[편입] 2019 세종대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2019 세종대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2019년 세종대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 세종대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(세종대학교 입학처 - 기출문제 - 편입학)

 

 

 

2019 세종대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

2019 세종대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2019 세종대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

정의대로 계산하면 $\frac{5}{4}$임을 얻는다.

 

 

 

2019 세종대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

$1+x^2 = t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \frac{1}{2}\int_1^2 (t-1)\sqrt{t} dt \\ 
    &= \frac{2+2\sqrt{2}}{15}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2019 세종대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

다음 두 성질
$$\begin{align}
    & \cos(x+\pi) = -\cos x \\ 
    & \cos^{-1}(-x) + \cos^{-1}(x) = \pi
\end{align}$$
를 이용하면
$$\begin{align}
    f(x+\pi) &= \cos^{-1}(-\cos x) \\ 
    &= \pi - \cos^{-1}(\cos x) \\ 
    &= \pi - f(x)
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2019 세종대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

$x=0$ 근방에서
\begin{align}
    (1+x^2)^{\frac{2}{x}} &\approx e^{\frac{2}{x} \ln(1+x^2)} \\ 
    &\approx e^{\frac{2}{x}\times x^2} \\ 
    &= e^{2x}
\end{align}
이고
$$e^{2x} \approx 1+2x$$
이므로 주어진 극한은 $x=0$ 근방에서
$$\frac{1+2x-1}{\sin x}$$
와 같으므로 구하는 극한값은 $2$이다.

 

 

 

2019 세종대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

새로운 함수
$$p(x)=2g(x)^{11} + g(x) + 2$$
를 정의하면 $h(x)=f(p(x))$가 성립한다. 함수 $p(x)$를 미분하면 
$$p'(x) = 22g(x)^{10}g'(x) + g'(x)$$
이고, 역함수의 미분법으로부터
$$g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))}$$
가 성립한다. 한편 $f(-1)=2018$이므로 $g(2018)=1$이고 $f'(-1)=8$이므로
$$\begin{align}
    h'(2018) &= f'(p(2018))p'(2018) \\ 
    &= f'(-1) \times \frac{23}{8} \\ 
    &= 23
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2019 세종대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

극곡선 $r=a(1\pm \cos\theta)$의 길이는 $8a$이므로
주어진 곡선의 길이는 $8$이다.

 

 

 

2019 세종대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

피적분함수는 $\sin^{-1} x$의 도함수이므로 구하는 적분값은 $\frac{\pi}{2}$이다.

 

 

 

2019 세종대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

ㄱ. 적분판정법으로부터 발산한다.
ㄴ. 근판정법 (또는 비율판정법)으로부터 수렴한다.
ㄷ. 급수
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n} x^n$$
의 수렴반경이 $e$이므로 (외워도 좋다.) 수렴한다.
(주어진 급수는 $x=1$인 상황이기 때문이다.)

 

 

 

2019 세종대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

매개변수로 정의된 함수의 미분법을 이용하면
$$\frac{dy}{dx} = 1-\frac{2}{t+1}$$
이고 다시 한 번 양변을 $t$로 미분하면
$$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{2t}{(t+1)^3}$$
이 성립한다. 따라서 $t=1$을 대입하면 구하는 값은 $\frac{1}{4}$이다.

 

 

 

2019 세종대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

근판정법을 사용하면
$$\lim_{n\to\infty} \left|\left(\frac{1}{2}\right)^\frac{1}{\sqrt{n}} x\right| = |x| < 1$$
이므로 수렴반지름은 $1$이다.

 

 

 

2019 세종대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

$x=0$ 근방에서
$$\begin{align}
    & \cos x \approx 1 - \frac{1}{2}x^2 \\ 
    & e^{-x} \approx 1-x+\frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{6}x^3
\end{align}$$
이므로 $x^3$의 계수는
$$-\frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$$
이다.

 

 

 

2019 세종대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

주어진 식의 양변을 $f(x)$로 나눈 뒤 양변을 적분하면
$$\ln f(x) + \sin(\pi x) = C$$
인데 $f(0)=1$이므로 $C=0$이다. $x=\frac{1}{2}$를 대입하면
$$\ln f\left(\frac{1}{2}\right) + 1 = 0$$
이므로 
$$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{e}$$
이다.

 

 

 

2019 세종대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

주어진 급수를 다시 쓰면
$$\begin{align}
    &\sqrt{3} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2n+1} \\ 
    &= \sqrt{3}\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \\ 
    &= \frac{\sqrt{3}}{6}\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2019 세종대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

주어진 점에서의 편도함수는 주어진 함수를 주어진 변수로 미분한 뒤
값을 대입한 것과 같으므로
$$(f_x, f_y) = (1, -1)$$
이다. 따라서 구하는 방향도함수의 값은
$$D_u = (f_x, f_y)\circ u = -\frac{1}{\sqrt{5}}$$
이다.

 

 

 

2019 세종대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

[풀이 1]
탄젠트의 덧셈정리로부터
$$\tan(a-b) = \frac{\tan a - \tan b}{1+\tan a\tan b}$$
가 성립한다. 이제 양변에 $\tan^{-1}$을 취하면
$$a-b = \tan^{-1}\left(\frac{\tan a - \tan b}{1+\tan a\tan b}\right)$$
이 성립한다. 이제 $a=\tan^{-1}2, b=\tan^{-1}x$ 라 한 뒤 대입하면
$$\tan^{-1}2-\tan^{-1}x = \tan^{-1}\left(\frac{2-x}{1+2x}\right)$$
이다. 따라서 구하는 적분값은
$$\int_0^2 \left(\tan^{-1}2-\tan^{-1}x\right) dx = \frac{1}{2}\ln 5$$
와 같다.


[풀이 2]
주어진 식 전체를 미분하고 곱해진 $1$을 적분하는 부분적분을 해도 된다.

 

 

 

2019 세종대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

주어진 조건을 정리하면
$$A \begin{pmatrix}
1 & 4 & 0 \\
2 & 2 & 1 \\
3 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}
 = I$$
 임과 같다. 
 $$B = \begin{pmatrix}
1 & 4 & 0 \\
2 & 2 & 1 \\
3 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}
$$
라고 하고 양변에 행렬식을 취하면 행렬식의 성질로부터
$$\det A = \frac{1}{\det B} = \frac{1}{5}$$
이다.

 

 

 

2019 세종대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

주어진 식에서 $x^3 + y=u, y=v$로 치환하면
$$2u^4 + u^2 = 2u-v$$
임을 얻고 식을 정리하면
$$v = -2u^4 - u^2 + 2u$$
가 된다. 이때 $u$의 범위는 모든 실수이므로, $y=v$의 최대는 우변의 사차함수의 최대와 같다.
$f(u) = -2u^4 - u^2 + 2u$라고 하고 미분하면
$$f'(u) = -8u^3 - 2u + 2$$
에서 $f'(u)=0$을 만족시키는 $u$는 $u=\frac{1}{2}$일 때 뿐이다.

따라서 해당 지점에서 극대이자 최대이며 대입하면
$$f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{5}{8}$$
이고 이는 곧 구하는 최댓값이다.

 

 

 

2019 세종대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

주어진 두 벡터공간 $V, W$의 기저를 찾아보면 기본행연산으로부터
$$\begin{align}
    & V = \text{span}\left\{\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix}
, \begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0 \\
0 \\
\end{pmatrix}
, \begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1 \\
0 \\
\end{pmatrix}
\right\} \\ 
& W = \text{span}\left\{\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
1 \\
0 \\
\end{pmatrix}
, \begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0 \\
0 \\
\end{pmatrix}\right\}
\end{align}$$
이다. 그러면 두 벡터 $v_2, w_2$는 각 벡터공간의 기저의 일차결합으로 나타나므로
$$\begin{align}
    & v_2 = (3,a,b,3) \\ 
    & w_2 = (3,c,3,0)
\end{align}$$
이다. 한편 $v_1 + w_1 = (6,5,4,3)$이므로
$$(6,5,4,3) = (6,a+c,b+3,3)$$
이고 $b=1$이고, $a+c=5$이다. 두 벡터 $v_2, w_2$의 내적은
$$v_2 \circ w_2 = 12+ac$$
인데 제약조건 $a+b=5$에서 $ac$의 최대는 $\frac{25}{4}$이다.
따라서 구하는 내적의 최대는 $\frac{73}{4}$이다.

 

 

 

2019 세종대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

구면좌표계를 이용하면 구하는 질량 $m$은
$$\begin{align}
    m &= \iiint_E m(x,y,z)dV \\ 
    &= \int_0^{2\pi}\int_0^{\frac{\pi}{4}}\int_0^{\cos\phi} \rho^3 sin\phi\cos\phi d\rho d\phi d\theta \\ 
    &= \frac{\pi}{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}}\sin \phi\cos^5 \phi d\phi \\ 
    &= \frac{7}{96}\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2019 세종대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

주어진 경로를 $C_1$이라 하고 점 $(-1, 0)$에서 $(1, 0)$까지 이동하는 직선경로를 $C_2$라 하자.
또, $D=C_1 \cup C_2$라 하면 경로 $D$는 폐곡선이다.
그린정리를 이용하면 구하는 선적분의 값은
$$\text{(Integral)} = \iint_{D'} 1 dA - \int_{C_2} (x+e^{y^3})dy$$
이다. (단, $D'$은 경로 $D$의 내부이다.)

그런데 경로 $C_2$위에서 $dy=0$이므로
$$\int_{C_2} (x+e^{y^3})dy = 0$$
이다. 이제 남은 이중적분을 계산하면
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iint_{D'} 1 dA \\ 
    &= \int_0^1 \int_{-(1-\sqrt{y})^2}^{(1-\sqrt{y})^2} 1 dxdy \\ 
    &= 2\int_0^1 (1-\sqrt{y})^2 dy \\ 
    &= 4\int_0^1 t(1-t)^2 dt \quad (y=t^2) \\ 
    &= \frac{1}{3}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2019 세종대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이

피적분함수 
$$g(x)=(1-x)\sqrt{1-4x^2}$$
의 정의역은 
$$-\frac{1}{2}\leq x \leq \frac{1}{2}$$
이고, 정의역 내부에서 항상 $g(x) \geq 0$이다.

함수 $f(x)$는 함수 $g(x)$를 정적분하는 함수이므로, 함수 $f(x)$가 최대이려면
적분구간의 길이가 최대가 되면 된다. (피적분함수인 $g(x)$가 음이 아닌 실숫값을 갖기 때문이다.)

따라서 $f(x)$의 최댓값은 $\displaystyle f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$이고
$$\begin{align}
    f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) &= \int_0^{\frac{1}{2}} (1-x)\sqrt{1-4x^2}dx \\ 
    &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left(1-\frac{\sin t}{2}\right)\frac{\cos^2 t}{2}dt \quad \left(x = \frac{1}{2}\sin t\right) \\ 
    &= \frac{1}{8}\left(\pi-\frac{2}{3}\right)
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2019 세종대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이

제 1 팔분공간상의 점 $P(a,b,c)$가 주어진 타원면 위의 점이라고 하면 
내접하는 직육면체의 부피 $V$는 $V=8abc$이다. 
한편 산술기하평균 부등식을 이용하면
$$\begin{align}
    8 &= 8a^2 + 2b^2 + c^2 \\ 
    &\geq 3(16a^2b^2c^2)^{\frac{1}{3}} \\ 
\end{align}$$
이고 식을 정리하면
$$\frac{8}{3} \geq (4abc)^{\frac{2}{3}}$$
에서 
$$\frac{32}{9}\sqrt{6} \geq 8abc = V$$
임을 얻는다. 따라서 최댓값은 $\frac{32}{9}\sqrt{6}$이다.

 

 

 

2019 세종대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이

ㄱ. 이차형식의 생김새를 떠올려보면 자명하게 참이다.

ㄴ. 반례 :
$$A = \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{pmatrix}
$$
이면 $\det A > 0$이지만 함수 $f$는 $x=0$에서 극대이다.

ㄷ. $f(0)$이 최소라는 사실로부터 주어진 행렬 $A$는 양의 정부호 (양정치) 행렬이다.
따라서 행렬 $A$의 고유치는 모두 양수이므로(대칭행렬이므로 모든 고유치가 실수임이 보장된다.)
대각합 또한 양수이다.

 

 

 

2019 세종대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이

두 점 $P, Q$의 좌표를 구하면
$$\begin{align}
    & P : (t+1, 2t, 3t+1) \quad (-1\leq t\leq 1) \\ 
    & Q : (2\cos u, \sin u, 0)
\end{align}$$
이다. 따라서 두 벡터 $OP, OQ$의 내적은
$$\begin{align}
    OP\circ OQ &= 2(t+1)\cos u+2t\sin u \\ 
    &= \sqrt{(2t)^2 + (2t+2)^2}\sin(u + \alpha)
\end{align}$$
이다. 이제 표기의 편의를 위해
$$\begin{align}
    & f(t) = \sqrt{(2t)^2 + (2t+2)^2} \\ 
    & g(u) = \sin(u+\alpha)
\end{align}$$
라고 하면 $-1\leq t\leq 1$에서 $f(t)>0$이다.
따라서 주어진 내적이 최소가 되려면
$g(u) = -1$이면서 동시에 $f(t)$가 최대가 되면 된다.
$u$의 범위는 마음대로 조절할 수 있으므로 $f(t)$의 최댓값만 구한 뒤 $-1$을 곱하면 되고
$$\begin{align}
    f(t) &= \sqrt{8t^2 + 8t + 4} \\ 
    &\geq \sqrt{20}
\end{align}$$
이므로 구하는 최솟값은 $-2\sqrt{5}$이다.

 

 

 

2019 세종대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이

$x+y=u, y=v$로 변수변환하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^1 \int_0^u e^{u^2}dvdu \\ 
    &= \int_0^1 ue^{u^2}du \\ 
    &= \frac{1}{2} (e-1)
\end{align}$$
이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2019 세종대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

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