[편입] 2021 세종대학교(오전) 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2021 세종대학교(오전) 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2021년 세종대학교(오전) 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 세종대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(세종대학교 입학처 - 기출문제 - 편입학)

 

 

 

2021 세종대학교(오전) 편입수학 기출문제 빠른 정답

2021 세종대학교(오전) 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2021 세종대학교(오전) 편입수학 기출문제 1번 풀이

직접 미분하면
$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}\times \frac{1}{2\sqrt{x}}$$
이므로 $f'\left(\frac{1}{2}\right) = 1$이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오전) 편입수학 기출문제 2번 풀이

$x \to\infty$일 때 $\frac{1}{x}\to 0$이고 $0$ 근방에서
$$e^x \approx 1 + x$$
이므로 주어진 극한은
$$x\left(1+\frac{1}{x}\right) - x = 1$$
이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오전) 편입수학 기출문제 3번 풀이

양변에 $r$을 곱하면
$$r^2 \sin^2\theta = r\cos\theta \quad\Longrightarrow\quad y^2 = x$$
이므로 주어진 극곡선은 포물선이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오전) 편입수학 기출문제 4번 풀이

주어진 점을 지나고 평면의 법선벡터를 방향벡터로 하는 직선 $l$은
$$l : \quad (3t+1, 2t+2, -t-2)$$
이다. 이를 평면의 방정식에 대입하면
$$14t+9=1\quad\Longrightarrow\quad t=-\frac{4}{7}$$
이다. 한편 $a+b+c=4t+1$이므로 대입하면 구하는 값은 $-\frac{9}{7}$이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오전) 편입수학 기출문제 5번 풀이

식을 변형하면 주어진 급수는
$$\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{x-1}{\sqrt{3}}\right)^{2n}$$
으로 쓸 수 있으므로, 수렴반지름은 $\sqrt{3}$이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오전) 편입수학 기출문제 6번 풀이

ㄷ. 은 선형성을 만족하지 않으므로 선형사상이 아니다.

 

 

 

2021 세종대학교(오전) 편입수학 기출문제 7번 풀이

$f(x,y,z)=x^3 + y^3 + z^3 + 12xyz - 3 = 0$이라 하면

$$\begin{align}
    \frac{\partial z}{\partial x} &= -\frac{f_x}{f_z} \\ 
    &= -\frac{x^2 + 4yz}{z^2 + 4xy}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오전) 편입수학 기출문제 8번 풀이

$|x|<1$인 실수 $x$에 대하여
$$\sum_{n=1}^\infty nx^n = \frac{x}{(1-x)^2}$$
이 성립하므로, $x=\frac{1}{2}$를 대입하면 구하는 급수의 값은 $2$이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오전) 편입수학 기출문제 9번 풀이

계산을 통해 $m=1, n=2$임을 알 수 있다.

 

 

 

2021 세종대학교(오전) 편입수학 기출문제 10번 풀이

극곡선 $r=a\sin(n\theta)$ ($n$은 짝수)의 내부의 넓이 $S$는
$$S = \frac{a^2 \pi}{2}$$
이다. 따라서 $a=1$이고, 주어진 극곡선의 고리는 네 개 이므로 $4$로 나누면
구하는 넓이는 $\frac{\pi}{8}$이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오전) 편입수학 기출문제 11번 풀이

행렬 $A$의 고유치를 $a, b$라 하면 행렬 $B$의 고유치는
$$\lambda = 3a^3 - 2a, 3b^3 - 2b$$
이다. 조건에서 $a+b=3, ab=1$이므로
$$\begin{align}
    \text{tr}(B) &= 3(a^3 + b^3) - 2(a + b) \\ 
    &= 3((a+b)^3 - 3ab(a+b)) - 2(a+b) \\ 
    &= 3(27 - 9) - 6 \\ 
    &= 48
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오전) 편입수학 기출문제 12번 풀이

구하는 값은 $100! \times a_{100}$이다.
(단, $a_{100}$은 $x^{100}$의 계수)

$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!}x^{2n}$$
이므로 
$$a_{100} = \frac{(-1)^{50}}{50!}$$
이고 따라서 구하는 값은 $\frac{100!}{50!}$이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오전) 편입수학 기출문제 13번 풀이

[풀이 1]
구하는 등위곡선의 접선벡터는 두 면
$$z=1,\quad z=x-2y^2 + 4y - 2$$
의 경도의 외적이다. 이를 계산하면 
$$\left(\frac{4}{\sqrt{17}}, \frac{1}{\sqrt{17}}, 0\right)$$
을 얻는다.



[풀이 2]
$f(x, y)=1$위의 한 점이 $P(x, 2)$이므로 방정식
$$f(x, 2)=1$$
을 풀면 $x=3$이고 점 $P$의 좌표는 $(3, 2)$이다.

이때 등위곡선의 접선벡터는 경도에 수직임을 이용하면 주어진 점에서 $f$의 경도벡터는
$$\nabla f = (1, -4)$$
이다. 선택지의 벡터 중 이와 내적하여 $0$이 되는 벡터는 1번 뿐이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오전) 편입수학 기출문제 14번 풀이

세 열벡터 $v_1^T, v_2^T, v_3^T$를 $1,2,3$열로 하는 행렬을 $V$라 하고
세 행벡터 $w_1, w_2, w_3$을 $1,2,3$행으로 하는 행렬을 $W$라 하자.
그러면 행렬곱이 이루어지는 과정을 생각해보면
$$A=VW$$
라고 쓸 수 있다. 그런데 두 행렬 $V, W$는 삼각행렬이므로
$$\det A = \det V \det W = 2\times 2b_1 = 60$$
이므로 $b_1 = 15$이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오전) 편입수학 기출문제 15번 풀이

$x=f(t)$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^1 tf'(t)(f(t)-t)dt \\ 
    &= \int_0^1 te^t (1+e^t) dt \\ 
    &= \frac{e^2 + 5}{4}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오전) 편입수학 기출문제 16번 풀이

배각공식을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= 2\int_0^1 \sin(\cos^{-1} x)\cos (\cos^{-1} x)dx \\ 
    &= 2\int_0^1 x\sqrt{1-x^2}dx \\ 
    &= \frac{2}{3}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오전) 편입수학 기출문제 17번 풀이

코시 슈바르츠 부등식을 이용하면
$$(64+16)(x^2 + 10y^2 + z^2) \geq (8x + 0y + (-4)z)^2$$
이 성립하고 식을 정리하면 
$$400 \geq (8x-4z)^2$$
임을 얻는다.

 

 

 

2021 세종대학교(오전) 편입수학 기출문제 18번 풀이

선적분의 정의대로 계산하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    &\text{(Integral)} \\ 
    &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos^2 t, -\sin t\cos t) \circ (-\sin t,\cos t)dt \\ 
    &= -2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin t\cos^2 tdt \\ 
    &= -\frac{2}{3}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오전) 편입수학 기출문제 19번 풀이

곡선 $y=\ln x$는 $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$에서 최대 곡률 $\frac{2\sqrt{3}}{9}$를 가진다. (암기)

 

 

 

2021 세종대학교(오전) 편입수학 기출문제 20번 풀이

적분순서를
$$dzdydx \to dzdxdy \to dxdzdy \to dxdydz$$
로 변경하면
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^1 \int_{y^3}^1 \int_0^{1-y} fdzdxdy \\ 
    &= \int_0^1 \int_0^{1-y} \int_{y^3}^1 fdxdzdy \\ 
    &= \int_0^1 \int_0^{1-z} \int_{y^3}^1 fdxdydz
\end{align}$$
이므로 구하는 값은 $y^3 -z+2$이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오전) 편입수학 기출문제 21번 풀이

주어진 적분의 결과가 유리함수이려면
$$\frac{f(x)}{x^3 (x+1)^2} = \frac{p}{x^2} + \frac{q}{x^3} + \frac{r}{(x+1)^2}$$
으로 부분분수분해가 되어야 한다. (단, $p, q, r$은 상수)

양변에 $x^3$을 곱한 뒤 양변에 $x\to 0$인 극한을 취하면 $q=f(0)=1$이다.
양변에 $(x+1)^2$을 곱한 뒤 양변에 $x\to -1$인 극한을 취하면 $r=-f(-1)=a-2$이다.
양변에 $x^2$을 곱한 뒤 양변에 $x\to\infty$인 극한을 취하면 $p=3-a$이다.

이제 $a$의 값을 구하기 위해 식이 한 개 더 필요하다. 양변에 $x=1$을 대입하면
$$\frac{a+4}{4} = 3-a+1+\frac{a-2}{4}$$
이므로 두 식을 연립하면 $a=\frac{5}{2}$이다.
한편 $f'(0)=a$이므로 구하는 값은 $\frac{5}{2}$이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오전) 편입수학 기출문제 22번 풀이

문제의 $x, y$를 서로 변환하면

$y$축을 중심으로 곡면
$$y=\frac{1}{8}x^4 + \frac{1}{4x^2}\quad (1\leq x\leq \sqrt{2})$$
를 회전시켜 얻은 곡면의 넓이 $S$를 구하는 문제와 같다.

그러면 구하는 넓이 $S$는
$$\begin{align}
    S &= 2\pi\int_1^{\sqrt{2}} x\sqrt{1+(y')^2}dx \\ 
    &= \pi\int_1^{\sqrt{2}} \left( x^4 + \frac{1}{x^2}\right)dx \\ 
    &= \frac{8+3\sqrt{2}}{10}\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오전) 편입수학 기출문제 23번 풀이

주어진 벡터장은 아래의 벡터장
$$F = \left(\frac{-y}{x^2 + y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2}\right)$$
을 $y$축으로 $1$만큼 평행이동한 뒤 $-1$을 곱한 벡터장이다.

한편 주어진 폐경로는 벡터장의 특이점을 포함하므로 구하는 선적분값은
$(-1)\times 2\pi = -2\pi$이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오전) 편입수학 기출문제 24번 풀이

$yz$평면에서 적분영역을 그리면 아래와 같다.

이 영역을 $z$축을 중심으로 회전시킨 영역이 전체 적분영역 $D$가 된다.

윈기둥좌표계를 이용하면 주어진 삼중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_{-1}^1 \int_0^{2\pi}\int_0^{f(z)} \frac{3r^2 \cos^2\theta}{f(z)^4}rdrd\theta dz \\ 
    &= \frac{3}{4}\int_{-1}^1 \int_0^{2\pi} \cos^2 \theta d\theta dz \\ 
    &= \frac{3}{2}\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2021 세종대학교(오전) 편입수학 기출문제 25번 풀이

행벡터 $x$에 대하여 주어진 노름은
$$|x| = \sqrt{<x, x^T>}$$
로 쓸 수 있다. (단, <,>는 내적이다.)
이제 $v = Ax^t$로 두면 $v$는 열벡터이고 구하는 노름은
$$|(Ax^T)^T| = |v^T|$$
이다. 그러면 위의 주어진 노름의 정의로부터
$$\begin{align}
    |v^T| &= \sqrt{<v^T, v>} \\ 
    &= \sqrt{xA^TAx^T}
\end{align}$$
가 성립한다. 그런데 이차형식으로부터 이는 $\sqrt{\lambda_{\text{max}}}$보다 작다.
(단, $\lambda_{\text{max}}$는 행렬 $A^TA$의 고유치 중 가장 큰 값이다.)

따라서 행렬 $A^TA$를 직접 구하면 
$$A^TA = \begin{pmatrix}
5 & -1 & 3 \\
1 & 2 & 0 \\
3 & 0 & 2 
\end{pmatrix}$$
이고 이 행렬의 고유치는 $0, 2, 7$이다.

이상의 결과를 모두 종합하면
$$|v^T| \leq \sqrt{7}$$
이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2021 세종대학교(오전) 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~