문제풀이/MIT Integration Bee

MIT Integration Bee 2025 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)

수학올인 2025. 2. 26. 23:59

MIT Integration Bee 2025 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier)

■ MIT Integration Bee란?

1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다.

문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다.

부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다.

정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다.

■ 시간제한은 몇 분인가요?

본시험에선 20분을 제한시간으로 두고 있습니다.

■ 이외의 규칙이 있나요?

문제 및 정답 표기 시 $\log $는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다.

또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다.

추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다.

■ 문제지는 어디에서 확인할 수 있나요?

구글에 MIT Integration Bee를 검색하시면 MIT edu 페이지에서 공개된 문제를

확인하실 수 있습니다. 문제지는 2010년부터 공개되어 있습니다.

기본적으로 Qualifier 문제들만 공개되며, 2022년부터는 Qualifier 문제 및

Regular Season, Quarterfinal, Semifinal, Final문제가 전부 공개됩니다.

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에서는 제목과 같이 2025 MIT Integration Bee 문제들의 정답과 해설을

다룹니다. 해설(풀이)은 전부 제 풀이이며 따라서 오류가 있을 수 있습니다.

제 풀이에 오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.

추가로, 2025년도가 아닌 다른 년도의 정답 및 해설 링크는 본문 가장 아래에 있습니다.

2025 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 1번

분자에서 $\sqrt{x}$를 묶어내면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \int \sqrt{x} dx \\
&= \frac{2}{3}x\sqrt{x}
\end{align}$$
이다.

2025 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 2번

$e^{x+1} = e\times e^x$이므로 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= e\int \frac{e^x}{e^x + 1}dx \\
&= e\ln(e^x + 1)
\end{align}$$
이다.

2025 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 3번

삼각함수의 세배각 공식으로부터
$$\sin 3x = \sin x-4\sin^3 x$$
가 성립하므로 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= 4^{\frac{1}{3}}\int \sin xdx \\
&= -4^{\frac{1}{3}} \cos x
\end{align}$$
이다.

2025 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 4번

로그의 성질을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_1^{e^e} \frac{(\ln x)^2}{x}dx \\
    &= \int_0^e t^2dt \quad (\ln x = t) \\
    &= \frac{e^3}{3}
\end{align}$$
이다.

2025 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 5번

피적분함수는 기함수이므로 주어진 적분은
$$\text{(Integral)} = 0$$
이다.

2025 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 6번

곱해진 모든 항을 $\sin x$와 $\cos x$를 포함하도록 써보면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^{2\pi} \sin x\cos x\frac{\sin x}{\cos x}\frac{\cos x}{\sin x}\frac{1}{\cos x}\frac{1}{\sin x}dx \\
    &= \int_0^{2\pi} 1dx \\
    &= 2\pi
\end{align}$$
이다.

2025 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 7번

각각 분배한 뒤 $\left(\frac{1}{\ln x}\right)' = -\frac{1}{x(\ln x)^2}$임을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int \left(\frac{\cos x}{\ln x}-\frac{\sin x}{x(\ln x)^2}\right)dx \\
    &= \int \left(\frac{\sin x}{\ln x}\right)'dx \\
    &= \frac{\sin x}{\ln x}
\end{align}$$
이다.

2025 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 8번

두 함수 $y= 2^{x-1}$, $y=\log_2(2x)$는 역함수 관계이다.

또, 두 함수는 모두 두 점 $(1, 1), (2,2)$를 지나므로 (이 포스팅)을 참고하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= 2\times 2-1\times 1 \\
&= 3
\end{align}$$
이다.

2025 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 9번

$1-x^{2025}=t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \frac{1}{2025}\int_0^1 t^{2025}dt \\
&= \frac{1}{2025\times2026}
\end{align}$$
이다.

2025 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 10번

함수 $f(x)$를
$$f(x) = x\left(x-\frac{1}{2}\right)(x-1)$$
이라 하자.

그러면 (이 포스팅)을 참고하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \frac{10}{6}(f(0)+4f(5)+f(10)) \\
&= 2025
\end{align}$$
이다.

2025 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 11번

구간을 나누어 계산하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= 2\times (1+2+\cdots+9)+1\times(0+10) \\
&= 100
\end{align}$$
이다.

2025 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 12번

피적분함수를 다시 쓰면
$$x^{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times\frac{2}{4}+\frac{1}{3}\times\frac{2}{4}\times\frac{3}{5}+\cdots}$$
이다. 이제 지수부분을 $S$라 하자. 즉,
$$S=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times\frac{2}{4}+\frac{1}{3}\times\frac{2}{4}\times\frac{3}{5}+\cdots$$
의 값을 구하자.

$n$번째 항을 $a_n$이라 하고 일반항을 구해보면
$$a_n = \frac{2n!}{(n+2)!} = \frac{2}{(n+2)(n+1)}$$
이므로
$$\begin{align}
    \sum_{n=1}^{\infty} a_n &= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{(n+2)(n+1)} \\
    &= 1
\end{align}$$
이다.

따라서 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int xdx \\
    &= \frac{x^2}{2}
\end{align}$$
이다.

2025 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 13번

문제에서 주어진 분모의 형태는 $1+(f(x))^4$이다. 이때 분모를 $1+(f(x))^2$의 형태로 만들고
분자에 $f'(x)$의 형태를 만들 수 있다면 $\tan^{-1}f(x)$의 형태로 적분이 가능할것이다.

따라서 $f(x)$를
$$f(x)=x^2e^{2x}$$
라고 하면
$$f'(x)=e^{2x}(2x+2x^2)$$
이므로, 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \frac{1}{2}\int \frac{f'(x)}{1+f(x)^2}dx \\
    &= \frac{1}{2}\tan^{-1} f(x) \\
    &= \frac{1}{2}\tan^{-1}(x^2 e^{2x})
\end{align}$$
이다.

2025 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 14번

삼각함수의 성질로부터
$$\sec^2 x-\tan^2 x = 1$$
이 성립한다. 따라서 합차공식을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int (\sec^2 x+\tan^2 x)dx \\
    &= \int (2\sec^2 x-1)dx \\
    &= 2\tan x - x
\end{align}$$
이다.

2025 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 15번

피적분함수는 중심이 점 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$이고 반지름이 $\frac{1}{2}$인 원의 윗부분이므로
넓이의 관점에서 바라보면 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= \frac{1}{2}\times \frac{\pi}{8} \\
&= \frac{\pi}{8}
\end{align}$$
이다.

2025 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 16번

배각공식을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int \frac{2\sin 2x\cos 2x\cos x}{\cos 2x\sin x}dx \\
    &= \int \frac{4\sin x\cos^2 x}{\sin x}dx \\
    &=2\int (1+\cos 2x)dx \\
    &= 2x+\sin 2x
\end{align}$$
이다.

2025 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 17번

주어진 적분을 $I$라 하자.

부분적분을 두 번 하면
$$\begin{align}
    I &= \sin x\cosh x-\int \cos x\cosh x \\
    &= \sin x\cos x-\left(\cos x\sinh x+\int \sin x\sinh xdx\right) \\
    &= \sin x\cos x-\cos x\sinh x-\int \sin x\sinh xdx \\
    &= \sin x\cos x-\cos x\sinh x-I
\end{align}$$
이므로, 식을 정리하면
$$I = \frac{1}{2}(\sin x\cosh x-\cos x\sinh x)$$
임을 얻는다. 따라서 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= I \\
    &= \frac{1}{2}(\sin x\cosh x-\cos x\sinh x)
\end{align}$$
이다.

2025 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 18번

덧셈정리를 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^{\frac{\pi}{3}}\left(\frac{1}{2}\sin x\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin^2 x\right)dx \\
    &= \frac{3}{16}+\frac{\sqrt{3}}{4}\int_0^{\frac{\pi}{3}}(1-\cos 2x)dx \\
    &= \frac{\sqrt{3}}{12}\pi
\end{align}$$
이다.

2025 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 19번

삼각함수의 합을 곱으로 바꾸면
$$\cos\left(x-\frac{2\pi}{3}\right)+\cos\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)= -\cos x$$
이므로 주어진 적분은
$$\begin{align}
\text{(Integral)} &= 0
\end{align}$$
이다.

2025 MIT Integration Bee Qualifier - 문제 20번

무한등비급수의 합 공식을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= -\int_0^1 \frac{x^2}{x^2 + 1}dx \\
    &= -\int_0^1 \left(1-\frac{1}{x^2+1}dx\right) \\
    &= \frac{\pi}{4} - 1
\end{align}$$
이다.

이상으로 2025 MIT Integration Bee 문제들에 대한 제 풀이를 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신점이 있으시면 댓글로 남겨주세요.

년도별 MIT Integration Bee Qualifier 정답 및 해설 (클릭시 이동)
(Qualifier가 아닌 Regular season, Quarterfinals등은 블로그 우측의
'MIT Integration Bee' 카테고리를 참고하세요.)
2019년 이전의 Qualifier 문제의 경우도 위와 동일한 카테고리를 참고하세요.

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