[편입] 2022 세종대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2022 세종대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2022년 세종대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 세종대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(세종대학교 입학처 - 기출문제 - 편입학)

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

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2022 세종대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

$f_{yx} = 12x(2y+1)^2$이므로 구하는 값은 $216$이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

매개변수로 정의된 함수의 미분법으로부터
$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{3t^2 - 17}{4t^3}$$
이고
$$\frac{d^2y}{dx^2} = \left(-\frac{3}{4t^2} + \frac{51}{4t^2}\right)\times \left(\frac{1}{4t^3}\right)$$
이다. 따라서 $t=1$을 대입하면
$$\frac{d^2y}{dx^2} = 3$$
이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

$$\cos^{-1}\cos\frac{4\pi}{3} = \cos^{-1}\cos\frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$$
이므로
$$\begin{align}
    f\left(\cos\frac{4\pi}{3}\right) &= \left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\frac{2\pi}{3} \\ 
    &= -\frac{1+\sqrt{3}}{3}\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

구하는 곡선의 길이 $L$은
$$\begin{align}
    L &= \int_0^3 \sqrt{1+(y')^2}dx \\ 
    &= \int_0^3 (x^2 + 1)dx \\ 
    &= 12
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

먼저 역쌍곡함수의 정의로부터 
$$\sinh^{-1}x = \ln(x+\sqrt{x^2 + 1})$$
임에 주목하자 그러면 (역함수 적분의 항등식) 으로부터
$$\int_0^1 \sinh^{-1}xdx + \int_0^{\sinh^{-1}1} \sinh xdx = \sinh^{-1}1$$
이 성립한다. 따라서 구하는 적분값은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \sinh^{-1}1 -\int_0^{\sinh^{-1}1} \sinh xdx \\ 
    &= \ln(1+\sqrt{2}) + 1 - \sqrt{2}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

구하는 곡선의 길이 $L$은
$$\begin{align}
    L &= \int_0^{\sqrt{5}} \sqrt{\theta^4 + 4\theta^2}d\theta \\ 
    &= \int_0^{\sqrt{5}} \theta\sqrt{\theta^2 + 4}d\theta \\ 
    &= \frac{19}{3}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

$x=\cos t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^{\frac{\pi}{3}} t^2 \sin t dt \\ 
    &= \left(-t^2\cos t + 2t\sin t+2\cos t\right)\bigg|_0^{\frac{\pi}{3}} \\ 
    &= 1+\frac{\sqrt{3}}{3}\pi - \frac{\pi^2}{18}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

구하는 겉넓이 $S$는
$$\begin{align}
    S &= 2\pi\int_0^2 x\sqrt{1+4x^2}dx \\ 
    &= \frac{\pi}{6}(17\sqrt{17} - 1)
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

주어진 대칭행렬을 직교대각화하여 얻은 행렬의 주대각선에 나타나는 수는
행렬 $A$의 고유치와 같다. 고유치들의 곱은 행렬식과 같으므로 구하는 값은
$$\det A = 8$$
이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

구하는 회전체의 부피 $V$는
$$\begin{align}
    V &= 2\pi\int_0^1 xe^{-x^2}dx \\ 
    &= \pi\left(1-\frac{1}{e}\right)
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

문제에서 주어진 상황을 만족하려면 행렬 $A$가 양의 정부호 (양정치)행렬이면 된다.
따라서 행렬 $A$의 모든 주부분행렬식이 양수가 되도록 하면 된다.
$1\times 1$의 경우)
$$\det |4| = 4 > 0$$
이므로 양수이다.

$2\times 2$의 경우)
$$\det \begin{pmatrix}
4 & 2 \\
2 & a \\
\end{pmatrix}
 = 4a-4$$
이다.

$3\times 3$의 경우)
$$\det A = -2(2-2a+2b^2)$$
이다.

두 식을 정리하면 아래와 같은 식을 얻는다.
$$\begin{align}
    & a>1 \\ 
    & a-b^2 > 1
\end{align}$$
이를 만족시키지 않는 선지는 3번 뿐이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

$x=4$에서 함수 $f(x)$의 테일러급수는
$$\begin{align}
    f(x)&=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(4)}{n!} (x-4)^n \\ 
    &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-2)^n}{3^n(n+1)}(x-4)^n
\end{align}$$
이다. 따라서 주어진 급수의 수렴 반지름은 비율판정법으로부터 $\frac{3}{2}$이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

주어진 벡터장의 포텐셜함수가 $f(x,y)=x^2y e^{2y}$이다.
따라서 선적분의 기본정리를 적용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= x^2y e^{2y}\bigg|_{(0,0)}^{(1,1)} \\ 
    &= e^2
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

행렬 $A$가 unitary대각화 가능함과 필요충분조건은 행렬 $A$가 정규행렬 (normal)인 것이다.
즉, 켤레전치 $*$에 대하여 $AA^*=A^*A$여야 한다. 

 

이때 두 행렬 $AA^*$, $A^*A$를 직접 계산해보면 1행 1열, 2행 2열은 같고

1행 2열, 2행 1열은 부호만 다르다.

 

따라서 둘이 같아지려면 1행 2열과 2행 1열이 $0$이 되어야 하며 이는 곧

$$ad-bc=0$$

임을 의미한다. 

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

적분순서를 변경하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^1 \int_x^{x^3} e^{-x^2}dydx \\ 
    &= \int_0^1 x(1-x^2)e^{-x^2}dx \\ 
    &= \frac{1}{2}\int_0^1 (1-t)e^{-t}dt \quad (x^2 = t) \\ 
    &= \frac{1}{2e}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

ㄱ. $\frac{1}{n\sqrt{n}}$와의 극한비교판정법으로부터 수렴한다.

ㄴ. 일반항의 극한이 $0$이 아니므로 발산한다.

ㄷ. 교대급수판정법으로부터 수렴한다.

ㄹ. 어떤 자연수 $N$가 존재해서 $n>N$인 모든 자연수에 대하여
$$\frac{1}{n\sqrt{\ln n}} > \frac{1}{n}$$
이 성립한다. 따라서 비교판정법으로부터 발산한다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

주어진 식
$$4x^2 + 4xy + 2y^2 + z^2 = 1$$
은 이차형식으로 나타낼 수 있다. 
이차형식으로 표현했을 때 대칭행렬은
$$A = \begin{pmatrix}
4 & 2 & 0 \\
2 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
$$
이다. 이제 이 이차형식이
$$au^2 + bv^2 + cw^2 = 1$$
와 같이 직교대각화를 통해 나타내어진다고 가정하자. 
(단, $a, b, c$는 행렬 $A$의 고유치이다.) 여기서
$$\begin{align}
    & u\sqrt{a} = x \\ 
    & v\sqrt{b} = y \\ 
    & w\sqrt{c} = z
\end{align}$$
로 변수변환하면 영역 $E : x^2 + y^2 + z^2 \leq 1$에 대하여 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \frac{1}{\sqrt{abc}} \iiint_E (x^2 + y^2 + z^2)^2 dV \\ 
    &= \frac{1}{2} \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^1 \rho^6 \sin\phi d\rho d\phi d\theta \\ 
    &= \frac{2}{7}\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

$2x-1=u, y=v$로 치환하면 $dx=\frac{1}{2}du, dy=dv$이므로 주어진 선적분은
$$\text{(Integral)} = \int_{C'}\frac{-v}{u^2 + v^2}du + \frac{u}{u^2 + v^2}dv$$
이다. (단, $C'$은 변수변환으로 옮겨진 경로 $C$이다.)

그러면 경로 $C'$은 원점을 두 번 포함하는 반시계방향의 단순폐곡선이다.
즉, 구하는 선적분은
$$\int_{C'}\frac{-v}{u^2+v^2}du + \frac{u}{u^2 + v^2}dv$$
이며, 이때 $C'$은 원점을 두 번 반시계방향으로 도는 경로이므로, 선적분값은 $2\times 2\pi = 4\pi$이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

주어진 곡면의 내부를 $E$라고 하자. 발산정리로부터 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iiint_E \text{div}F dV \\ 
    &= \iiint_E 3x^2 dV
\end{align}$$
이다. 이제 
$$x=u, \sqrt{2}y=v, 2z=w$$
로 변수변환하면 영역 $E' : u^2 + v^2 + w^2 \leq 1$에 대하여
$$\begin{align}
    \iiint_E 3x^2 dV &= \frac{1}{2\sqrt{2}} \iiint_{E'} 3u^2 dV  \\ 
    &= \frac{1}{2\sqrt{2}} \iiint_{E'}(u^2 + v^2 + w^2) dV \\ 
    &= \frac{1}{2\sqrt{2}}\int_0^{2\pi}\int_0^\pi \int_0^1 \rho^4 \sin\phi d\rho d\phi d\theta \\ 
    &= \frac{\sqrt{2}}{5}\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

ㄱ. $\ln x$를 무시하면 수렴한다.

ㄴ. 디리클레판정법으로부터 수렴한다.

ㄷ. 계산을 통해 수렴함을 알고있다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이

산술기하평균 부등식을 이용하면
$$\begin{align}
    & x^2 + y^2 + z^2 \\ 
    &= x^2 + \frac{1}{2}y^2+\frac{1}{2}y^2+\frac{1}{3}z^2+\frac{1}{3}z^2+\frac{1}{3}z^2 \\ 
    &\geq 6\left(\frac{x^2 y^4 z^6}{2^2 3^2}\right)^{\frac{1}{6}} \\ 
    &= 6\left(\frac{1}{12}\right)^{\frac{1}{6}}
\end{align}$$
이 성립한다. 이때 등호는
$$x^2 = \frac{1}{2}y^2 = \frac{1}{3}z^2$$
일 때 성립하는데, 모든 식을 $z$에 대해 정리하면
$$x^2 = \frac{1}{3}z^2,\quad y^2 =\frac{2}{3}z^2$$
이다. 이를 곡면 $xy^2z^3 = 3$에 대입하자.
그런데 그냥 대입하면 차수가 맞지 않으므로 양변을 제곱한 곡면
$$x^2y^4z^6 = 9$$
에 대입하면
$$z^{12} = \frac{243}{4} = m^{12}$$
이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이

영역 $D : x^2 + 4y^2 \leq 1$에 대하여 구하는 넓이 $S$는
$$\begin{align}
    S &= \iint_D \sqrt{1+4x^2 + 16y^2}dA  \\ 
    &= \frac{1}{2}\iint_{x^2 + y^2 \leq 1} \sqrt{1+4x^2 + 4y^2} dA \\ 
    &= \frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\int_0^1 r\sqrt{1+4r^2}drd\theta \\ 
    &= \frac{\pi}{12}(5\sqrt{5} - 1)
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이

$<,>$를 내적이라 하자. 주어진 조건에서 
$$<Tx, y> = <x,Ty>$$
가 성립한다. (단, $T$는 변환 $T$의 표현행렬이다.)

한편 임의의 행렬 $A$에 대하여
$$<Ax, y> = <x, A^T y>$$
가 성립하므로, $T=T^T$여야 한다. 즉, $T$는 대칭행렬이다.

한편 변환 $R$의 표현행렬을 $R$이라 하면 $R$은 직교행렬이고,
$$S = R^{-1}TR$$
을 만족시키는 대칭행렬 $T$와 직교행렬 $R$이 존재하고
$$S^T = (R^{-1}TR)^T = R^{-1}TR = S$$
이므로, 행렬 $S$는 항상 대칭행렬이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이

$xz$평면을 바닥으로, $y$를 높이로 생각하면 구하는 부피 $V$는
$$\begin{align}
    V &= \int_{-1}^1 \int_{x^2}^1 \int_0^z 1 dydzdx \\ 
    &= \int_{-1}^1 \int_{x^2}^1 zdzdx \\ 
    &= \frac{1}{2}\int_{-1}^1 (1-x^4)dx \\ 
    &= \int_0^1 (1-x^4)dx \\ 
    &= \frac{4}{5}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2022 세종대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이

$P(x,y,z)$라 하자. 주어진 조건을 만족시키려면 구면 위의 점 $P$에서의 경도벡터
$$\nabla S = (x,y,z)$$
와 두 점 $P$, $(2,3,-44)$를 각각 시점과 종점으로 하는 벡터 
$$v = (x-2, y-3, z+4)$$
가 수직이어야 한다. 즉 내적을 계산하면
$$x^2-2x+y^2-3y+z^2+4z = 0$$
이다. 이 식에서 주어진 구면의 방정식을 빼면
$$2x+3y-4z=2$$
를 얻고, 점 $P$는 구면 위에 있으면서 동시에 이 평면 위에 존재한다.

이제 주어진 문제는 두 제약조건
$$\begin{align}
    &x^2 + y^2 + z^2 = 2 \\ 
    & 2x+3y-4z=2
\end{align}$$
하에서 $y$의 최대 최소를 구하는 문제와 같다. ($P$의 좌표를 $(x,y,z)$로 두었으므로.)
라그랑주 승수법을 사용해도 되며, 본 풀이에서는 코시 슈바르츠 부등식을 이용한다.

첫 번째 제약조건의 식을 이항하면
$$x^2 + z^2 = 2 - y^2$$
를 얻고, 마찬가지로 두 번째 제약조건의 식을 이항하면
$$2x-4z=2-3y$$
를 얻는다. 이제 코시 슈바르츠 부등식으로부터
$$20(x^2 + y^2) \geq (2x-4z)^2$$
인데, 위의 두 식을 대입하면
$$40-20y^2 \geq 4 - 12y + 9y^2$$
를 얻고, 정리하면
$$29y^2 - 12y - 36 \leq 0$$
임을 얻는다. 이제 $y$의 최대와 최소는 이차방정식
$$29y^2 - 12y - 36 = 0$$
의 두 근이므로 근과 계수의 관계를 이용하면
$$\alpha + \beta = \frac{12}{29}$$
가 구하는 최대와 최소의 합이 된다.

 

 

 

마치며

이상으로 2022 세종대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~