편입수학 기출문제 풀이/항공대

[편입] 2017 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

수학올인 2024. 3. 22. 23:59

[편입] 2017 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에선 2017년 항공대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 항공대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

항공대의 경우 최근 2~3년 문제지만 공유하며, 년도가 바뀔 때마다 시험지를 입학처 홈페이지에서 삭제합니다.

따라서 시험지가 필요하신 분은 미리 입학처에서 다운로드를 받아두시기 바랍니다.

(항공대학교 입학처 - 편입학 - 지난기출문제)

2017 항공대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

2017 항공대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

주어진 원을 회전시키면 반지름이 $r$인 구를 얻으므로 회전면의 넓이는
$$S = 4\pi r^2$$
이다.

2017 항공대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

3번의 경우 일반항의 극한이 $0$이 아니므로 수렴하지 않는다.

2017 항공대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

첫 번째 식의 양변에 $-\frac{9}{2}$를 곱한 뒤 연립하면
$$-9x + \frac{9}{2}y = bx + ay$$
에서 식을 정리하면
$$(-b-9)x + \left(\frac{9}{2} - a\right)y = 0$$
이고 무수히 많은 해를 가지려면
$$-b-9=0,\quad \frac{9}{2} - a = 0$$
을 만족시키면 된다. 따라서 $a+b = -\frac{9}{2}$이다.

2017 항공대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

2번의 경우
$$\begin{align}
((AB)^{-1})^T &= (B^{-1} A^{-1})^T \\
&= (B^{-1})^T (A^{-1})^T
\end{align}$$
이므로 틀렸다.

2017 항공대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

a. 기본행렬의 성질로부터 참이다.

b. 대칭행렬의 역행령도(존재한다면) 가역행렬이므로 맞다.

c. 맞다.

2017 항공대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

좌변의 이차식을 이차형식으로 나타냈을 때
$$A = \begin{pmatrix}
5 & -1 \\
-1 & 5
\end{pmatrix}$$
이다. 이 행렬의 고유치를 구해보면
$$\lambda = 4, 6$$
이므로 이차곡선
$$5x^2 - 2xy + 5y^2 = 26$$
은 주축정리로부터
$$4u^2 + 6v^2 = 24$$
를 회전시킨 곡선임을 알 수 있다.

따라서 구하는 영역의 넓이 $S$는 주어진 곡선 내부의 넓이인
$$S = 2\sqrt{6}\pi$$
이다.

2017 항공대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

두 평면 사이의 사잇각은 두 평면의 법선벡터의 사잇각과 같다.

두 평면의 법선벡터를 직접 구해보면 순서대로
$$\begin{align}
&n_1 = (2,-1,-1) \\
&n_2 = (3,-6,-2)
\end{align}$$
이므로 내적을 이용하면
$$n_1 \circ n_2 = 14 = 7\sqrt{6}\cos\theta$$
에서 식을 정리하면
$$\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{6}}$$
이다.

2017 항공대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

이중적분의 순서변경을 이용하면
$$\begin{align}
F(t) &= \int_0^t \int_0^y 2\cos y^2 dxdy \\
&=\int_0^t 2y\cos y^2 dy
\end{align}$$
이므로 양변을 미분하면
$$F'(t) = 2t\cos t^2$$
이다. 따라서
$$F'\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\right) = \sqrt{\frac{\pi}{2}}$$
이다.

2017 항공대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

[풀이 1]
점 $(-1,3,1)$에서 주어진 곡면의 접평면 $S$에 대하여
$S$를 지나고 점 $(-1,3,1)$인 직선을 $l$이라 하자.

그러면 점 $(-1,3,1)$도 직선 $l$위에 존재하므로, 어떤 실수 $t$에 대하여
$$(-1,3,1)=(x(t), y(t), z(t))$$
이다. 한편 선택지를 보면 $x(t)+y(t)+z(t)$의 값이 상수라는 말이므로
$$x(t)+y(t)+z(t) = -1+3+1=3$$
이다.

[풀이 2]
직접 접평면을 구하고, 직선 $l$을 구해서 푼다.
(계산 생략)

2017 항공대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

주어진 점에서의 경도벡터는
$$\nabla f=(-2,-2)$$
이므로 구하는 값은
$$-|\nabla f| = -\sqrt{8}$$
이다.

2017 항공대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

영역 내부와 경계로 나누어 구하자.

i) 영역 내부
임계점을 구하기 위해 편미분해보면
$$\begin{cases}
f_x =2x =0\\
f_y = 4y-4=0
\end{cases}$$
에서 $(0, 1)$이 임계점이고, $f(0, 1) = -1$이다.

ii) 경계 $x^2 + y^2=9$
함수
$$g(y)=y^2-4y+10\quad(-3\leq y\leq 3)$$
의 최대와 최소를 구하면 되고, 구해보면 최대는 31, 최소는 6이다.

이상에서 최대는 31, 최소는 $-1$이므로 둘의 합은 30이다.

2017 항공대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

선적분 $I_b - I_a$의 값은 주어진 폐경로를 반시계방향으로 한 바퀴 돌면서 적분한 것과 같다.
따라서 그린정리를 이용하면
$$\begin{align}
I_b - I_a &= -\int_0^1 \int_{2y}^{3-y}(x^2 + 1)dxdy \\
&= -\frac{25}{4}
\end{align}$$
이고, 선지에 제시된 $I_a, I_b$에 대하여 $I_b - I_a$의 값이 이와 일치하는 것은 1번 뿐이다.

2017 항공대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

다음이 성립한다.
$$\begin{align}
    |\mathbb{A}+\mathbb{B}| &= \sqrt{(\mathbb{A}+\mathbb{B})\circ(\mathbb{A}+\mathbb{B})} \\
    &= \sqrt{2A^2 + 2A^2 \cos\theta} \\
    &= 2A^2\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}} \\
    &= 2A^2\cos\frac{\theta}{2}
\end{align}$$
$$\begin{align}
    |\mathbb{A}-\mathbb{B}| &= \sqrt{(\mathbb{A}-\mathbb{B})\circ(\mathbb{A}-\mathbb{B})} \\
    &= \sqrt{2A^2 - 2A^2 \cos\theta} \\
    &= 2A^2\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}} \\
    &= 2A^2\sin\frac{\theta}{2}
\end{align}$$
따라서
$$
    |\mathbb{A}+\mathbb{B}|^2 + |\mathbb{A}-\mathbb{B}|^2 = 4A^2\cos\theta
$$
이므로 옳은 것은 3번이다.

2017 항공대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

변수변환
$$\begin{cases}
    x+y=u \\
    x-y=v
\end{cases}$$
를 이용하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_{-1}^1\int_{-1}^1u^2 e^v dudv \\
    &= \frac{2}{3}(e-e^{-1})
\end{align}$$
이다.

2017 항공대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

외적의 성질로부터
$$\begin{align}
\mathbb{A}\times(\mathbb{A}\times\mathbb{B}) &= (\mathbb{A}\circ\mathbb{B})\mathbb{A}-(\mathbb{A}\circ\mathbb{A})\mathbb{B} \\
&= (\mathbb{A}\circ\mathbb{B})\mathbb{A}-A^2\mathbb{B}
\end{align}$$
이므로 정답은 1번이다.

2017 항공대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

주어진 급수를 정적분으로 바꾸면
$$\begin{align}
    \text{(Limit)} &= \int_0^1 (1+\sqrt{\pi}x\sin(\pi x^2))dx \\
    &= 1+\frac{1}{2\sqrt{\pi}}\int_0^{\pi} \sin tdt \quad (\pi x^2 = t) \\
    &= \frac{1+\sqrt{\pi}}{\sqrt{\pi}}
\end{align}$$
이다.

2017 항공대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

주어진 미분방정식은
$$\frac{1}{y}dy = 2xdx$$
로 변수분리가 가능하므로 양변을 적분하면
$$\ln y = x^2 + \ln 2$$
에서 식을 정리하면
$$y=2e^{x^2}$$
이 주어진 미분방정식의 해가 된다.

2017 항공대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

대입법으로 풀자. $x=0$을 대입하면 $y=0$이어야 하므로 가능한 선택지는 1, 3번이고
$x=\ln 2$를 대입하면 $y=\frac{5}{2}$여야 하므로 정답은 1번이다.

2017 항공대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

주어진 선형변환 $T$의 표현행렬을 $A$라 하면
$$A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & -2 \\
1 & 2 & 1 \\
-1 & -1 & 0
\end{pmatrix}$$
이므로
$$\begin{pmatrix}
1 & 2 & -2 \\
1 & 2 & 1 \\
-1 & -1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix}$$
인 $x, y,z$의 합을 구하면 된다. 직접 전개하면
$$\begin{cases}
    x+2y-2z&=1\\
    x+2y+z&=2\\
    x+y&=-3
\end{cases}$$
을 풀면 되고 구해보면
$$x+y=-3, z=\frac{1}{3}$$
이므로
$$x+y+z=-\frac{8}{3}$$
이다.

2017 항공대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

19번에서 구한 행렬 $A$의 고윳값을 구해보면
$$\lambda = -1, 1, 3$$
이고 문제에서 구하는 값은 이 고유치 각각의 세제곱의 합이므로 $27$이다.

마치며

이상으로 2017 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~