[편입] 2017 세종대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2017 세종대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2017년 세종대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 세종대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(세종대학교 입학처 - 기출문제 - 편입학)

 

 

 

2017 세종대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

2017 세종대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2017 세종대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

$$f'(\ln 2) = \sinh (\ln 2) = \frac{3}{4}$$
이다.

 

 

 

2017 세종대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

임의의 $p>0$인 실수 $p$에 대하여 수열 
$$a_n = \frac{1}{n^p}$$
은 $0$으로 수렴하는 양항 감소수열이므로 교대급수판정법으로부터 주어진 급수는 수렴한다.

 

 

 

2017 세종대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

$$\begin{align}
    \frac{dy}{dx} &= \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \\ 
    &= \frac{1-e^{-t}}{1-e^t} \\ 
    &= -\frac{1}{2}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2017 세종대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

연쇄법칙을 이용하면
$$\begin{align}
    z_s &= z_x x_s + z_y y_s \\ 
    &= 8\times 1 + (-1)\times 2 \\ 
    &= 6
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2017 세종대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

부분적분을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= x\tan^{-1}x \bigg|_0^1 - \int_0^1 \frac{x}{x^2 + 1}dx \\ 
    &= \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2017 세종대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

주어진 급수를 다시 쓰면
$$\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2n+1} = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$$
이다.

 

 

 

2017 세종대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

주어진 함수의 임계점을 찾기 위해 편미분하면
$$\begin{align}
    & F_x = 2x+y-4 \\ 
    & F_y = x+2y-5
\end{align}$$
이다. 이제 연립방정식 $F_x=0, F_y=0$을 풀면
$x=1, y=2$이고 $c=F(1,2) = -7$이므로 $a+b+c=-4$이다.

 

 

 

2017 세종대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

주어진 점에서의 경도를 구하면
$$\nabla f = \left(2x e^{-(x^2 + y^2)^2}, 2ye^{-(x^2 + y^2)^2}\right)=\frac{2}{e^{25}}(1, 2)$$
이고 방향벡터를 단위벡터로 만들면
$$u = \frac{(3, 2)}{|(3, 2)|} = \frac{1}{\sqrt{13}}(3, 2)$$
이므로 구하는 방향도함수의 값은
$$\nabla f \circ u = \frac{14\sqrt{13}}{13e^{25}}$$
이다.

 

 

 

2017 세종대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

주어진 행렬을 $A$라 하고 빨간색 원소를 기준으로 라플라스 전개를 이용하면
$$\begin{align}
    \det A &= \det \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 2 & 0 \\
0 & -3 & 2 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \textcolor{red}{4} & 0 \\
1 & -1 & 3 & 1 & 0 \\
-1 & -2 & 1 & -4 & 2 \\
\end{pmatrix} \\ 
&= -4\det \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & -3 & 2 & 0 \\
1 & -1 & 3 & 0 \\
-1 & -2 & 1 & \textcolor{red}{2} \\
\end{pmatrix} \\ 
&= -8\det \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & -3 & 2 \\
\textcolor{red}{1} & -1 & 3 \\
\end{pmatrix} \\ 
&= -8\det \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
-3 & 2 \\
\end{pmatrix} \\ 
&= -16
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2017 세종대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

$$I = \int_0^1 \ln(1+e^x)dx,\quad J = \int_{-1}^0 \ln(1+e^x)dx$$
라 하자. $J$를 변형하면
$$\begin{align}
    J &= \int_0^1 \ln\left(\frac{1+e^x}{e^x}\right) dx \\ 
    &= \int_0^1 \left(\ln(1+e^x) - x\right)dx \\ 
\end{align}$$
이다. 구하는 적분은 $I-J$이므로
$$I-J = \int_0^1 xdx = \frac{1}{2}$$
이다.

 

 

 

2017 세종대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

충분히 큰 모든 $n$에 대하여 $\ln n \leq n^{\frac{1}{4}}$이므로
$$\frac{\ln n}{n\sqrt{n}} \leq \frac{1}{n^\frac{5}{4}}$$
이다. 따라서 2번의 급수는 비교판정법으로부터 수렴한다.

 

 

 

2017 세종대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

$x=2\tan t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \frac{1}{8}\int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 t dt \\ 
    &= \frac{1}{16}\int_0^{\frac{\pi}{4}} (1+\cos 2t)dt \\ 
    &= \frac{\pi + 2}{64}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2017 세종대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

왼쪽 부분의 작은고리 외부이면서 큰 고리 내부의 넓이의 두배를 하면 구하는 넓이가 된다.
구하는 넓이를 $S$라 하면
$$\begin{align}
    S &= 2\left(\frac{1}{2}\int_0^{\frac{3\pi}{2}} \theta^2 d\theta - 2\times \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\theta^2 d\theta\right) \\ 
    &= \int_0^{\frac{3\pi}{2}} \theta^2 d\theta - 2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\theta^2 d\theta \\ 
    &= \frac{25}{24}\pi^3
\end{align}$$

 

 

 

2017 세종대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

주어진 경로를 $C_1$이라 하고, 점 $(0, 2)$에서 점 $(0, -2)$로 이동하는 직선경로를 $C_2$라 하자.
그리고 경로 $D$를 $D = C_1 \cup C_2$이라 하자.
그러면 $D$는 폐곡선이므로 그린정리로부터 구하는 선적분의 값은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_D y^2dx + xdy - \int_{C_2} y^2dx + xdy \\ 
    &= \iint_{D'}(1-2y)dA - \int_{C_2} y^2dx + xdy
\end{align}$$
이다. (단, $D'$은 영역 $D$의 내부이다.)

이때 경로 $C_2$상에서 항상 $x=0, dx=0$이므로
$$\int_{C_2} y^2dx + xdy = 0$$
이고 대칭성을 이용하면
$$\begin{align}
    \iint_{D'}(1-2y)dA &= \iint_{D'} 1 dA \\ 
    &= \frac{1}{6}\times 4^3  \\ 
    &= \frac{32}{3}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2017 세종대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

테일러전개를 이용하면
$$\sqrt{1+x^3}\approx 1+\frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{8}x^6 + \frac{1}{16}x^9$$
이므로
$$\frac{f^{(9)}(0)}{9!} = \frac{1}{16}$$
이다.

 

 

 

2017 세종대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

$p(x)=ax^2 + bx + c$라 하자. 그러면
$$\begin{align}
    L(p(x)) &= x^2 p\left(1-\frac{1}{x}\right) \\ 
    &= (a+b+c)x^2 + (-2a - b)x + a
\end{align}$$
이다. 따라서 $L$의 표현행렬은
$$L = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
-2 & -1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
$$
이므로 $\text{tr}(L) = 0$이다.

 

 

 

2017 세종대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

그린정리와 삼각형의 무게중심을 이용하자. 삼각형의 내부를 $D$라 하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iint_D x dA \\ 
    &= \frac{1}{2}\left(\frac{0+0+1}{3}\right) \\ 
    &= \frac{1}{6}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2017 세종대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

$$\cos^{-1}x + \cos^{-1}(-x) = \pi$$
이므로 주어진 적분값은 $2\pi$이다.

 

 

 

2017 세종대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

[문제오류라고 생각합니다.]

 

 

 

2017 세종대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

해당 극곡선을 직교좌표로 바꾸면

$$x^2+y^2=x+y$$

를 얻는다. 이 원은 $y=x$에 대칭이므로 주어진 각 $a, b$는

$$a=\frac{\pi}{4}-\alpha,\quad b=\frac{\pi}{4}+\alpha$$

의 형태이다. 따라서

$$a+b=\frac{\pi}{2}$$

이다.

 

 

 

2017 세종대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이

계산의 편의를 위해 벡터공간 $W$의 직교기저를 찾으면
$$W = \text{span}\left\{1, x^2 - \frac{1}{3}\right\}$$
이므로 두 벡터
$$1,\quad x^2 - \frac{1}{3}$$
은 벡터공간 $W$의 직교기저이다. 

주어진 값이 최소가 되도록 하는 $w$는 벡터 $x$를 $P_2$의 부분공간 $W$에
정사영하여 얻은 벡터이다.

표기의 편의상 
$$f(x)=1, g(x)=x^2 - \frac{1}{3}$$
이라 하면

$$w=\frac{<f(x),x>}{<f(x),f(x)>}1 + \frac{<x,g(x)>}{<g(x),g(x)>}\left(x^2 - \frac{1}{3}\right)$$
이다. 그런데
$$\begin{align}
    & <f(x), f(x)> = \int_0^1 1dx = 1 \\ 
    & <f(x), x> = \int_0^1 xdx = \frac{1}{2} \\ 
    & <g(x), g(x)> = \int_0^1 \left( x^2 - \frac{1}{3}\right)^2 dx = \frac{4}{45} \\ 
    & <g(x), x> = \int_0^1 x\left(x^2 - \frac{1}{3}\right)dx = \frac{1}{12}
\end{align}$$
이므로
$$\begin{align}
    w &= \frac{1}{2} + \frac{15}{16}\left(x^2 - \frac{1}{3}\right) \\ 
    &= \frac{3}{16} + \frac{15}{16}x^2 \\ 
    &= \frac{3}{16}v_1 + \frac{15}{16}v_2
\end{align}$$
이다. 따라서 $a+b=\frac{9}{8}$이다.

 

 

 

2017 세종대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이

구면좌표계를 이용하면 주어진 삼중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^{2\pi}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{\cos\phi} \rho\cos\phi \rho^2 \sin\phi d\rho d\phi d\theta \\ 
    &= \frac{\pi}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\phi \cos^5 \phi d\phi \\ 
    &= \frac{\pi}{12}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2017 세종대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이

ㄱ. 주어진 부등식 $(xf'(x))' \geq 0$의 양변을 $b$부터 $x$까지 적분하면
$$\int_b^x (tf'(t))' dt \geq \int_b^x 0 dt \quad \Longrightarrow\quad xf'(x)-bf'(b) \geq 0$$
이고 식을 정리하면 $xf'(x) \geq bf'(b)$이다. 이 식을 $x$로 나누면 $f'(x) \geq \frac{bf'(b)}{x}$이다.
이 식의 양변을 다시 $b$부터 $x$까지 적분하면
$$\int_b^x f'(t)dt \geq bf'(b) \int_b^x \frac{1}{t}dt$$
이므로 참이다.


ㄴ. 위의 부등식을 정리하여 다시 쓰면
$$f(x) \geq bf'(b)\int_b^x \frac{1}{t}dt + f(b)$$
이다. 이제 양변에 $x\to\infty$인 극한을 취해보자.

그러면 조건으로부터 $\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x) \leq M$인 실수 $M$이 존재하므로
$$M \geq \lim_{x\to\infty} \left(bf'(b)\int_b^x \frac{1}{t}dt + f(b)\right)$$
여야한다. 그런데 양수 $b$에 대하여
$$\lim_{x\to\infty} \int_b^x \frac{1}{t}dt = \infty$$
이므로, 만약 $f'(b)>0$이라면 위 부등식을 만족시키는 $M$은 존재하지 않는다.
따라서 ㄴ은 거짓이다.


ㄷ. ㄴ의 가장 첫 부등식에 $x\to 0+$인 극한을 취해보자.

그러면 조건으로부터 $\displaystyle\lim_{x\to 0+} f(x) \leq m$인 실수 $m$이 존재하므로
$$m \geq \lim_{x\to 0+} \left(bf'(b)\int_b^x \frac{1}{t}dt + f(b)\right)$$
여야한다. 그런데 양수 $b$에 대하여
$$\lim_{x\to 0+} \int_b^x \frac{1}{t}dt = -\infty$$
이므로, $f'(b)<0$이어야 한다. ㄴ에서 얻은 결과와 합치면 양수 $b$에 대해
$$0 \leq f'(b) \leq 0 \quad\Longrightarrow\quad f'(b)=0$$
이므로 함수 $f$는 상수함수이다.

 

 

 

2017 세종대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이

주어진 네 개의 행벡터 $A_1, \cdots A_4$를 $1, 2, 3, 4$행으로 하는 행렬을 $A$라 하면
계산을 통해 
$$B = A^T A$$
임을 알 수 있다. (행렬곱이 어떻게 계산되는지를 생각해보자.)
그러면 랭크의 성질로부터
$$\begin{align}
    \text{rank}(B) &= \text{rank}(A^TA) \\
    &= \text{rank}(A) \\ 
    &= 3
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2017 세종대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이

주어진 포물면과 평면의 교선을 구하면
$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = \frac{1}{4}$$
이다. 이 곡선의 내부를 $D$라 하면 구하는 체적 $V$는
$$\begin{align}
    V &= \iint_D \left(\frac{1}{4} - \left(x-\frac{1}{2}\right)^2 - y^2\right) dA \\ 
    &= \int_0^{2\pi}\int_0^{\frac{1}{2}} r\left(\frac{1}{4} - r^2\right) drd\theta \\ 
    &= \frac{\pi}{32}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2017 세종대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~