[편입] 2023 세종대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2023 세종대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2023년 세종대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 세종대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(세종대학교 입학처 - 기출문제 - 편입학)

 

 

 

2023 세종대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

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2023 세종대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2023 세종대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

주어진 식을 $x$로 편미분하면
$$f_x = \tan^{-1}(xy) + \frac{xy}{1+x^2y^2}$$
이므로 구하는 값은 $-\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$이다.

 

 

 

2023 세종대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

$x=0$ 근방에서 다음이 성립한다.
$$\begin{align}
    &\sqrt{x^2 +4} = 2\sqrt{1+\frac{x^2}{4}} \approx \frac{x^2}{4} \\ 
    & xe^x \approx x
\end{align}$$
따라서 주어진 극한값은
$$\lim_{x\to 0} \frac{x^2/4}{-x^2/2} = -\frac{1}{2}$$
이다.

 

 

 

2023 세종대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

쌍곡함수의 성질을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^1 \tanh x(1-\text{sech}^2 x)dx \\ 
    &= \int_0^1 (\tanh x-\tanh x\text{sech}^2 x)dx \\ 
    &= \left(\ln\cosh x - \frac{1}{2}\tanh^2 x\right)\bigg|_0^1 \\ 
    &= \ln\cosh 1 - \frac{1}{2}\tanh^2 1
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2023 세종대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

구하는 곡선의 길이 $l$은
$$\begin{align}
    l &= \int_0^{\sqrt{5}} \sqrt{\theta^4 + 4\theta^2}d\theta \\ 
    &=\int_0^{\sqrt{5}} \theta\sqrt{\theta^2 + 4}d\theta \\ 
    &= \frac{19}{3}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2023 세종대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

주어진 영역은 다음 그림과 같다.

이제 사진처럼 $x$축 위를 1번, $y$축 위를 2번, 직선 위를 3번이라 하자.

주어진 함수 $f$가 최대 또는 최소가 되는 상황은 함수
$$g(x,y) = x^2 - 2y^2$$
이 최대 또는 최소가 되는 상황과 같으므로 $g$의 최대,최소를 조사하자.

영역 내부에서)
임계점을 찾으면
$$g_x=2x, \quad g_y = -4y$$
에서 임계점은 $(0,0)$이고 $g(0,0)=0$이다.

1번 경로에서)
$$g(x,0) = x^2 \quad (0\leq x\leq 1)$$
이므로 최소는 $0$, 최대는 $1$이다.

2번 경로에서)
$$g(0, y)=-2y^2 \quad (0\leq y\leq 1)$$
이므로 최소는 $-2$, 최대는 $0$이다.

3번 경로에서)
$$g(x,1-x)=x^2 - 2(1-x)^2 \quad(0\leq x \leq 1)$$
이므로 최소는 $-2$, 최대는 $1$이다.

이상에서 $g$의 최소는 $-2$, 최대는 $1$이므로
함수 $f$의 최소는 $e^{-2}$, 최대는 $e$이다.

따라서 둘의 곱은 $\frac{1}{e}$이다.

 

 

 

2023 세종대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

산술기하평균 부등식을 이용하면
$$1=\frac{x^2}{12}+\frac{x^2}{12}+\frac{x^2}{12}+y^2 \geq 4\left(\frac{x^6 y^2}{12^3}\right)^{\frac{1}{4}}$$
가 성립한다. 식을 정리하면
$$\frac{3^3}{4} \geq x^6 y^2$$
이므로, 구하는 최댓값은 $\frac{3\sqrt{3}}{2}$이다.

 

 

 

2023 세종대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

부분분수분해를 이용하면 주어진 급수의 합은
$$\begin{align}
    \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{2n(2n-1)3^n} &= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)3^n} - \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{2n 3^n} \\ 
    &= \frac{1}{\sqrt{3}}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)(\sqrt{3})^{2n-1}}  + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\left(-\frac{1}{3}\right)^n \\ 
    &= \frac{1}{3}\tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) - \frac{1}{2}\ln\frac{4}{3} \\ 
    &= \frac{\sqrt{3}}{18}\pi - \frac{1}{2}\ln\frac{4}{3}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2023 세종대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

주어진 행렬 $A$의 고유특성다항식을 $f(\lambda)$라고 하고 방정식
$$f(\lambda) = 0$$
의 근을 구하면 $\lambda = -i, i, 1$이다. 따라서 행렬 $A$를
$$A = \begin{pmatrix}
-i & 0 & 0 \\
0 & i & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
$$
라고 써도 상관이 없고, 직접 $101$승을 하면
$$\begin{align}
     A^{101} &= \begin{pmatrix}
(-i)^{101} & 0 & 0 \\
0 & i^{101} & 0 \\
0 & 0 & 1^{101} \\
\end{pmatrix} \\ 
&= A
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2023 세종대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

ㄱ. 직접 계산을 해보면 수렴함을 알 수 있다.

ㄴ. 피적분함수가 기함수이므로 수렴한다고 생각할 수 있으나 한 쪽 구간에 대한 이상적분
$$\int_0^\infty \frac{x}{x^2 + 1}dx$$
가 발산하므로, 주어진 적분도 발산한다.

ㄷ. $\ln x$를 무시하면 수렴함을 알 수 있다.

 

 

 

2023 세종대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

$x=\tan t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 tdt \\ 
    &= \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2023 세종대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

(1) 관찰해보면 맞다.

(2) 주어진 행렬 $A$는 에르미트행렬이므로 맞다.

(3) (2)와 같은 이유로 맞다.

(4) $Av=\lambda v = A^{*}v$이므로 맞다.

(5) 에르미트행렬의 성질이 아니다.

 

 

 

2023 세종대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

$x=0$ 근방에서
$$\begin{align}
    & e^x \approx 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{24}x^4 \\ 
    & \sin(x^2) + \sin(x^3) \approx x^2 + x^3 - \frac{1}{6}x^6
\end{align}$$
이다. 구하는 값은 $x^6$의 계수와 관련이 있으므로 전개하여 $x^6$의 계수를 찾으면
$$\left(\frac{1}{24} - \frac{1}{6} + \frac{1}{6}\right)x^6 = \frac{1}{24}x^6$$
이다. 따라서 구하는 값은
$$\begin{align}
    f^{(6)}(0) &= 6! \times \frac{1}{24} \\ 
    &=30
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2023 세종대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

파푸스의 정리를 이용하면 구하는 겉넓이 $S$는
$$S = 2\pi \times 1\times 2\pi = 4\pi^2$$
이다.

 

 

 

2023 세종대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

구하는 영역 $S$는 대칭성을 이용했을 때
$$\begin{align}
    S &= 4\left(\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}(1+\cos\theta)^2 d\theta\right) \\ 
    &= \frac{3}{2}\pi - 4
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2023 세종대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

먼저 역삼각함수의 성질로부터
$$\cos^{-1}(\sin x) = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1}(\sin x)$$
가 성립한다. 그런데 $y=\sin^{-1}(\sin x)$의 그래프를 우리는 이미 암기하고 있다.

따라서 주어진 곡선과 직선의 그래프를 그리면 아래와 같다.

따라서 교점의 수는 $3$이다.

 

 

 

2023 세종대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

다항식 $f(a)$의 모든 계수의 합은 $f(1)$과 같다. 따라서 $a=1$을 대입한 행렬
$$A = \begin{pmatrix}
2 & 4 & 1 \\
4 & 1 & 2 \\
1 & 2 & 4 \\
\end{pmatrix}
$$
의 모든 고윳값의 제곱의 합을 구하면 된다.

이제 행렬 $A$의 고유치를 $p, q, r$이라 하면
$$\begin{align}
    f(1) &= p^2 + q^2 + r^2 \\ 
    &= (p+q+r)^2 - 2(pq+qr+pr) \\ 
    &= (\text{tr}(A))^2 - 2(C_{11} + C_{22} + C_{33}) \\ 
    &= 49 + 14 \\ 
    &= 63
\end{align}$$
이다. (단, $C_{nm}$은 성분 $a_{nm}$의 여인수이다.)

 

 

 

2023 세종대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

주어진 구의 내부를 $E$라 하자. 발산정리를 사용하면 주어진 면적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iiint_E \text{div}F dV \\ 
    &= \iiint_E 1 dV \\ 
    &= \frac{4}{3}\pi \times 3^3 \\ 
    &= 36\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2023 세종대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

편미분계수의 정의로부터
$$f_y(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(0,h)-f(0,0)}{h} = 0$$
이다. 따라서 편도함수 $f_y(x,y)$는
$$f_y(x,y) =
\begin{cases}
\frac{2x^3(x^2 - y^2)}{(x^2 + y^2)^2} & (x,y)\neq (0,0) \\
0 & (x,y)=(0,0) \\
\end{cases}
$$
이고 다시 한 번 편미분계수의 정의로부터
$$f_{yx}(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = 2$$
이다.

 

 

 

2023 세종대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

문제의 조건으로부터 다음과 같은 항등식
$$2\pi \int_0^a f(x)dx = a^4$$
가 성립한다. 이제 양변을 미분하고 식을 정리하면
$$f(a) = \frac{2}{\pi}a^2$$
임을 얻는다. 따라서 구하는 곡선의 길이 $L$은
$$\begin{align}
    L &= \int_0^{\frac{\pi}{3}}\sqrt{1 + \frac{16}{\pi^2}a^2} da \\ 
    &= \frac{\pi}{4}\int_0^{\alpha} \sec^3 tdt \quad \left(a=\frac{\pi}{4}\tan t, \tan\alpha = \frac{4}{3}\right) \\ 
    &= \frac{\pi}{8} \left(\sec t\tan t+\ln(\sec t+\tan t)\right)\bigg|_0^{\alpha} \\ 
    &= \frac{5}{18}\pi + \frac{\pi}{8}\ln 3
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2023 세종대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

문제에서 주어진 경로를 $C_1$이라 하고 점 $(2, 0)$에서 $(-2, 0)$까지 이동하는 직선경로를 $C_2$라 하자.
그리고 $D=C_1 \cup C_2$라 하자. 
주어진 벡터장을 $F$라 하면 그린정리로부터 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iint_{D'} 2 dA - \int_{C_2} F dr \\ 
    &= 4\pi - \int_{-2}^2 3t^2 dt \\ 
    &= 4\pi - 16
\end{align}$$
이다. (단, $D'$은 영역 $D$의 내부이다.)

 

 

 

2023 세종대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이

주어진 두 곡면의 교선을 구해보면, 
$$1-x^2 = 1-y^2 \quad \Longrightarrow\quad y=\pm x$$
가 교선이 된다. 

이를 토대로 적분 영역에 따른 곡면을 표시할것인데, 주어진 입체는 두 곡면
$$z=1-x^2,\quad z=1-y^2$$
중 (각 영역에서)더 아래에 있는것을 골라야 한다.
이를 통해 적분영역과 영역에 따른 곡면을 표시해보면 다음과 같다.

이제 대칭성을 통해 입체 $E$의 겉넓이 $S$를 구해보자. 

(회색 삼각형에서의 곡면의 넓이와 노란 삼각형에서의 곡면의 넓이는 같다.)

(또, 우측의 회색 삼각형에서 곡면의 넓이는 위의 작은 삼각형에서의 곡면의 넓이의 $2$배이다.)
가장 먼저 밑바닥의 겉넓이는 $2\times 2 = 4$이다.

이제 윗면의 겉넓이 $S'$은
$$\begin{align}
    S' &= 8\times \int_0^1 \int_0^x \sqrt{1+4x^2} dydx \\ 
    &= 8\int_0^1 x\sqrt{1+4x^2}dx \\ 
    &= \frac{2}{3}(5\sqrt{5} - 1)
\end{align}$$
이다. 이제 입체 $E$의 겉넓이 $S$는
$$\begin{align}
    S &= 4 + S' \\ 
    &= \frac{10}{3}(\sqrt{5} + 1)
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2023 세종대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이

스토크스정리를 사용하자. 영역 $D : x^2 + y^2 \leq 1$에 대하여 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iint_D \text{curl}F \circ n dA \\ 
    &= -3 \iint_D 1 dA \\ 
    &= -3\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2023 세종대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이

스토크스정리를 사용하자.
$$\begin{align}
    &\text{curl}F = (0,0,-2) \\ 
    & n =(0,0,1)
\end{align}$$
이므로 주어진 적분은 영역 $D : x^2 + 2y^2 \leq 1$에 대하여
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iint_D (-2)dA \\ 
    &= -\sqrt{2}\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2023 세종대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이

주어진 식 $4x^2 - 4xy + 7y^2 = 1$을 이차형식으로 표현했을 때 나타나는 대칭행렬 $A$는
$$A = \begin{pmatrix}
4 & -2 \\
-2 & 7 
\end{pmatrix}$$
이다. 이제 이 행렬의 고유치가 $a, b$라 하자. 

즉, $4x^2 - 4xy + 7y^2 = 1$이 직교대각화 (주축정리)를 통해
$$ax^2 + by^2 = 1$$
로 바뀐다고 하자. 그러면 새 영역 $R_1 : ax^2 + by^2 \leq 1$에 대하여 주어진 적분은
$$\text{(Integral)} = \iint_{R_1} e^{-(ax^2 + by^2)}dA$$
이 된다. (직교행렬의 경우 행렬식의 절댓값이 $1$이므로 변수변환을 하더라도 상수가 곱해지지 않으므로.)

이 상태에서 $\sqrt{a}x = u, \sqrt{b}y = v$로 변수변환하면
$$dxdy=\frac{dudv}{\sqrt{ab}} = \frac{dudv}{\sqrt{\det A}} = \frac{dudv}{2\sqrt{6}}$$
이고 적분 영역은 $R_2 : u^2 + v^2 \leq 1$이 된다. 따라서 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \frac{1}{10} \iint_{R_2} e^{-(u^2 + v^2)}dA \\ 
    &= \frac{1}{2\sqrt{6}} \int_0^{2\pi} \int_0^1 re^{-r^2}drd\theta \\ 
    &= \frac{\sqrt{6}\pi}{12}\left( 1-\frac{1}{e}\right)
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2023 세종대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이

들어가기 전에 계산의 편의를 위해 가장 처음부터 $n!$으로 나누고 시작하여도 된다.
(이 풀이에서는 나누지 않고 진행한다.)

주어진 행렬의 마지막 행을 기준으로 라플라스전개하면
$$\begin{align}
    \det A_n &= -(n-1)\det\begin{pmatrix}
1 & -2 &  &  &  \\
1 & 2 & \ddots &  &  \\
 & \ddots & \ddots & -(n+1) & 0 \\
 &  & \ddots & n-1 & 0 \\
 &  &  & n-1 & \textcolor{red}{n} 
\end{pmatrix} + n\det \begin{pmatrix}
1 & -2 &  &  &  \\
1 & 2 & \ddots &  &  \\
 & \ddots & \ddots & -(n+2) & 0 \\
 &  & \ddots & n-2 & -(n+1) \\
 &  &  & n-2 & n-1 
\end{pmatrix} \\ 
&= n\det A_{n-1} + n(n-1)\det A_{n-2}
\end{align}$$
가 성립한다. 
(가장 처음 주어진 행렬의 마지막 행을 기준으로 라플라스전개 한 뒤
빨간색 성분을 기준으로 다시 한 번 라플라스전개를 한 결과이다.)

이제 이를 $n!$으로 나누고 $B_n = \frac{\det A_n}{n!}$이라 하면 
$$B_{n} = B_{n-1} + B_{n-2}$$
가 성립한다. 그런데 $B_1 = 1, B_2 = 2$이므로 순서대로 계산했을 때
$$B_9 = 55, B_{10} = 89$$
이므로
$$\frac{\det A_{10}}{\det A_9} = \frac{10! \times 89}{9! \times 55} = \frac{178}{11}$$
이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2023 세종대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~