[편입] 2020 세종대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2020 세종대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2020년 세종대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 세종대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(세종대학교 입학처 - 기출문제 - 편입학)

 

 

 

2020 세종대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

2020 세종대학교 편입수학 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2020 세종대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

발산의 정의로부터
$$\text{div}F = 3+6z$$
이므로 구하는 값은 $9$이다.

 

 

 

2020 세종대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

주어진 함수 $f(x)$의 그래프는 아래와 같다.

따라서 미분가능하지 않은 점의 개수는 $2$이다. (꺾이는 지점에서 미분불가능)

 

 

 

2020 세종대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

주어진 함수를 미분하면
$$f'(x)=\frac{25}{1+(\sqrt{9+x^2} - 2)^2} \times \frac{x}{\sqrt{9+x^2}}$$
이므로 $f'(4) = 1$이다.

 

 

 

2020 세종대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

지수와 로그의 성질을 이용하여
$$\lim_{x\to 0}e^{\frac{4}{x} \ln \left(\frac{2^x + 3^x}{2}\right)}$$
를 구하면 충분하다. 지수부분만 먼저 계산하자.

새로운 함수 $f(x) = \ln(2^x + 3^x)$를 생각하면
$$\begin{align}
    \lim_{x\to 0}\frac{4}{x} \ln \left(\frac{2^x + 3^x}{2}\right) &= \lim_{x\to 0}4\times \frac{\ln(2^x + 3^x) - \ln 2}{x} \\ 
    &= \lim_{x\to 0}4 \times \frac{f(x)-f(0)}{x} \\ 
    &= 4f'(0) \\ 
    &= \ln 36
\end{align}$$
이므로 구하는 극한값은 $e^{\ln 36} = 36$이다.

 

 

 

2020 세종대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

삼중적분의 적분순서를
$$dxdydz \quad \to \quad dydxdz $$
로 변경하기 위해 $x, y$의 적분순서를 변경하면
$$\int_0^1 \int_0^{1-z}\int_0^{\sqrt[3]{y}}fdxdydz = \int_0^1 \int_0^{\sqrt[3]{1-z}} \int_{x^3}^{1-z}f dydxdz$$
이다. 따라서 $a=\sqrt[3]{1-z}$이다.

 

 

 

2020 세종대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

$-1<x<1$인 $x$에 대하여
$$\sum_{n=0} x^n = \frac{1}{1-x}$$
가 성립한다. 양변에 $x$를 곱한 뒤 두 번 미분하면
$$\sum_{n=0}n(n+1)x^{n-1} = \frac{2}{(1-x)^3}$$
이다. 양변에 $x$를 곱한 뒤 $x=\frac{1}{2}$를 대입하면
$$\sum_{n=0}\frac{n(n+1)}{2^n} = 8$$
임을 얻는다.

 

 

 

2020 세종대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

구하는 회전곡면의 넓이 $S$는
$$\begin{align}
    S &= 2\pi \int_0^1 y \sqrt{1+(y')^2}dx \\ 
    &= 2\pi\int_0^1 \sqrt{1+2e^x}\times \frac{e^x + 1}{\sqrt{1+2e^x}}dx \\ 
    &= 2\pi \int_0^1 (e^x + 1)dx \\ 
    &= 2e\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2020 세종대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

구하는 영역의 넓이는 $\pi$이다. (외워야 한다.)

 

 

 

2020 세종대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

[풀이 1]
곱해진 행렬을 $B$라 하자. 즉,
$$B = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & -1 & -1 \\
5 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}
$$
라 하자. $\text{rank}(B) = 2$이므로 행렬 $A$의 해공간에는 일차독립인 벡터가 적어도 두 개 속한다. 

즉, 
$$\text{Nullity}(A) \geq 2$$
이다. 이제 경우를 나누자.

i) $\text{Nullity}(A) = 3$인 경우 : 
이는 곧 $\text{Rank}(A) = 0$임을 의미하는데 행렬 $A$는 영행렬이 아니므로 모순이다.

따라서 $\text{Nullity}(A) = 2$ 이고 $\text{Rank}(A) = 1$이다.



[풀이 2]
곱해진 행렬을 $B$라 하면 실베스터의 부등식으로부터
$$\text{rank}(A)+\text{rank}(B)-3 \leq \text{rank}(AB)$$
이다. 그런데 $AB=O$이고 $\text{rank}(B) = 2$이므로
$$\text{rank}(A) \leq 1$$
이다. 한편 랭크가 $0$이라면 $A$는 영행렬인데, 이는 모순이다. 따라서 랭크는 $1$이다.

 

 

 

2020 세종대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

$x$를 적분하고 나머지를 미분하는 부분적분을 하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \frac{x^2}{2} \sin^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) \bigg|_1^2 +\frac{1}{2}\int_1^2 \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}dx \\ 
    &= 2\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2}\sin^{-1} 1 + \frac{1}{2}\sqrt{x^2 - 1}\bigg|_1^2 \\ 
    &= \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2020 세종대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

$x=\cos t$로 치환하면 주어진 적분값은
$$\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}} t^2 \sin tdt$$
와 같다. 이제 (도표적분법을 이용한 빠른 부분적분)을 이용하면
$$\begin{align}
    &\pi\int_0^{\frac{\pi}{2}} t^2 \sin tdt \\
    &= \pi (-t^2 \cos t + 2t\sin t + 2\cos t)\bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} \\ 
    &= \pi^2 + 2\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2020 세종대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

임계점을 구하기 위해 편도함수를 구한 뒤 $0$이 되는 점을 찾으면
$$\begin{align}
    & f_x = 3x^2 + 12x + y^2 = 0 \\ 
    & f_y = 6y + 6xy = 0
\end{align}$$
에서 임계점으로 가능한 후보는
$$(0, 0), (-4, 0), (-1, 3), (-1, -3)$$
이다. 한편 각 점을 판정하기 위해 이계편도함수를 구하면
$$\begin{align}
    & f_{xx} = 6x + 12 \\ 
    & f_{xy} = 2y \\ 
    & f_{yy} = 6x + 6
\end{align}$$
이고 모든 점들을 판정하면 극대가 되는 점은 $(-4, 0)$이다. 따라서 $a^2 + b = 16$이다.

 

 

 

2020 세종대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

역함수의 미분법으로부터 구하는 값은
$$\frac{1}{f'\left(\frac{1}{2}\right)} = \frac{3}{\pi + 2\sqrt{3}}$$
이다.

 

 

 

2020 세종대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

분자를 변형하면
$$x^3 + x = x(x^2 - 1) + 2x$$
이므로 구하는 적분값은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^{\frac{1}{2}} \left(\frac{x}{(x^2 - 1)^2} + \frac{2x}{(x^2 - 1)^3} \right) dx \\ 
    &= \int_{-1}^{-\frac{3}{4}} \left(\frac{1}{2t^2} + \frac{1}{t^3}\right)dt \quad (x^2 - 1 = t) \\ 
    &= -\frac{2}{9}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2020 세종대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

역삼각함수의 성질로부터
$$\cos(\sin^{-1}x) = \sqrt{1-x^2}$$
이 성립하므로 
$$f(x) = \sqrt{1-x^4}$$
이고 급수전개하면
$$f(x) = 1 - \frac{x^4}{2} - \frac{x^8}{8} - \frac{x^{12}}{16} + \cdots$$
이므로 구하는 값은 $-\frac{1}{16}$이다.

 

 

 

2020 세종대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

행렬 $A$의 고유치를 $a, b$라고 하면 

행렬 $A^2$의 고유치 : $a^2, b^2$
헹렬 $A^3$의 고유치 : $a^3, b^3$

이다. 한편 문제의 조건을 다시 쓰면
$$\begin{align}
    &\text{tr}(A^2) = a^2 + b^2 = 8 \\ 
    &\text{tr}(A^3) = a^3 + b^3 = 0
\end{align}$$
이다. 곱셈공식을 통해 식을 변형하면
$$\begin{align}
    & (a+b)^2 - 2ab = 8 \\ 
    & (a+b)(8-ab) = 0
\end{align}$$
에서 $a+b=0$이거나 $ab=8$이다.

i) $ab=8$인 경우 : 
정리하면 $a, b$는 전부 복소수가 나온다.
한편 $A$는 실수성분을 갖는 대칭행렬이며 $a, b$는 실수여야 함에 모순이다.

ii) $a+b=0$인 경우 : 
$2a^2 = 8$에서 $a = \pm 2, b = \mp 2$이므로 $ab=-4$이다.

 

 

 

2020 세종대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

주어진 벡터장 $F$의 포텐셜함수는 $xe^{xy^2}$이므로 선적분의 기본정리로부터
$$\text{(Integral)} = e$$
이다.

 

 

 

2020 세종대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

주어진 행렬 $A$는 $14\times 14$크기의 행렬이고, 고유특성다항식에 대한 정보로부터 주어진 행렬 $A$는 고유치로 $-2$를 $8$개 가진다.

최소다항식에 대한 정보로부터 주어진 행렬 $A$의 고유치 $\lambda = -2$에 대한 조르당 블럭의 크기는 $3 \times 3$이하이며
$\text{rank}(A+2I)=11$이므로 $\text{Nullity}(A+2I) = 3$이다.
즉, 행렬 $A$의 고유치 $\lambda = -2$에 대한 조르당 블럭의 개수는 $3$이다.

블럭의 개수가 $3$이고 블럭의 크기가 최대 $3\times 3$이므로, 가능한 조합은 아래 뿐이다.
$$3\times 3, \quad 3\times 3,\quad 2\times 2$$
이를 통해 $\lambda = -2$에 대한 점도표를 그리면 아래와 같다.

이상에서 $\text{Nullity}(A+2I)^2 = 6$이므로
$$\text{rank}(A+2I)^2 = 14 - 6 = 8$$
이다.

 

 

 

2020 세종대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

주어진 타원 내부를 $D$라 하면 그린정리를 이용하면 주어진 적분값은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iint_D (4x^2 + y^2) dA \\ 
    &= \frac{1}{2}\iint_{x^2 + y^2 \leq 4} (u^2 + y^2) dA \quad (2x=u) \\ 
    &= 4\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2020 세종대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

주어진 함수 $f(x,y)$는 $xy$가 최대(최소)일 때 최소(최대)가 된다. 
라그랑주 승수법을 이용하면 제약조건 
$$x^2 + xy + 2y^2 = 1$$
의 경도벡터와 $xy$의 경도벡터는 평행해야 한다. 즉,
$$\det\begin{pmatrix}
2x + y & x + 4y \\
y & x \\
\end{pmatrix}
 = 2x^2 - 4y^2 = 0$$
에서 식을 정리하면
$$x^2 = 2y^2$$
이므로 $x=\sqrt{2}y$이거나 $x=-\sqrt{2}y$이다.

i) $x=\sqrt{2}y$인 경우
첫 식에 대입한 뒤 정리하면 
$$4y^2 + \sqrt{2}y^2= 1$$
에서 
$$xy=\sqrt{2}y^2 = \frac{1}{2\sqrt{2} + 1}$$
이다.


ii) $x=-\sqrt{2}y$인 경우
첫 식에 대입한 뒤 정리하면
$$4y^2 - \sqrt{2}y^2 = 1$$
에서
$$xy = -\sqrt{2}y^2 = -\frac{1}{2\sqrt{2} - 1}$$
이다.
$$a = \frac{1}{2\sqrt{2} + 1}, \quad b=-\frac{1}{2\sqrt{2} - 1}$$
라 하면 주어진 함수 $f(x,y)$의 최댓값과 최솟값의 곱은
$$e^{-(a+b)}=e^{\frac{2}{7}}$$
이다.

 

 

 

2020 세종대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이

분자 분모에 $\sqrt{\cosh x - 1}$을 곱하면 $\cosh^2 x- 1 = \sinh^2 x$이므로
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^1 \frac{\sinh x}{(\cosh x - 1)^{\frac{5}{6}}} dx \\ 
    &= \int_0^{\cosh 1 - 1} t^{-\frac{5}{6}} dt \quad (\cosh x - 1 = t) \\ 
    &= 6 \sqrt[6]{\cosh 1 - 1}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2020 세종대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이

주어진 이차형식을 행렬의 형태로 나타냈을 때의 대칭행렬 $A$는
$$A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 1-a \\
2 & 2a & -a \\
1-a & -a & 3a \\
\end{pmatrix}
$$
이다. 한편 주어진 이차형식이 양의 정부호(양정치) 행렬이려면 위의 행렬 $A$의 
모든 주부분행렬식이 양수이면 된다. 전부 확인해보면

$1\times 1$의 경우
$$\det (1) = 1 > 0$$

$2\times 2$의 경우
$$\det\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
2 & 2a \\
\end{pmatrix}
=2a - 4 > 0 $$

$3 \times 3$의 경우
$$\det A = -a(2a^2 -3a+18) > 0$$
이어야한다. 종합하면
$$2<a<\frac{9}{2}$$
이므로 이를 만족하는 정수 $a$의 개수는 $2$이다.

 

 

 

2020 세종대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이

경로 $C$는 시점부터 종점을 반시계방향으로 이동하는 경로이므로
주어진 선적분의 값은 시작점부터 종점까지의 반시계방향으로 회전각인 $\frac{3\pi}{2}$이다.

 

 

 

2020 세종대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이

계산을 통해 
$$f_{xy}=0,\quad f_{yx}=a$$
임을 얻는다. (계산은 생략한다.)

따라서 $a=0$이고 $b$는 관여하지 않으므로 $b$는 임의의 실수이다.

 

 

 

2020 세종대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이

회전축의 방향벡터 $(1,1,1)$을 법선벡터로 하고 한 점 $(1,0,0)$을 지나는 평면을 잡자.
이 풀이에서는 평면
$$P : x+y+z=1$$
을 선택한다. 그러면 아래와 같이 평면 위의 삼각형을 생각할 수 있다.

(단, 점 $\displaystyle\left( \frac{1}{3} , \frac{1}{3} , \frac{1}{3} \right)$는 회전축과 평면의 교점이다.)

위 그림에서 삼각형의 인접한 두 꼭짓점과 점 $\displaystyle\left( \frac{1}{3} , \frac{1}{3} , \frac{1}{3} \right)$이 이루는 둔각의 크기는 $\frac{2\pi}{3}$임을 기억하자.

$T$는 $\frac{\pi}{3}$만큼 반시계방향으로 회전하는 변환이므로 다음 그림을 생각할 수 있다.

 

위에서 세 점 $ \displaystyle (1,0,0), (0,1,0), \left( \frac{1}{3} , \frac{1}{3} , \frac{1}{3} \right)$이 이루는 둔각의 크기는 $\frac{2\pi}{3}$이고

추가로 회전된 각도는 $\frac{\pi}{3}$이므로 세 점 $ \displaystyle (1,0,0), \left( \frac{1}{3} , \frac{1}{3} , \frac{1}{3} \right), (a,b,c)$는 한 직선 위에 놓인다.
따라서 두 점 $(1,0,0), (a,b,c)$의 중점이 점 $\displaystyle\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$이고 계산을 통해
$$a=-\frac{1}{3},b=\frac{2}{3},c=\frac{2}{3}$$
이고 구하는 값은 $\frac{23}{27}$이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2020 세종대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~