdt\\ & =-16\pi \end{array}$$
이다.



이상에서 주어진 면적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =I_1+I_2+I_3\\ & =-4(4+\sqrt{2})\pi \end{array}$$
이다.

 

 

 

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

네 벡터
$$v_1=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right),v_2=\left(\begin{array}{c}{x}_4\\ x_5\\ x_6\end{array}\right),b_1=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right),b_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 4\end{array}\right)$$
와 행렬 
$$C=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 1\\ 1& 3& 3\\ 2& 3& 2\end{array}\right)$$
에 대하여, 주어진 방정식을 블록행렬처럼
$$\left(\begin{array}{cc}I& B\\ A& C\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\end{array}\right)$$
와 같이 쓸 수 있다. 그러면 행렬곱이 이루어지는 과정을 생각해보면
$$\begin{array}{rl}I{v}_1+B{v}_2& =b_1\\ A{v}_1+C{v}_2& =b_2\end{array}$$
가 성립함을 알 수 있다. 이제 첫 식을 다시 쓰면
$$B{v}_2=-v_1$$
이 성립하고, 양변의 왼쪽에 $A$를 곱한 뒤 $AB=I$임을 이용하면
$$v_2=-A{v}_1$$
이 성립한다.

한편 두번째 식을 위에서 얻은 $v_2=-A{v}_1$을 적용하여 다시 써보면
$$C{v}_2-v_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 4\end{array}\right)$$
에서 좌변을 $v_2$로 묶으면 $(C-I)v_2$이므로
$$\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_4\\ x_5\\ x_6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 4\end{array}\right)$$
이 성립한다. 이제 직접 벡터를 곱한 뒤 첫번째 원소를 보면
$$2x_4+x_5+x_6=2$$
이다.

 

 

 

2024 항공대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

$L$의 표준행렬의 모든 성분의 합은
$$L\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$$
의 모든 성분의 합과 같다.

따라서 세 벡터 $u_1,u_2,u_3$를 일차결합하여 
$$a\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 1\end{array}\right)+b\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)+c\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$$
이 되도록 하는 세 실수 $a,b,c$의 값을 구하자.

이때 두 번째 성분을 비교해보면 $b=1$임을 먼저 얻을 수 있고, 나머지 두 성분을 비교하면
$$\{\begin{array}{l}2a-c=1\\ a+2c=0\end{array}$$
라는 연립방정식을 얻으며, 이를 풀면
$$a=\frac{2}{5},c=-\frac{1}{5}$$
를 얻는다. 

따라서 
$$\begin{array}{rl}L\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)& =\frac{2}{5}L(u_1)+L(u_2)-\frac{1}{5}L(u_3)\\ & =\frac{2}{5}\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)-\frac{1}{5}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\right)\end{array}$$
이므로, 구하는 모든 성분의 합은 $7$이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2024 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

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