[편입] 2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2021년 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 세종대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(세종대학교 입학처 - 기출문제 - 편입학)

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 빠른 정답

2021 세종대학교(오후) 편입수학 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 1번 풀이

쌍곡함수의 정의로부터
$$\tanh x = \frac{e^{2x} - 1}{e^{2x} + 1}$$
이므로, $x=1$을 대입하면 정답은 2번이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 2번 풀이

주어진 극한값이 0임을 우리는 이미 알고있다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 3번 풀이

주어진 스칼라 삼중적의 값은
$$\begin{align}
    (a\times b)\circ c &= \det \begin{pmatrix}
1 & -2 & 3 \\
2 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 2 \\
\end{pmatrix} \\ 
&= \begin{pmatrix}
1 & -2 & 7 \\
2 & 0 & 1 \\
0 & \textcolor{red}{1} & 0 \\
\end{pmatrix} \\ 
&= - \det \begin{pmatrix}
1 & 7 \\
2 & 1 \\
\end{pmatrix} \\ 
&= 13
\end{align}$$
이다. (빨간색 성분을 포함한 행 또는 열을 기준으로 라플라스 전개)

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 4번 풀이

두 벡터의 일차결합으로 $(-1, 3)$을 나타내면
$$(-1, 3) = (1, 1) - 2(1, -1)$$
이다. 따라서 선형사상의 선형성으로부터
$$\begin{align}
    L(-1, 3) &= L(1,1) - 2L(1, -1) \\ 
    &= (4, 1) - 2(2,2) \\ 
    &= (0, -3)
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 5번 풀이

주어진 점에서 함수 $f$의 경도는
$$\begin{align}
    & \nabla f \\ 
    &= (\cos(y+z^2), -x\sin(y+z^2), -2xz\sin(y+z^2)) \\ 
    &= (1,0,0)
\end{align}$$
이다. 따라서 구하는 방향도함수의 값은
$$D_u = \nabla f \circ u = \frac{1}{\sqrt{2}}$$
이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 6번 풀이

$x=t^2$으로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= 2\int_1^2 \frac{1}{t+1}dt \\ 
    &= \ln\frac{9}{4}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 7번 풀이

주어진 점에서의 경도벡터는
$$\nabla f = (4x, 2y, -1) = (4,2,-1)$$
이다. 이제 두 점 $(a,2,3)$, $(1,1,2)$를 시점과 종점으로 하는 벡터와
위에서 구한 경도벡터는 수직이다.
따라서
$$(a,2,3)\circ (a-1,1,1) = 0 \quad \Longleftrightarrow\quad a=\frac{3}{4}$$
이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 8번 풀이

구하는 넓이 $S$는
$$\begin{align}
    S &= \int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^1 \cos^{-1}x dx \\ 
    &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} t\sin tdt \quad (x=\cos t) \\ 
    &= \frac{\sqrt{2}(4-\pi)}{8}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 9번 풀이

ㄱ. p급수 판정법으로부터 수렴한다.
ㄴ. $e^x$의 급수전개를 생각하면 수렴한다.
ㄷ. 적분판정법으로부터 발산한다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 10번 풀이

구하는 길이 $l$은
$$\begin{align}
    l &= \int_0^{2\pi} \sqrt{\theta^4 + 4\theta^2}d\theta \\ 
    &= \int_0^{2\pi} \theta\sqrt{\theta^2 + 4} d\theta \\ 
    &= \frac{8}{3}\left((\pi^2 + 1)^{\frac{3}{2}}-1\right)
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 11번 풀이

좌변의 값은 $2^n \det A$이고 우변의 값은 $8\det A$이다. 따라서 $n=3$이므로
$$\text{tr}(2I_n) = 6$$
이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 12번 풀이

무리식의 급수전개로부터
$$\sqrt{1+x^3} \approx 1+\frac{1}{2}x^3 -\frac{1}{8}x^6 + \frac{1}{16}x^9$$
이므로 $x^{11}$의 계수는 $\frac{1}{16}$이다. 따라서 구하는 값은 $\frac{11!}{16}$이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 13번 풀이

구하는 심장형 곡선의 넓이는 $\frac{3}{2}\pi$이다. (암기)

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 14번 풀이

함수 $y=\sin^{-1}(\sin x)$의 그래프는 다음과 같다.

이때 $\pi \leq x \leq \frac{3}{2}\pi$에서 주어진 함수의 적분값은
삼각형의 넓이
$$S = \frac{1}{2} \times \left(\frac{\pi}{2}\right)^2 = \frac{\pi^2}{8}$$
에 부호를 고려한 $-S$이다.

그리고 $\pi \leq x \leq \frac{5}{2}\pi$에서 $y=\sin^{-1}(\sin x)$의 적분값은
$$\int_{\pi}^{\frac{5}{2}\pi} \sin^{-1}(\sin x)dx = (S - 2S) = -\frac{\pi^2}{8}$$
이다. 한편 $\sin^{-1}(-\sin x) = -\sin^{-1}(\sin x)$이므로 원래 구하는 적분값은
$$-(-S) = \frac{\pi^2}{8}$$
이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 15번 풀이

$x=\frac{3}{2}\sin t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \frac{9}{8}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 tdt \\ 
    &= \frac{9}{32}\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 16번 풀이

직접 $A$를 계산해보면 1행 1열의 원소가 $0$이다.

이때 따라서 곱해지는 행렬 $P$는 1행 1열의 원소가 $0$이 아니도록
행의 순서를 교환해주는 치환행렬이어야 하나, 3번은 1행이 교환되지 않는다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 17번 풀이

먼저 곡면과 평면의 교선을 구하기 위해 같다고 두면
$$4x^2 - 4x + y^2 - 2y = -1$$
에서 식을 정리하면
$$4\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 + (y-1)^2 = 1$$
이므로 $x=\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos t$, $y=1+\sin t$를 얻고 평면에 대입하면
$z=2\sin t+2\cos t+3$을 얻는다. 따라서
$$\begin{align}
    & r(t) = \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos t, 1+\sin t, 2\sin t+2\cos t+3 \right) \\ 
    & r'(t) = \left(-\frac{1}{2} \sin t, \cos t, 2\cos t -2\sin t \right) \\ 
    & r''(t) = \left(-\frac{1}{2}\cos t ,-\sin t,-2\sin t-2\cos t  \right)
\end{align}$$
이고, 주어진 점은 $t=0$인 상황이므로
$$r'(0) = (0,1,2), r''(0) = \left(-\frac{1}{2},0, -2\right)$$
이다. 따라서 구하는 곡률 $\kappa$는
$$\kappa = \frac{|r'(0)\times r''(0)|}{|r'(0)|^3} = \frac{\sqrt{21}}{10\sqrt{5}}$$
이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 18번 풀이

주어진 경로를 매개화하면 $r(t) = (t^2, 1-t)$이다. ($t : 1 \to 0$)
선적분의 정의대로 계산하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_1^0 (2t\sinh (t^2) + 2t\cosh(1-t))dt \\ 
    &= 3(1-\cosh 1)
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 19번 풀이

기본행연산을 이용하여 주어진 $A$의 행사다리꼴을 구하면
$$\text{ref}(A) = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1-n \\
0 & 0 & 0 & m-5 
\end{pmatrix}$$
이다. 한편 행렬 $A^TA$는 $4\times 4$행렬이고, $\text{rank}A = \text{rank}A^TA$가 성립하므로 $\text{rank}A = 4$이면
행렬 $A^TA$는 가역행렬이 된다.
이때 $n\neq 1$, $m\neq 4$인 경우 전부 조건을 만족시키므로 가능한 순서쌍의 수는 $24$이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 20번 풀이

영역 $D : (x-1)^2 + y^2 \leq 1,\quad y\geq 0$에 대하여
주어진 이중적분의 값은 대칭성으로부터 영역 $D$에서의 이중적분과 같다.
따라서 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iint_D (x^2 + y^2)^{\frac{3}{2}} \\ 
    &= \int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{2\cos\theta} r^4 drd\theta \\ 
    &= \frac{32}{5}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^5\theta d\theta \\ 
    &= \frac{256}{75}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 21번 풀이

구면좌표계를 이용하면 주어진 삼중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^{2\pi}\int_0^a \int_0^{\sqrt{10}} \rho^3 \sin\phi d\rho d\phi d\theta \\ 
    &= 50\pi \int_0^a \sin\phi d\phi \\ 
    &= 50\pi\left(1-\cos a\right) \\ 
    &= 50\pi\left(1-\frac{\sqrt{10}}{10}\right) \\ 
    &= 5\pi (10-\sqrt{10})
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 22번 풀이

구하는 곡면의 넓이 $S$는
$$\begin{align}
    S &= 2\pi\int_1^{16} x\sqrt{1+(y')^2} dx \\ 
    &= 2\pi\int_1^{16} x^{\frac{5}{4}} dx \\ 
    &= \frac{8}{9}\pi (2^9 - 1)
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 23번 풀이

주어진 적분경로는 폐경로이므로, 그린정리를 사용하자.
영역 $D$가 세 직선 $x=0, y=0, x+y=1$으로 둘러싸인 영역일 때
주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iint_D (3x^2 - 2y)dA \\ 
    &= \int_0^1 \int_0^{1-x} (3x^2 - 2y)dydx \\ 
    &= \int_0^1 (3x^2 (1-x) - (1-x)^2)dx \\ 
    &= -\frac{1}{12}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 24번 풀이

$x-y=u, x+y=v$로 변수변환하면 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \frac{1}{2}\int_1^3 \int_{-v}^v \cosh\left(\frac{u}{v}\right) dudv \\ 
    &= \sinh 1 \int_1^3 vdv \\ 
    &= 4\sinh 1 \\ 
    &= 2(e - e^{-1})
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 25번 풀이

주어진 노름의 정의에서 $|x|\leq 1$을 $|x|=1$으로 바꿔도 동치이다. 즉, 주어진 문제는 노름
$$|A| = \max \left\{|(Ax^T)^T, \quad x \in \mathbb{R}^n,\quad |x| = 1\right\}$$
으로 생각해도 된다.

한편 $B = U_2 A U_3$라고 하면 
$$|B| = \max \left\{|(Bx^T)^T, \quad x \in \mathbb{R}^n,\quad |x| = 1\right\}$$
이다. 이제 $(Bx^T)^T = v$라고 하면 내적 $<,>$에 대하여
$$\begin{align}
    |v| &= \sqrt{<v^T, v>} \\ 
    &= \sqrt{x^TU_3 ^T A^T U_2 T U_2 AU_3 v} \\ 
    &= \sqrt{x^T U_3 ^TA^TAU_3 x} \\ 
    &= \sqrt{w^T A^TA w} \quad (U_3x = w, |x| = |w| = 1)
\end{align}$$
이다. 그러면 (세종대학교 21년도 오전 25번 문제)와 유사하게 이차형식으로부터 
$\sqrt{w^T A^TA w}$의 최대는 행렬 $A^TA$의 고유치 중 가장 큰 값에 루트를 씌운 값과 같고
$$A^TA = \begin{pmatrix}
8 & 2 & -2 \\
2 & 1 & 0 \\
-2 & 0 & 1 
\end{pmatrix}$$
에서 행렬 $A^TA$의 고유치는
$$\lambda = 0, 1, 9$$
이다. 따라서 구하는 최댓값은 $3$이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~