2025학년도 6월 모의고사 수학 15번 풀이 (250615 풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 2025학년도 6월 모의고사 수학 15번 문제를 다뤄보겠습니다.

문제

풀이

먼저 함수 $g(x)$가 미분가능하므로 $f(k)=k$, $f'(k) = 2$이다.

또, $g\left(\frac{k}{2}\right) = 0$임을 알 수 있다.

이제 (나)조건을 바라보면, 함수

$$|t(t-1)| + t(t-1)$$

은 $t(t-1)$이 양수라면 두 배 하고, 음수라면 $0$이 된다.

이 사실과 $g(x)$가 증가한다는 사실을 이용하면, $g(x)=0$이 되는 실수 $x$는 반드시

$$0\leq x \leq 1$$

에 속해야 한다. 이 말은 곧

$$0\leq k\leq 2$$

임을 의미한다.

두 번째 부등식을 보자. 마찬가지로 써보면 함수

$$|(t-1)(t+2)| - (t-1)(t+2)$$

은 $(t-1)(t+2)$가 양수라면 $0$이 되고, 음수라면 $(-2)$배 한다.

그러므로 위의 함수는 $-2<t<1$에서 양수이고, 나머지에서는 $0$이므로 $g(t)$를 곱하면

함수

$$g(t)( |(t-1)(t+2)| - (t-1)(t+2))$$

는 $-2<t<\frac{k}{2}$에서 음수, $\frac{k}{2}<t<1$에서 양수, 다른 지점에서 $0$이다.

그런데, 함수

$$h(x) = \int_3^x g(t)(|(t-1)(t+2)| - (t-1)(t+2))dt$$는 항상 0이상인데, $x=3$을 대입했을 때 함숫값이 0이다. 즉 위의 함수를 미분한 함수인

$$ g(x)(|(x-1)(x+2)| - (x-1)(x+2))$$

는 항상 양이 아닌 값을 가져야 한다.

(그래야 $h(x)$가 감소하다가 0인 상태로 쭉 지속되는 개형이 그려지고, (나)조건을 만족시킬 수 있기 때문이다.)

이 말은 곧 $g(x)=0$인 $x$가 반드시 $1$보다 커야함을 알 수 있다.

따라서 $k\geq 2$이다.

이제

$$0\leq k\leq 2,\quad k\geq 2$$

를 동시에 만족하려면 반드시 $k=2$여야 한다.

따라서 $f(2)=2, f'(2)=2$이므로

$$f(x) = (x-2)^3 + a(x-2)^2 + 2(x-2) + 2$$

라고 식을 세울 수 있고, 구하는 값은 $f(k+3) = 5+a$가 된다.

이제 아직 쓰지 않은 조건인 $f(x)$가 $x\geq 2$에서 증가해야 한다는 조건을 써보면

$$f'(x) = 3(x-2)^2 + 2a(x-2) + 2$$

에서 부등식

$$f'(x) \geq 0\quad (x\geq 2)$$

가 성립해야 한다. 만약 $a\geq 0$이라면 할 얘기가 없으므로 $a< 0$임을 가정하자.

평행이동을 하여 부등식

$$3t^2 + 2at + 2 \geq 0\quad (t\geq 0)$$

을 풀면 좌변의 이차함수는 $t=-\frac{a}{3}$일 때 최소가 되므로

$$2-\frac{a^2}{3}\geq 0\quad \Longrightarrow\quad -\sqrt{6}\leq a<0$$

이다. 따라서

$$f(k+3) = 5+a \geq 5-\sqrt{6}$$

이 구하는 최솟값이 된다.

전체적으로 풀이하면서 2024 수능 22번 문제가 생각나는 문제였습니다.

두 부등식으로부터 $k=2$임이 확정지어지는 부분이 정말 잘 만들었다는 느낌을 받게 하네요.

이 시험지에서 가장 어려웠다고 느껴집니다. (사실 15와 22가 바뀐 것 같습니다.)

블로그에서 다룬 2025학년도 6월 모의고사 문제
(클릭시 이동)

- 2025학년도 6월 모의고사 수학 15번 (현재)
- 2025학년도 6월 모의고사 수학 21번
- 2025학년도 6월 모의고사 수학 22번
- 2025학년도 6월 모의고사 수학(미적분) 28번
- 2025학년도 6월 모의고사 수학(미적분) 29번
- 2025학년도 6월 모의고사 수학(미적분) 30번