수학올인의 수학 기록

[수학] 어떤 연속함수의 이상적분이 수렴하면 함수의 극한은 0인가?안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 제목과 같이 어떤 연속함수의 이상적분이 수렴하면피적분함수의 극한값이 $0$이 되는지, 즉, 수식으로 표현하면 연속함수 $f(x)$에 대하여$$\int_0^{\infty} f(x)dx 이 성립하는지에 대해 알아보겠습니다. 보통 고등학교에서 수학을 배우면서 급수에 대해 배우게 되는데, 이때 급수$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$$이 수렴하면 수열 $a_n$의 극한값은 $0$이라는 사실을 배우게 됩니다. 이때 주어진 무한합을 이산적인 함수(수열)에 대한 합이라고 바라본다면이상적분은 연속적인 함수에 대한 합이라고 생각해볼 수 있으므로이상적분에서도 마찬가지로 극한이 $0$인가? 라는 의문이 ..

[수학] 미분가능하지만 도함수가 불연속인 함수 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 미분가능하지만 불연속인 도함수를 가지는 함수에 대해 다뤄보겠습니다. 우선 이번 포스팅은 (이전 포스팅)에서 이어지는 게시글입니다. 이전 포스팅에서 연속함수 $f(x)$의 도함수의 극한이 존재하면 이는 미분계수와 같음을 증명했습니다. 한편, 글을 마무리하며 도함수의 극한이 존재한다는 조건이 없다면 어떻게 될지에 대해 이번 포스팅에서 다룬다고 했었죠. 이번에도 결론을 먼저 말하면, 도함수의 극한값 (무한대 포함)이 꼭 미분계수와 같을 필요는 없습니다. 즉, 만약 극한값이 존재한다면 그 값은 미분계수와 항상 같지만 도함수의 극한이 발산한다고 무조건 미분계수의 값이 존재하지 않고 그렇지는 않습니다. 반례는 아래와 같습니다..

도함수의 극한과 원함수의 극한의 관계 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 도함수의 극한과 원함수의 극한은 어떤 관계를 가지는지에 대해 다뤄보려고 합니다. 내용은 크게 2개의 주제를 다룰 텐데요, 1. 도함수의 극한이 0으로 수렴하면 원함수의 극한도 수렴하는지 ($\displaystyle\lim_{x\to\infty}f'(x)=0$이면 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)$도 수렴하는지) 2. 원함수의 극한이 수렴하면 도함수의 극한이 0으로 수렴하는지 ($\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)$가 수렴하면 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f'(x)=0$인지) 에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 우리가 함수 $f(x)$의 그래프..

우함수는 항상 x=0에서 극값을 가질까? 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 함수 $f(x)$가 우함수라면 항상 $x=0$에서 극값을 갖는지에 대해 알아보겠습니다. 이전에도 말했듯, 이런 종류의 명제를 접했을 때 가장 먼저 할 수 있는 접근은 우리가 잘 알고 있는 함수들에 대해 성립하는지 테스트해 보는 것입니다. 우리가 생각할 수 있는 가장 만만한 함수는 당연히 다항함수입니다. 그럼 가장 만만한 이차함수에 대해서 먼저 확인해 볼까요? 위 그래프는 곡선 $y=x^2$의 그래프입니다. 함수 $f(x)=x^2$이 우함수인 것은 쉽게 알 수 있고, $x=0$에서 극값(극소)을 가짐도 쉽게 알 수 있네요. 그럼 다음으론, 삼각함수는 어떨지 확인해 보겠습니다. 위 그래프는 곡선 $y=\cos x$의 그래프..

함수가 극값을 가지면 그 지점에서 증감이 변할까? 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 제목과 같이 어떤 미분가능한 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 극값을 가진다면 $x=a$를 기준으로 함수 $f(x)$의 증감이 바뀌는지에 대해 다뤄보도록 하겠습니다. 그리고 본문에서는 상수함수는 제외하도록 하겠습니다. 이런 종류의 명제를 접했을 때 가장 먼저 해볼 수 있는 생각은 우리가 잘 알고 있는 함수들에 대해서 먼저 생각해보는 것입니다. 우리가 가장 잘 아는 함수는 당연히 다항함수겠죠? 그중에서 극값을 가지는 건 당연히 가장 만만한 이차함수일텐데요. 이차함수의 그래프를 확인하면 극값을 가지는 지점을 전후로 함수의 증감이 바뀌는걸 확인할 수 있습니다. 그럼 다른 함수는 어떨까요? 다항함수를 빼고 극값을 갖는..

한 점에서 도함수가 양수지만 그 근방에서 증가하지 않는 함수 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 어떤 한 점에서 양수인 도함수를 갖지만 그 점을 포함하는 어떤 근방에서도 증가하지 않는 함수에 대해 다뤄보려고 합니다. 사실 직관적으로 생각해 본다면 한 점에서 도함수가 양수라는 사실은 그 점에서 기울기가 양수, 즉 증가하는것 처럼 생겼다고 예상해 볼 수 있습니다. 그런데 그 근방에서 증가하지 않는 함수라니 반직관적인 결론을 얻는 상황이죠. 이는 어떤 함수가 있을 때 미분을 통해 얻어낸 정보가 굉장히 국소적인 정보만을 포함하고, 그 국소적인 정보만으로 함수가 어떻게 생겼는지 파악할 수 없다는 말이기도 합니다. 그럼 반례를 알아보겠습니다. 반례 함수 $$ f(x) = \begin{cases} \frac..