[편입] 2014 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2014 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2014년 항공대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 항공대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

항공대의 경우 최근 2~3년 문제지만 공유하며, 년도가 바뀔 때마다 시험지를 입학처 홈페이지에서 삭제합니다.

따라서 시험지가 필요하신 분은 미리 입학처에서 다운로드를 받아두시기 바랍니다.

(항공대학교 입학처 - 편입학 - 지난기출문제)

 

 

 

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

2014 한국항공대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

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2014 항공대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

주어진 행렬 $A$의 기약행사다리꼴이
$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 3& 2\\ 0& 1& -2& -1\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$
이므로 $\text{rank}(A)=2$이다.

 

 

 

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

선형변환의 치역의 차원은 표현행렬의 $\text{rank}$와 같다. 

한편 문제에서 주어진 $M$의 기약행사다리꼴을 구해보면
$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -2& 1\\ 0& 1& -3& 2\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$
이므로 $\text{rank}(M)=2$이고 따라서 치역의 차원은 $2$이다.

 

 

 

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

1, 2, 3번의 경우 직접 해보면 참이고, 4는 동일한 고유치 $\lambda =1$을 갖는데

이에 대응되는 고유벡터가 한 개 뿐이므로 대각화 불가능하다.

 

 

 

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

$n\times n$행렬 $A$에 대하여 $\text{adj}(\text{adj}A)=(detA{)}^{n-2}A$가 성립한다.

한편 $detA=-4$이므로, 구하는 값은 $16A$이다.

 

 

 

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

주어진 네 점을 대입하면
$$\{\begin{array}{ll}a+b& =1\\ a+2b& =3\\ a+3b& =4\\ a+4b& =3\end{array}$$
을 얻고, 이를 행렬표현으로 바꿔쓰면
$$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\\ 1& 3\\ 1& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 4\\ 3\end{array}\right)$$
임을 얻는다. 이제 최소제곱해를 구하는 공식으로부터
$$\left(\begin{array}{cc}4& 10\\ 10& 30\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}11\\ 31\end{array}\right)$$
이고, 이를 풀면 
$$a=1,b=0.7$$
이므로 $a+b=1.7$이다.

 

 

 

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

주어진 행렬의 고유치는 $\lambda =\frac{1}{2},1$이고 대응되는 고유벡터는 순서대로
$$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)$$
이다. 이제 각각의 고유벡터를 $M^n$에 곱한 뒤 $n\to \mathrm{\infty }$인 극한을 취해보면
$$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{M}^n\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}{x}_1-x_2\\ x_3-x_4\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\end{array}$$
이고
$$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{M}^n\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{1}^n\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}2x_1+3x_2\\ 2x_3+3x_4\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)\end{array}$$
에서 연립방정식
$$\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2=0\\ x_3-x_4=0\\ 2x_1+3x_2=2\\ 2x_3+3x_4=3\end{array}$$
을 풀면
$$\{\begin{array}{l}{x}_1=\frac{2}{5}\\ x_2=\frac{2}{5}\\ x_3=\frac{3}{5}\\ x_4=\frac{3}{5}\end{array}$$
이므로, 구하는 값은 $36$이다.

 

 

 

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

문제에서 주어진 세 벡터 $x_1,x_2,x_3$은 전부 일차독립이다.

이제 문제에서 주어진 행렬 $M$을 선형변환으로 인식하면 $M$의 랭크가 3이므로
일차독립인 집합을 $M$을 통해 변환시켜 얻은 집합도 일차독립이 된다.

따라서 $y_1,y_2,y_3$도 일차독립이며, 이를 통해 옳은 것은 a, b, c임을 알 수 있다.

 

 

 

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

크래머 공식을 이용할 것인데, 1번 선지를 보면 $A$행렬의 행렬식을 구하는 과정에서
1열과 3열의 순서를 바꾼 뒤 2열과 3열의 순서를 바꾸면 우리가 찾는 해가 된다.

이때 열교환을 두 번 하였으므로 각각 교환할 때 생긴 $-1$끼리 곱해져 부호는 +가 되므로
정답은 1번이다.
(나머지 선지의 경우 비슷하게 해보면 옳지 않음을 알 수 있다.)

 

 

 

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

a. 행렬식을 구해보면 $0$이다.
b. $3x=y\times z$이므로 거짓이다.
c. 2차원이다.

이상에서 옳은 것은 $d$이다.

 

 

 

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

세 벡터 $v_1,v_2,v_3$가 이루는 평행육면체의 부피와 세 벡터 $w_1,w_2,w_3$이 이루는
평행육면체의 부피는 동일하다. 따라서 세 벡터 $v_1,v_2,v_3$를 행 또는 열로 갖는 $3\times 3$크기의
행렬을 $A$라 하면
$$|detA|=4$$
이므로
$$|w_1||w_2||w_3|=4$$
이다. 그런데 $|w_1|=\sqrt{3}$이므로 식을 정리하면
$$|w_2||w_3|=\frac{2}{3}\sqrt{12}$$
이다.

 

 

 

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

대칭성을 이용하면 $k=4$이므로, 구하는 값은 $80$이다.

 

 

 

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

함수 $e^x$의 테일러전개를 생각하면 주어진 급수의 수렴반경은 $\mathrm{\infty }$이다.

 

 

 

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

3번의 경우 분자의 차수와 분모의 차수가 같으므로 
원점으로의 극한이 존재하지 않는다.

따라서 원점에서 연속이 아니므로 옳지 않다.

 

 

 

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

1. $p$급수 판정법으로부터 발산한다.

2. 근판정법으로 수렴한다.

3. 절대수렴한다.

4. 마찬가지로 절대수렴한다.

 

 

 

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

$e$의 정의를 이용하면 주어진 극한은
$$\begin{array}{rl}\text{(Limit)}& =\underset{x\to 0}{lim}(1-2x{)}^{-\frac{1}{2x}\times (-2)}\\ & =e^{-2}\end{array}$$
이다.

 

 

 

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

동경 $\theta$에 대하여 두 극곡선 $r=f(\theta )=1-\cos 2\theta$, $r=g(\theta )=1+\cos \theta$에서의 접선 $l_1,l_2$가
동경벡터 $\theta$와 이루는 각을 각각 ${\varphi }_1,{\varphi }_2$라 하자.

그러면
$$\begin{array}{rl}\tan {\varphi }_1& =\frac{f(\theta )}{f^{\prime }(\theta )}\\ \tan {\varphi }_2& =\frac{g(\theta )}{g^{\prime }(\theta )}\end{array}$$
가 성립한다.

이제 둘의 교각 $\theta$를 구하기 위해 방정식
$$1-\cos 2\theta =1+\cos \theta$$
를 풀면 $\theta =\frac{\pi }{3}$을 얻으므로, 이를 위에 대입하면
$$\begin{array}{rl}\tan {\varphi }_1& =\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \tan {\varphi }_2& =-\sqrt{3}\end{array}$$
을 얻고, 덧셈정리로부터
$$\begin{array}{rl}\tan ({\varphi }_1-{\varphi }_2)& =\left|\frac{\tan {\varphi }_1-\tan {\varphi }_2}{1+\tan {\varphi }_1\tan {\varphi }_2}\right|\\ & =3\sqrt{3}\end{array}$$
이므로
$${\varphi }_1-{\varphi }_2={\tan }^{-1}|3\sqrt{3}|$$
이다.

 

 

 

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

[오류 문항]
주어진 문항은 오류이다. 극좌표계를 이용하면 구하는 부피 $V$는
$$\begin{array}{rl}V& ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\int }_1^{1+\cos \theta }2rdrd\theta \\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}({\cos }^2\theta +2\cos \theta )d\theta \\ & =\frac{\pi }{4}+2\end{array}$$
로 일치하는 선지가 없다.

 

 

 

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

극곡선을 회전시켜서 $r=1+2\cos \theta$의 내부곡선과 외부곡선으로 둘러싸인 면적을 구해도 된다. 이를 $S$라 하자.

그러면 
$$\begin{array}{rl}S& =2(\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{2}{3}\pi }(1+2\cos \theta {)}^{2}d\theta -\frac{1}{2}{\int }_{\frac{2}{3}\pi }^{\pi }(1+2\cos \theta {)}^{2}d\theta )\\ & =\pi +3\sqrt{3}\end{array}$$
이다.

 

 

 

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

[오류 문항]
주어진 문항은 오류이다. 직접 해보면 주어진 영역 내에서 최대 $M$과 최소 $m$은
$$M=\frac{3+\sqrt{2}}{2},m=0$$
으로 일치하는 선지가 없다.

 

 

 

2014 항공대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

$f(x,y)=x^3+y^3-6xy$라 하면 음함수의 미분법으로부터
$$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& =-\frac{f_x}{f_y}\\ & =-\frac{3x^2-6y}{3y^2-6x}{|}_{(3,3)}\\ & =-1\end{array}$$
이다. 

 

 

 

마치며

이상으로 2014 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

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