[편입] 2018 세종대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2018 세종대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2018년 세종대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 세종대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(세종대학교 입학처 - 기출문제 - 편입학)

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

삼각함수의 성질($\sin(\pi - x) = \sin x$)을 이용하면
$$\sin^{-1}\left(\sin\frac{5\pi}{7}\right)=\sin^{-1}\left(\sin\frac{2\pi}{7}\right)=\frac{2\pi}{7}$$
이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

쌍곡함수의 성질을 이용하면
$$\frac{\cosh x}{1+\sinh^2 x} = 1$$
이므로 주어진 극한값은 $2$이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

주어진 극곡선의 길이 $L$은
$$\begin{align}
    L &= \int_0^1 \sqrt{e^{-2\theta}+e^{-2\theta}}d\theta \\ 
    &= \sqrt{2}\int_0^1  e^{-\theta}d\theta \\ 
    &= \sqrt{2}\left(1-\frac{1}{e}\right) 
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

$x=0$ 근방에서
$$\ln(1+x) \approx x - \frac{1}{2}x^2$$
이므로
$$\frac{\ln(1+x)}{x} \approx 1 - \frac{1}{2}x$$
이다. 따라서 $a=-\frac{1}{2}, b=1$이므로 $a+b=\frac{1}{2}$이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

부분적분을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \frac{1}{2}x^2 \tan^{-1}x \bigg|_0^1 - \frac{1}{2}\int_0^1 \frac{x^2}{x^2 + 1}dx \\ 
    &= \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2}\int_0^1 \left(1 - \frac{1}{x^2 + 1}\right) dx \\ 
    &= \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

주어진 함수는 2차 동차함수이므로
$$xf_x + yf_y + zf_z = 2f(x,y,z)$$
가 성립한다. 따라서 
$$g(1,1,1)=2f(1,1,1)=14$$
이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

방향도함수의 최댓값은 경도벡터의 크기와 같다. 따라서
$$\nabla f = (1, 2, 3)\quad \Longrightarrow\quad |\nabla f| = \sqrt{14}$$
이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

주어진 행렬을 $A$라 하면 고윳값 $0$에 대응하는 고유공간의 차원 $V$는
$$V = 5-\text{rank}(A) = 4$$
이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

구하는 값은 함수 $f(x)$의 $x=0$에서의 급수전개에서 $x^{40}$의 계수이다.
$x=0$ 근방에서
$$\begin{align}
    & \ln\left(1 + x^{10}\right) \approx x^{10} - \frac{1}{2}x^{20} + \frac{1}{3}x^{30} \\ 
    & \tan^{-1}x^{10} \approx x^{10} - \frac{1}{3}x^{30}
\end{align}$$
이므로 둘을 곱했을 때 $x^{40}$의 계수는
$$\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{3}\right)x^{40} = 0$$
이므로 구하는 값은 $0$이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

구하는 값은
$$\min\left(|-2|, \left|\frac{2}{3}\right|\right) = \frac{2}{3}$$
이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

구하는 넓이는 사이클로이드의 한 아치의 절반의 넓이에서
세 직선 $y=0, x=\pi, y=\frac{2}{\pi}x$가 이루는 삼각형의 넓이를 뺀 것과 같다.
따라서 구하는 넓이 $S$는
$$S = \frac{3}{2}\pi - \frac{1}{2}\times 2\times \pi = \frac{\pi}{2}$$
이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

각각 계산하는것이 아닌 한번에 계산하는 방법을 이용하면
$$\begin{align}
    a_{2016} + a_{2018} &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left(\tan^{2016}x + \tan^{2018}x\right)dx \\ 
    &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^{2016}x \left(1 + \tan^2 x\right) dx \\ 
    &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^{2016}x \sec^2 xdx \\ 
    &= \int_0^1 t^{2016}dt \quad (\tan x = t) \\ 
    &= \frac{1}{2017}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

극좌표를 이용하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^{2\pi}\int_0^1 r\sqrt{1-r^2}drd\theta \\ 
    &= \frac{2}{3}\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

적분순서를 변경하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^2 \int_0^{\sqrt{2y-y^2}} \frac{1}{\sqrt{2-y}}dxdy \\ 
    &= \int_0^2 \sqrt{y} dy \\ 
    &= \frac{4}{3}\sqrt{2}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

$$6=x^2 + 2y^2 + 3z^2 \geq 3 (6x^2 y^2 z^2)^{\frac{1}{3}}$$
에서 식을 정리하면 
$$(xyz)^2 \leq \frac{4}{3}$$
이므로 $xyz$의 최대는 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

통분하면 구하는 값은
$$\begin{align}
    \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} &= \frac{ab+bc+ca}{abc} \\ 
    &= \frac{C_{11} + C_{22} + C_{33}}{\det A} \\ 
    &= \frac{-2+0+0}{1} \\ 
    &= -2
\end{align}$$
이다. (단, $C_{nm}$은 여인수이다.)

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

경로 $C$의 내부를 $D$라 하자.
그린정리를 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iint_D e^y dA \\ 
    &= \int_0^2 \int_0^2 e^y dydx \\ 
    &= 2(e^2 - 1)
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

먼저 주어진 식을 미분하면
$$f'(x) = -\frac{1}{(2+\cos x)^2}$$
임을 확인하자. 
구하는 식에서 $f(x)$를 미분하고 $\cos x$를 적분하는 부분적분을 하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= f(x)\sin x\bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} + \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{(2+\cos x)^2} dx \\ 
    &= 0 + \int_2^3 \frac{1}{t^2} dt \quad (2+\cos x = t) \\ 
    &= \frac{1}{6}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

우변을 전부 좌변으로 이항하여 
$$f(x,y,z)=(x+2y^2+z)^2-12x+3y^2+6z=0$$
을 생각하자. 조건을 만족시키는 $(x,y)=(a,b)$ 근방에서 $z$는 $x, y$에 대한
이변수함수의 꼴로 나타난다. 즉,
$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial y} = 0$$
이다. 그런데 음함수의 미분법으로부터
$$\begin{align}
    &\frac{\partial z}{\partial x} =-\frac{f_x}{f_z} = -\frac{2(x+2y^2+z)-12}{2(x+2y^2+z)+6} = 0 \\ 
    &\frac{\partial z}{\partial y} =- \frac{f_y}{f_z} = -\frac{8y(x+2y^2+z)+6y}{2(x+2y^2+z)+6} = 0
\end{align}$$
이 성립한다. 따라서 첫번째 식에서
$$x+2y^2+z=6$$
이고 두번째 식에서
$$y=0 \quad \text{or}\quad x+2y^2+z=-\frac{3}{4}$$
이다. 그런데 두 등식을 동시에 만족시켜야 하므로
$$x+2y^2+z=6, \quad y=0$$
이다. 따라서 $y=0$을 왼쪽 식에 대입하면 $x+z=6$임을 얻는다.

한편 이 두 식을 가장 처음의 $f(x,y,z)=0$에 대입하면
$$12x-6z=36\quad\Longrightarrow\quad 2x-z=6$$
이다. 둘을 연립하면 $x=4, z=2$이고 $y=0$이다.

따라서 $a=4, b=0, c=2$이므로 구하는 값은 $2$이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

주어진 행렬은 대칭행렬이며, $\text{rank}(A) = 3$이다.

ㄱ. $\text{rank}(A) = 3$이므로 참이다.

ㄴ. 대칭행렬이므로 맞다.

ㄷ. $1\times 1$, $2\times 2$, $3\times 3$ 크기의 주부분행렬식이 모두 양수인지 확인하자.

$1\times 1$크기의 주부분행렬식은
$$\det (2) = 2 > 0$$
$2\times 2$크기의 주부분행렬식은
$$\det \begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}
 = 2 > 0$$
$3\times 3$크기의 주부분행렬식은
$$\det \begin{pmatrix}
2 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
= 1 > 0$$
이므로 주어진 행렬은 양의 정부호 (양정치)행렬이다. 따라서 참이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이

구하는 부피 $V$는 영역 $D : (5x-y)^2 + (x+y)^2 \leq 6$에 대하여
$$V = \iint_D (6 - (5x-y)^2 - (x+y)^2) dA$$
이다. 이제 $5x-y =u$, $x+y=v$로 변수변환하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \frac{1}{6}\iint_{D'}(6-u^2 - v^2)dA \quad (D' : u^2 + v^2 \leq 6) \\ 
    &= \frac{1}{6}\int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt{6}} r(6-r^2)drd\theta \\ 
    &= 3\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이

$x=f(t)$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^1 tf(t)f'(t)dt \\ 
    &= \frac{t}{2}(f(t))^2 \bigg|_0^1  - \frac{1}{2}\int_0^1 (5t^4 + 4t)dt \\ 
    &= 3
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이

주어진 매개곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이는 매개곡선과 $x$축이 이루는 넓이의 2배와 같다.
$x$축과 만나는 지점을 구하기 위해 방정식
$$y=\cos 2t\tan t = 0$$
을 풀면 
$$t=0, \frac{\pi}{4}$$
를 얻는다. 따라서 구하는 넓이 $S$는
$$\begin{align}
    S &= 2\int_0^{\frac{\pi}{4}} y \frac{dx}{dt} dt \\ 
    &= -8\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin^2 t\cos 2tdt \\ 
    &= -4\int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos 2t - \cos^2 2t)dt \\ 
    &= 2\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos^2 u - \cos u)\quad (2t=u)\\ 
    &= \frac{\pi}{2} - 2
\end{align}$$
이다. 그런데 이는 음수이므로 넓이가 될 수 없다.

이런 문제가 발생한 이유는 곡선의 진행방향을 고려하지 않아서 생긴 것인데,
쉽게 말하면 우리는 $x$축과 곡선이 이루는 영역의 부호있는 넓이를 구했는데
윗부분을 구하면 양수가 나오고, 아랫부분을 구하면 음수가 나올것이다.

우리는 아랫부분을 구했기 때문에 음수가 나온것이고, $(-1)$을 곱해주면 구하는 넓이는
$$S = 2 - \frac{\pi}{2}$$
이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이

주어진 이상적분이 문제가 되는 지점은 $x=1$이다.
분자의 식을 $x=1$을 기준으로 테일러전개하면
$$\begin{align}
    x^x - x &= x(x^{x-1} - 1) \\ 
    &= x\left(\exp((x-1)\ln x) - 1\right) \\ 
    &\approx x\left(\exp\left((x-1)^2 - \frac{1}{2}(x-1)^3 + \cdots\right) - 1\right) \\ 
    &\approx x\left(1+(x-1)^2 - 1\right) \\ 
    &= x(x-1)^2
\end{align}$$
이다. 따라서 주어진 이상적분은 $x=1$ 근방에서 근사적으로
$$\int_1^2 \frac{x(x-1)^2}{(x-1)^p}dx$$
와 같으므로, 이가 수렴하도록 하는 자연수 $p$의 최댓값은 $2$이다.

 

 

 

2018 세종대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이

함수 $\sin^{-1}x$가 정의되려면 $-1\leq x\leq 1$이어야 한다.
이를 바탕으로 주어진 곡면이 정의되는 범위는
$$-1\leq x^2+y^2-2 \leq 1$$
이고, 정리하면 
$$1 \leq x^2+y^2 \leq 3$$
이다. 한편 
$$\begin{align}
    & x^2 + y^2 = 1\quad \Longrightarrow\quad z=\frac{\pi}{2} \\ 
    & x^2 + y^2 = 3 \quad\Longrightarrow\quad z=\frac{7\pi}{2}
\end{align}$$
이므로, 구하는 영역을 옆에서 보면 다음 그림과 같다.

해당 영역의 부피를 구하기 위해 전체 영역을 아래 그림과 같이 세 영역으로 나누자.

가장 큰 원기둥의 부피는 
$$\textcolor{blue}{V = 3\pi\times \frac{7\pi}{2} = \frac{21}{2}\pi^2}$$
이고, 작은 원기둥 (초록색)의 부피는
$$\textcolor{green}{V = \pi\times\frac{1}{2}\pi = \frac{1}{2}\pi^2}$$
이다. 중간 영역 (빨간색)의 부피는 회전체의 부피를 이용하면
$$\textcolor{red}{V = 2\pi\int_1^{\sqrt{3}} x\left(\sin^{-1}(x^2 - 2) + \pi x^2\right)dx = 4\pi^2}$$
이다. 이상을 종합하면 구하는 부피(흰색) $V$는 
$$\begin{align}
    V &= \textcolor{blue}{V} - \textcolor{green}{V} - \textcolor{red}{V} \\ 
    &= 6\pi^2
\end{align}$$
이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2018 세종대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~