[편입] 2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2021년 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 세종대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(세종대학교 입학처 - 기출문제 - 편입학)

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 빠른 정답

2021 세종대학교(오후) 편입수학 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 1번 풀이

쌍곡함수의 정의로부터
$$\tanh x=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$$
이므로, $x=1$을 대입하면 정답은 2번이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 2번 풀이

주어진 극한값이 0임을 우리는 이미 알고있다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 3번 풀이

주어진 스칼라 삼중적의 값은
$$\begin{array}{rl}(a\times b)\circ c& =det\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 3\\ 2& 0& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 7\\ 2& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)\\ & =-det\left(\begin{array}{cc}1& 7\\ 2& 1\end{array}\right)\\ & =13\end{array}$$
이다. (빨간색 성분을 포함한 행 또는 열을 기준으로 라플라스 전개)

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 4번 풀이

두 벡터의 일차결합으로 $(-1,3)$을 나타내면
$$(-1,3)=(1,1)-2(1,-1)$$
이다. 따라서 선형사상의 선형성으로부터
$$\begin{array}{rl}L(-1,3)& =L(1,1)-2L(1,-1)\\ & =(4,1)-2(2,2)\\ & =(0,-3)\end{array}$$
이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 5번 풀이

주어진 점에서 함수 $f$의 경도는
$$\begin{array}{rl}& \mathrm{\nabla }f\\ & =(\cos (y+z^2),-x\sin (y+z^2),-2xz\sin (y+z^2))\\ & =(1,0,0)\end{array}$$
이다. 따라서 구하는 방향도함수의 값은
$$D_u=\mathrm{\nabla }f\circ u=\frac{1}{\sqrt{2}}$$
이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 6번 풀이

$x=t^2$으로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =2{\int }_1^2\frac{1}{t+1}dt\\ & =\ln \frac{9}{4}\end{array}$$
이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 7번 풀이

주어진 점에서의 경도벡터는
$$\mathrm{\nabla }f=(4x,2y,-1)=(4,2,-1)$$
이다. 이제 두 점 $(a,2,3)$, $(1,1,2)$를 시점과 종점으로 하는 벡터와
위에서 구한 경도벡터는 수직이다.
따라서
$$(a,2,3)\circ (a-1,1,1)=0⟺a=\frac{3}{4}$$
이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 8번 풀이

구하는 넓이 $S$는
$$\begin{array}{rl}S& ={\int }_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^1{\cos }^{-1}xdx\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}t\sin tdt(x=\cos t)\\ & =\frac{\sqrt{2}(4-\pi )}{8}\end{array}$$
이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 9번 풀이

ㄱ. p급수 판정법으로부터 수렴한다.
ㄴ. $e^x$의 급수전개를 생각하면 수렴한다.
ㄷ. 적분판정법으로부터 발산한다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 10번 풀이

구하는 길이 $l$은
$$\begin{array}{rl}l& ={\int }_0^{2\pi }\sqrt{{\theta }^4+4{\theta }^2}d\theta \\ & ={\int }_0^{2\pi }\theta \sqrt{{\theta }^2+4}d\theta \\ & =\frac{8}{3}(({\pi }^2+1{)}^{\frac{3}{2}}-1)\end{array}$$
이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 11번 풀이

좌변의 값은 $2^{n}detA$이고 우변의 값은 $8detA$이다. 따라서 $n=3$이므로
$$\text{tr}(2I_n)=6$$
이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 12번 풀이

무리식의 급수전개로부터
$$\sqrt{1+x^3}\approx 1+\frac{1}{2}{x}^3-\frac{1}{8}{x}^6+\frac{1}{16}{x}^9$$
이므로 $x^{11}$의 계수는 $\frac{1}{16}$이다. 따라서 구하는 값은 $\frac{11!}{16}$이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 13번 풀이

구하는 심장형 곡선의 넓이는 $\frac{3}{2}\pi$이다. (암기)

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 14번 풀이

함수 $y={\sin }^{-1}(\sin x)$의 그래프는 다음과 같다.

이때 $\pi \le x\le \frac{3}{2}\pi$에서 주어진 함수의 적분값은
삼각형의 넓이
$$S=\frac{1}{2}\times {\left(\frac{\pi }{2}\right)}^2=\frac{{\pi }^2}{8}$$
에 부호를 고려한 $-S$이다.

그리고 $\pi \le x\le \frac{5}{2}\pi$에서 $y={\sin }^{-1}(\sin x)$의 적분값은
$${\int }_{\pi }^{\frac{5}{2}\pi }{\sin }^{-1}(\sin x)dx=(S-2S)=-\frac{{\pi }^2}{8}$$
이다. 한편 ${\sin }^{-1}(-\sin x)=-{\sin }^{-1}(\sin x)$이므로 원래 구하는 적분값은
$$-(-S)=\frac{{\pi }^2}{8}$$
이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 15번 풀이

$x=\frac{3}{2}\sin t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\frac{9}{8}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}tdt\\ & =\frac{9}{32}\pi \end{array}$$
이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 16번 풀이

직접 $A$를 계산해보면 1행 1열의 원소가 $0$이다.

이때 따라서 곱해지는 행렬 $P$는 1행 1열의 원소가 $0$이 아니도록
행의 순서를 교환해주는 치환행렬이어야 하나, 3번은 1행이 교환되지 않는다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 17번 풀이

먼저 곡면과 평면의 교선을 구하기 위해 같다고 두면
$$4x^2-4x+y^2-2y=-1$$
에서 식을 정리하면
$$4{(x-\frac{1}{2})}^2+(y-1{)}^2=1$$
이므로 $x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos t$, $y=1+\sin t$를 얻고 평면에 대입하면
$z=2\sin t+2\cos t+3$을 얻는다. 따라서
$$\begin{array}{rl}& r(t)=(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos t,1+\sin t,2\sin t+2\cos t+3)\\ & r^{\prime }(t)=(-\frac{1}{2}\sin t,\cos t,2\cos t-2\sin t)\\ & r^{″}(t)=(-\frac{1}{2}\cos t,-\sin t,-2\sin t-2\cos t)\end{array}$$
이고, 주어진 점은 $t=0$인 상황이므로
$$r^{\prime }(0)=(0,1,2),r^{″}(0)=(-\frac{1}{2},0,-2)$$
이다. 따라서 구하는 곡률 $\kappa$는
$$\kappa =\frac{|r^{\prime }(0)\times r^{″}(0)|}{|r^{\prime }(0){|}^3}=\frac{\sqrt{21}}{10\sqrt{5}}$$
이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 18번 풀이

주어진 경로를 매개화하면 $r(t)=(t^2,1-t)$이다. ($t:1\to 0$)
선적분의 정의대로 계산하면 주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_1^0(2t\sinh (t^2)+2t\cosh (1-t))dt\\ & =3(1-\cosh 1)\end{array}$$
이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 19번 풀이

기본행연산을 이용하여 주어진 $A$의 행사다리꼴을 구하면
$$\text{ref}(A)=\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 0& 1\\ 0& 1& 1& 2\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1-n\\ 0& 0& 0& m-5\end{array}\right)$$
이다. 한편 행렬 $A^{T}A$는 $4\times 4$행렬이고, $\text{rank}A=\text{rank}{A}^{T}A$가 성립하므로 $\text{rank}A=4$이면
행렬 $A^{T}A$는 가역행렬이 된다.
이때 $n\ne 1$, $m\ne 4$인 경우 전부 조건을 만족시키므로 가능한 순서쌍의 수는 $24$이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 20번 풀이

영역 $D:(x-1{)}^2+y^2\le 1,y\ge 0$에 대하여
주어진 이중적분의 값은 대칭성으로부터 영역 $D$에서의 이중적분과 같다.
따라서 주어진 이중적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\iint }_D(x^2+y^2{)}^{\frac{3}{2}}\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\int }_0^{2\cos \theta }{r}^{4}drd\theta \\ & =\frac{32}{5}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^5\theta d\theta \\ & =\frac{256}{75}\end{array}$$
이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 21번 풀이

구면좌표계를 이용하면 주어진 삼중적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^a{\int }_0^{\sqrt{10}}{\rho }^3\sin \varphi d\rho d\varphi d\theta \\ & =50\pi {\int }_0^a\sin \varphi d\varphi \\ & =50\pi (1-\cos a)\\ & =50\pi (1-\frac{\sqrt{10}}{10})\\ & =5\pi (10-\sqrt{10})\end{array}$$
이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 22번 풀이

구하는 곡면의 넓이 $S$는
$$\begin{array}{rl}S& =2\pi {\int }_1^{16}x\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx\\ & =2\pi {\int }_1^{16}{x}^{\frac{5}{4}}dx\\ & =\frac{8}{9}\pi (2^9-1)\end{array}$$
이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 23번 풀이

주어진 적분경로는 폐경로이므로, 그린정리를 사용하자.
영역 $D$가 세 직선 $x=0,y=0,x+y=1$으로 둘러싸인 영역일 때
주어진 적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& ={\iint }_D(3x^2-2y)dA\\ & ={\int }_0^1{\int }_0^{1-x}(3x^2-2y)dydx\\ & ={\int }_0^1(3x^2(1-x)-(1-x{)}^2)dx\\ & =-\frac{1}{12}\end{array}$$
이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 24번 풀이

$x-y=u,x+y=v$로 변수변환하면 주어진 이중적분은
$$\begin{array}{rl}\text{(Integral)}& =\frac{1}{2}{\int }_1^3{\int }_{-v}^v\cosh \left(\frac{u}{v}\right)dudv\\ & =\sinh 1{\int }_1^{3}vdv\\ & =4\sinh 1\\ & =2(e-e^{-1})\end{array}$$
이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 25번 풀이

주어진 노름의 정의에서 $|x|\le 1$을 $|x|=1$으로 바꿔도 동치이다. 즉, 주어진 문제는 노름
$$|A|=max\{|(A{x}^T{)}^T,x\in {\mathbb{R}}^n,|x|=1\}$$
으로 생각해도 된다.

한편 $B=U_{2}A{U}_3$라고 하면 
$$|B|=max\{|(B{x}^T{)}^T,x\in {\mathbb{R}}^n,|x|=1\}$$
이다. 이제 $(B{x}^T{)}^T=v$라고 하면 내적 $<,>$에 대하여
$$\begin{array}{rl}|v|& =\sqrt{<v^T,v>}\\ & =\sqrt{x^T{U}_3^T{A}^T{U}_{2}T{U}_{2}A{U}_{3}v}\\ & =\sqrt{x^T{U}_3^T{A}^{T}A{U}_{3}x}\\ & =\sqrt{w^T{A}^{T}Aw}(U_{3}x=w,|x|=|w|=1)\end{array}$$
이다. 그러면 (세종대학교 21년도 오전 25번 문제)와 유사하게 이차형식으로부터 
$\sqrt{w^T{A}^{T}Aw}$의 최대는 행렬 $A^{T}A$의 고유치 중 가장 큰 값에 루트를 씌운 값과 같고
$$A^{T}A=\left(\begin{array}{ccc}8& 2& -2\\ 2& 1& 0\\ -2& 0& 1\end{array}\right)$$
에서 행렬 $A^{T}A$의 고유치는
$$\lambda =0,1,9$$
이다. 따라서 구하는 최댓값은 $3$이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2021 세종대학교(오후) 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~