2025학년도 6월 모의고사 수학(미적분) 30번 풀이 (250630 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 2025학년도 6월 모의고사 수학(미적분) 30번 문제를 다뤄보겠습니다.

문제

풀이

가장 먼저 $n\to\infty$일 때 $a_n \to \infty$인 것은 자명하다.

또, 두 곡선 $y=\tan x$, $y=\frac{\sqrt{x}}{10}$을 동시에 그려놓고 살펴보면

$n$의 값이 커질수록 $a_n$은 $y=\tan x$의 $n$번째 점근선에 점점 가까워짐을 알 수 있다.

그 말은 $n$이 커지면 $a_{n+1} - a_n$의 값은 $y=\tan x$의 이웃한 두 점근선 사이의 길이와 같아진다는 말이고

따라서

$$\lim_{n\to\infty} (a_{n+1} - a_n) = \pi$$

이고, 위의 극한을 다시 쓰면

$$\lim_{n\to\infty} a_n \left( \frac{a_{n+1}}{a_n} - 1\right) = \pi$$

에서 $\infty \times 0$꼴임을 의미하므로

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 1$$

이다.

이제 $a_n$의 정의로 돌아오면,

$$\frac{\sqrt{a_n}}{10} = \tan a_n$$

이 성립함을 안다. 이제 덧셈정리와 위에서 얻은 사실들을 이용하면

$$\begin{align} &\lim_{n\to\infty} (a_n)^3 \tan^2 (a_{n+1} - a_n) \\
&= \lim_{n\to\infty} (a_n)^3 \left(\frac{\tan a_{n+1} - \tan a_n}{1+\tan a_{n+1} \tan a_n}\right)^2 \\
&= \lim_{n\to\infty} (a_n)^3 \left(\frac{10(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}}{100 + \sqrt{a_n a_{n+1}}}\right)^2 \\
&= 100\lim_{n\to\infty} (a_n)^3 \frac{(a_{n+1} - a_n)^2}{(100 + \sqrt{a_n a_{n+1}})^2 (\sqrt{a_{n+1}} + \sqrt{a_n})^2} \\
&= 100\lim_{n\to\infty} \frac{(a_{n+1} - a_n)^2}{\left(\frac{100}{a_n} + \sqrt{\frac{a_n a_{n+1}}{(a_n)^2}}\right)\left(\sqrt{\frac{a_{n+1}}{a_n}} + \sqrt{1}\right)^2} \\
&= 100\times \frac{\pi^2}{1\times 2^2} \\
&= 25\pi^2\end{align}$$

임을 얻으므로, 구하는 극한값은 $25$이다.

계산이 조금 더러웠던 것 빼면 문항 자체는 평이했던 것 같습니다.

블로그에서 다룬 2025학년도 6월 모의고사 문제
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