[편입] 2025 세종대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2025 세종대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

 

 

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2025년 세종대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 세종대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

(세종대학교 입학처 - 기출문제 - 편입학)

 

 

 

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

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2025 세종대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

편도함수를 구해보면
$$f_y = -\frac{2y}{(x^2 + y^2)^2}$$
이므로
$$f_y(0, 3) = -\frac{2}{27}$$
이다.

 

 

 

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

테일러전개로부터 $x=1$ 근방에서
$$\begin{align}
    \tan(1-x) &\approx 1-x \\ 
    \ln x &\approx x-1
\end{align}$$
이 성립한다. 따라서 지수와 로그의 성질로부터 주어진 극한은
$$\begin{align}
    \text{(Limit)} &= \lim_{x\to 1} e^{f(x)\ln x} \\ 
    &\approx \lim_{x\to 1} e^{\frac{x-3}{1-x}\times x-1} \\ 
    &= e^2
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

비율판정법으로부터 주어진 급수의 수렴반지름이 $1$임을 알 수 있다.

 

 

 

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

$f(x,y,z)$를
$$f(x,y,z)=x^5z^3 - 2y^4z +2x^4y^3 - 1$$
이라 하면 $f$의 경도벡터는
$$\nabla f =(5x^4z^3 + 8x^3y^3, -8y^3z + 6x^4y^2, 3x^5z^2-2y^4)$$
이므로 점 $(1,1,1)$에서의 경도벡터는 $(13,-2,1)$이다.

따라서 점 $(1,1,1)$에서의 접평면 $P$는 $(13,-2,1)$을 법선벡터로 하고 점 $(1,1,1)$을
지나므로
$$P : 13x-2y+z=12$$
이다. 이제 이 평면이 점 $(0, -3, f(0, -3))$을 지나므로 대입하면
$$6+f(0, -3) = 12$$
에서
$$f(0, -3) = 6$$
이다.

 

 

 

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

주어진 식을 $f(x)$라 하고 미분하면
$$\begin{align}
    f'(x) &= \frac{2x}{24x^2+x} - \frac{1}{24x+\sqrt{x}} \\ 
    &= \frac{2}{24x+1} - \frac{1}{24x+\sqrt{x}}
\end{align}$$
에서 방정식 $f'(x)=0$을 만족시키는 실수 $x$는 방정식
$$\frac{2}{24x+1} = \frac{1}{24x+\sqrt{x}}$$
를 만족시킨다.

따라서 통분한 뒤 식을 정리하면
$$24x+2\sqrt{x}-1 = (6\sqrt{x} - 1)(4\sqrt{x} + 1) = 0$$
에서 
$$\sqrt{x}=\frac{1}{6}\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{1}{36}$$
이다.

 

 

 

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

$x=\sin t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^{\frac{\pi}{2}}t^2 \cos t dt \\
    &= (t^2\sin t+2t\cos t-2\sin t)\bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ 
    &= \frac{\pi^2}{4} - 2
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

주어진 극곡선을 $90$도 회전시켜 얻은 극곡선의 방정식은
$$r=2-\cos2\theta$$
이다. (어느 방향으로 회전시키든 결과는 같다.)

이때 주어진 곡선과 회전시킨 곡선을 그려보면 다음과 같다.

따라서 구하는 넓이 $S$는 대칭성으로부터 
$$\begin{align}
    S &= 8\times \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}} (2-\cos 2\theta)^2 d\theta \\ 
    &= 4\int_0^{\frac{\pi}{4}}(4-4\cos2\theta + \cos^2 (2\theta))d\theta \\ 
    &= 2\int_0^{\frac{\pi}{2}}(4-4\cos x+\cos^2 x)dx \quad (2\theta = x) \\ 
    &= 2\left(2\pi-4+\frac{\pi}{4}\right) \\ 
    &= \frac{9}{2}\pi - 8
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

문제에서 물어보는 값이 원소 각각의 절댓값의 합이므로 
열벡터를 곱하는 방법은 쓸 수 없고 역행렬을 직접 구해야 한다.

행렬 $A$는 삼각행렬이고 단위행렬과 비슷하므로 가우스 소거법을 이용하면
$$A^{-1} = \begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 1 
\end{pmatrix}$$
이다. 이때 $A^{-1}$의 원소의 절댓값은 모두 $1$이므로 구하는 합은 $0$이 아닌 성분의 개수인 $7$이다.

 

 

 

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

ㄱ. 
$\sin\frac{n\pi}{4}$에 대한 부분합은 유계이고 수열 $\frac{1}{n}$은 $0$으로 수렴하는
단조감소수열이므로 디리클레 판정법으로부터 수렴한다.

ㄴ. 
$$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n} = \frac{1}{e}$$
이므로 발산한다.

ㄷ.
적당히 큰 모든 자연수 $n$에 대하여
$$\ln n <\sqrt{n}$$
이 성립하므로 양변을 제곱한 뒤 역수를 취하면 적당히 큰 모든 자연수 $n$에 대하여
$$\frac{1}{(\ln n)^2} > \frac{1}{n}$$
이다. 따라서 비교판정법으로부터 발산한다.



이상에서 수렴하는 급수는 ㄱ이다.

 

 

 

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

임의의 양수 $x$에 대하여
$$\tan^{-1}x + \tan^{-1}\frac{1}{x}=  \frac{\pi}{2}$$
이므로 $x=\frac{\sqrt{3}}{2}$를 대입하면
$$\tan^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2} + \tan^{-1}\frac{\sqrt{3}}{2}=  \frac{\pi}{2}$$
이다.

 

 

 

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

가장 먼저
$$f\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{8}$$
임을 알 수 있다. 주어진 함수 $f(x)$를 두 번 미분해보면
$$\begin{align}
    f'(x) &= \frac{2}{4x^2 + 1} \\ 
    f''(x) &= -\frac{16x}{(4x^2 + 1)^2}
\end{align}$$
이고
$$(f^{-1})''(x) = -\frac{f''(y)}{f'(y)^3}$$
이 성립한다. 이때
$$x=-\frac{\pi}{8}$$
에 대응되는 값은
$$y=-\frac{1}{2}$$
이므로
$$(f^{-1})''\left(-\frac{\pi}{8}\right) = -\frac{f''\left(-\frac{1}{2}\right)}{f'\left(-\frac{1}{2}\right)^3} = -2$$
이다.

 

 

 

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

두 변수 $x, y$를
$$\begin{cases}
    x = 2+3t \\ 
    y = 3+4t
\end{cases}$$
라 하면
$$g(t) = f(x, y)$$
라 쓸 수 있고, 연쇄법칙으로부터
$$\begin{align}
    g'(t) &= f_x(x, y) \times \frac{dx}{dt} + f_y(x,y) \times \frac{dy}{dt} \\ 
    &= 3f_x(x,y) + 4f_y(x, y) \\ 
    &= 5\times \left(\frac{3}{5}f_x(x,y) + \frac{4}{5}f_y(x,y)\right) \\ 
    &= 5\times D_u f(x,y)
\end{align}$$
이다. 한편 $t=1$이면
$$(x,y)=(5,7)$$
이므로
$$g'(1) = 5\times D_u f(5,7) = 15$$
이다.

 

 

 

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

문제의 분모를
$$3x^2 - 4x+ 1 = (3x-1)(x-1)$$
로 인수분해가 가능하므로 부분분수 전개하면
$$\begin{align}
    \frac{1}{1-4x+3x^2} &= \frac{1}{3}\times \frac{1}{\left(x-\frac{1}{3}\right)(x-1)} \\ 
    &= \frac{3}{2(1-3x)} - \frac{1}{2(1-x)}
\end{align}$$
이다. 이때 나눠진 두 항의 $x^5$의 계수는 각각
$$\begin{align}
    \frac{3}{2(1-3x)} &= \cdots + \frac{3}{2}(3x)^5 + \cdots \\ 
    \frac{1}{2(1-x)} &= \cdots + \frac{1}{2}x^5 + \cdots
\end{align}$$
이므로 전체 식의 $x^5$의 계수는
$$\frac{729-1}{2}$$
에서 일의 자리가 4이고 양수인 선택지를 고르면 3번이다.

 

 

 

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

주어진 곡선은
$$x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 27^{\frac{2}{3}}$$
인 성망형 곡선이므로 (이 포스팅)을 참고하면 구하는 길이 $L$은 
$$L = 6\times 27 = 162$$
이다.

 

 

 

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

행렬 $A$의 모든 성분의 합은
$$A \begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1 
\end{pmatrix}$$
의 모든 성분의 합과 같은데,
$$\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1 
\end{pmatrix} = \frac{1}{9}v_1 + \frac{5}{9}v_2 + \frac{1}{9}v_3$$
이므로
$$\begin{align}
    A\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1 
\end{pmatrix} &= A\left(\frac{1}{9}v_1 + \frac{5}{9}v_2 + \frac{1}{9}v_3\right) \\ 
&= \frac{1}{9}(v_1 - 10v_2 + 4v_3)
\end{align}$$
이다. 따라서 구하는 모든 성분의 합은
$$\frac{1}{9}(1 - 50 + 4) = -5$$
이다.

 

 

 

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

$\sqrt{2}x = t$로 치환하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \frac{1}{\sqrt{2}} \int_0^{\infty} e^{-t^2}dt \\ 
    &= \frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{2}}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

문제의 조건으로부터 벡터 $\rm{x}$의 크기가 $1$이므로 함수 $f(x,y,z)$의 최대최소는
주어진 행렬 $A$의 고유치의 최대최소와 같다.

한편 행렬 $A$의 고유치는
$$\lambda = 3, 3, 1$$
이므로 최댓값과 최솟값의 합은 $3+1=4$이다.

 

 

 

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

행렬 $A$는 $11\times 11$크기의 정사각행렬이다.

조건 (가)로부터 행렬 $A$는 고유치 $\lambda = 1$을 중복을 포함하여 8개 가진다.

조건 (나)로부터 행렬 $A$의 조르당 표준형의 $\lambda = 1$에 대응되는 조르당 블록의 최대 크기는
$3\times 3$이다.

이제 행렬 $A$의 $\lambda = 1$에 대응되는 조르당 블록의 개수가 $\lambda = 1$에 대응되는
고유공간의 차원과 같으므로

i) 고유공간의 차원이 최대이려면 블록의 수가 최대한 많아야 함
ii) 고유공간의 차원이 최소이려면 블록의 수가 최대한 적어아야 함

을 전부 만족시켜야 한다.

이때 블록의 크기는 최대 $3\times 3$으로 제한되어 있으므로 $3$이하의 자연수들을 더해서 $8$을 만들 때 
최대한 많은 자연수들을 더하는 경우와 최대한 적은 자연수들을 더하는 경우를 찾으면 되고
$$\begin{align}
    8 &= 3 + 3 + 2 \quad \Longrightarrow\quad \dim \geq 3 \\ 
    8 &= 3+1+1+1+1+1 \quad\Longrightarrow\quad \dim \leq 6
\end{align}$$
임을 알 수 있다. 즉, 최대와 최소의 합은 $9$이다.
(더해지는 자연수의 개수가 곧 조르당 블록의 개수이므로, 고유공간의 차원이 된다.)

 

 

 

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

주어진 곡면 $S$는 닫힌 곡면이다. $S$의 내부를 $E$라 하고 발산정리를 이용할 것인데,
발산정리를 이용한 뒤 변수변환
$$\begin{cases}
    x=u \\
    \sqrt{2}y= v \\ 
    \sqrt{3}z= w
\end{cases}$$
을 이용하면 
$$dxdydz=\frac{1}{\sqrt{6}}dudvdw$$
가 되고 적분영역은
$$E' : u^2 +v^2 + w^2 \leq 1$$
이 되므로, 주어진 면적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iiint_E 3z^2 dxdydz \\ 
    &= \frac{1}{\sqrt{6}} \iiint_{E'} w^2 dudvdw \\ 
    &= \frac{1}{3\sqrt{6}} \iiint_{E'}(u^2 + v^2 + w^2)dudvdw \\ 
    &= \frac{1}{3\sqrt{6}} \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^1 \rho^4 \sin\phi d\rho d\phi d\theta \\ 
    &= \frac{1}{3\sqrt{6}}\times 2\pi \times 2\times \frac{1}{5} \\ 
    &= \frac{2\sqrt{6}}{45}\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

다음이 성립한다.

일변수함수 $f$와 닫힌 구간 $I = [a, b]$에 대하여 구간 $I$에서 함수 $f$의 평균값은
$$\text{Average}(f) = \frac{1}{\text{Length}(I)} \int_a^b f(x)dx$$
이다.

이변수함수 $f$와 영역 $S$에 대하여 영역 $S$에서 함수 $f$의 평균값은
$$\text{Average}(f) = \frac{1}{\text{Area}(S)} \iint_S f(x,y)dxdy$$
이다.

삼변수함수 $f$와 영역 $E$에 대하여 영역 $E$에서 함수 $f$의 평균값은
$$\text{Average}(f) = \frac{1}{\text{Volume}(E)} \iiint_E f(x,y,z)dxdydz$$
이다.

따라서 영역 $D$에 대한 정보만 알면 이중적분을 통해 평균값을 구할 수 있다.
영역 $D$의 식을 다시 쓰면
$$D : x^2 + \left(y-\frac{1}{2}\right)^2 \leq \frac{1}{4}$$
이므로 영역 $D$는 점 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$을 중심으로 하고 반지름이 $\frac{1}{2}$인 원이다.

따라서 영역 $D$의 넓이는
$$\text{Area}(D) = \frac{\pi}{4}$$
이다.

한편 
$$f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}$$
이므로, 영역 $D$ 위에서의 $f$에 대한 이중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= 2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{\sin \theta} r^2 drd\theta \\ 
    &= \frac{2}{3}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 \theta d\theta \\ 
    &= \frac{4}{9}
\end{align}$$
이므로 구하는 평균값은 이중적분값을 영역 $D$의 넓이로 나눈
$$\text{Average}(f) = \frac{16}{9\pi}$$
이다.

 

 

 

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 21번 풀이

낯선 극곡선이 나온 경우 반드시 그림을 그려본다.
먼저 주어진 관계식으로부터
$$r^2 + \theta^2 = 1$$
이고, $t$의 범위에 따라 $r$은 음수와 양수가 모두 될 수 있으므로
$$r=\pm\sqrt{1-\theta^2}$$
이다. 이제 $t$의 범위에 따라 곡선을 그려보자.

i) $0\leq t\leq \frac{\pi}{2}$인 경우
$r$의 값은 $1$에서 $0$으로 감소한다.
$\theta$의 값은 $0$에서 $1$로 증가한다.
이를 그려보면 다음과 같다.

ii) $\frac{\pi}{2}\leq t\leq \pi$인 경우
$r$의 값은 $0$에서 $-1$로 감소한다.
$\theta$의 값은 $1$에서 $0$으로 감소한다.
이를 그려보면 다음과 같다.

iii) $\pi \leq t\leq \frac{3}{2}\pi$인 경우
$r$의 값은 $-1$에서 $0$으로 증가한다.
$\theta$의 값은 $0$에서 $-1$로 감소한다.
이를 그려보면 다음과 같다.

iv) $\frac{3}{2}\pi\leq t\leq 2\pi$인 경우
$r$의 값은 $0$에서 $1$로 증가한다.
$\theta$의 값은 $-1$에서 $0$으로 증가한다.
이를 그려보면 다음과 같다.

각각의 경우에서 빨간색으로 표시된 곡선이 해당 범위에서 추가로 그려진 부분이다.
따라서 대칭성으로부터 주어진 극곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이는
제 1사분면에서의 넓이의 네 배가 되고 제 1사분면에서 주어진 곡선이 그려지는 경우는
i)의 경우 (즉, $r>0, \theta>0$인 경우) 이므로 적분할 곡선으로
$$r=\sqrt{1-\theta^2}$$
를 택하면 구하는 넓이 $S$는
$$\begin{align}
    S &= 4\times \frac{1}{2}\int_0^1 (\sqrt{1-\theta^2})^2 d\theta \\ 
    &= 2\int_0^1 (1-\theta^2)d\theta \\ 
    &= \frac{4}{3}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 22번 풀이

$x^2+y^2=4$를 주어진 곡면의 식에 대입한 뒤 정리하면
$$y+z=1$$
을 얻는다. 한편
$$\text{curl}F = (-8z^3, -9x^2, -6y)$$
이므로 주어진 면적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iint_{x^2 + y^2\leq 4} \text{curl}F \circ (0,1,1) dxdy \\ 
    &= \iint_{x^2 + y^2\leq 4} (-9x^2 -6y)dxdy \\ 
    &= \iint_{x^2 + y^2\leq 4} (-9x^2)dxdy \\ 
    &= -\frac{9}{2}\iint_{x^2 + y^2\leq 4} (x^2 + y^2)dxdy \\ 
    &= -\frac{9}{2}\int_0^{2\pi} \int_0^{2} r^3 drd\theta \\ 
    &= -\frac{9}{2}\times 2\pi \times 4 \\ 
    &= -36\pi
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 23번 풀이

주어진 정$n$각형의 꼭짓점을 ${\rm{P_1}}, {\rm{P_2}},\cdots, {\rm{P_{\it{n}}}}$라 하자.
원 $O_n$의 중심 $\rm{O}$에서 주어진 정$n$각형의 모든 꼭짓점에 선분을 그으면 삼각형이 $n$개가 만들어지는데 
만들어진 삼각형 중 하나를 보자.

이때 점 $\rm{H}$는 점 $\rm{O}$에서 선분 $\overline{\rm{P_1 P_2}}$에 내린 수선의 발이다.
또, 위와 같은 삼각형이 $n$개가 만들어지므로 각 $\angle\rm{P_1 OP_2}$는 $2\pi$를 $n$등분 한 것이다. 즉,
$$\begin{align}
    \angle\rm{P_1 OP_2} =\frac{2\pi}{\it{n}} &\quad\Longrightarrow\quad \angle\rm{P_1 OH} = \frac{\pi}{\it{n}} \\
    &\quad\Longrightarrow\quad \angle\rm{OP_1 P_2} = \frac{\pi}{2}-\frac{1}{\it{n}}
\end{align}$$
이다.

한편 정$n$각형의 외접원의 반지름은 $\overline{\rm{OP_1}}$이고, 내접원의 반지름은 $\overline{\rm{OH}}$인데,
$$\tan\left(\angle {\rm{OP_1P_2}}\right) = \frac{\overline{\rm{OH}}}{\overline{\rm{P_1 H}}}$$
에서 주어진 정$n$각형의 한 변의 길이가 $1$이므로 $\overline{\rm{P_1P_2}}=1$임을 이용하여 식을 정리하면
$$\overline{{\rm{OH}}} = \frac{1}{2}\cot\frac{\pi}{n}$$
이다. 따라서
$$\overline{{\rm{OP_1}}} = \overline{{\rm{OH}}}\sec(\angle{\rm{P_1 OH}}) = \frac{1}{2}\csc \frac{\pi}{n}$$
이므로 두 원 $\rm{O}_{\it{n}}$, $\rm{I}_{\it{n}}$의 넓이는
$$\begin{align}
    \text{Area}(\rm{O}_{\it{n}})&=\pi\overline{{\rm{OP_1}}}^2 = \frac{\pi}{4}\csc^2 \frac{\pi}{n} \\ 
    \text{Area}(\rm{I}_{\it{n}})&=\pi\overline{{\rm{OH}}}^2 = \frac{\pi}{4}\cot^2 \frac{\pi}{n}
\end{align}$$
이고, $A_n$의 넓이는 위의 삼각형의 넓이의 $n$배이므로
$$\text{Area}(A_n) = n\times 1\times\frac{1}{2}\times\overline{{\rm{OH}}} =\frac{n}{4}\cot\frac{\pi}{n} $$
이다. 따라서 테일러전개를 이용하면 주어진 극한은

$$\begin{align}
    \text{(Limit)} &= \lim_{t\to 0+} \frac{\pi \csc^2(\pi t)-\frac{1}{t}\cot(\pi t)}{\frac{1}{t}\cot(\pi t)-\pi \cot^2(\pi t)} \quad \left(\frac{1}{n}=t\right) \\ 
    &= \lim_{t\to 0+} \frac{\pi - \frac{\sin \pi t\cos \pi t}{t}}{\frac{\sin \pi t\cos \pi t}{t} - \pi\cos^2 (\pi t)} \\ 
    &\approx \lim_{t\to 0+} \frac{\pi - \left(\pi - \frac{2}{3}\pi^3 t^2\right)}{\left(\pi - \frac{2}{3}\pi^3 t^2\right) - \pi(1-\pi^2 t^2)} \\ 
    &= \lim_{t\to 0+} \frac{\frac{2}{3}\pi^3 t^2}{\frac{1}{3}\pi^3 t^2} \\ 
    &= 2
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 24번 풀이

곱셈공식으로부터
$$\begin{align}
    1 &= (\sin^2 x+\cos^2 x)^3 \\ 
    &= \sin^6x + \cos^6 x + 3\sin^2 x\cos^2 x(\sin^2 x+\cos^2 x) \\ 
    &= \sin^6x + \cos^6 x + 3\sin^2 x\cos^2 x
\end{align}$$
가 성립함을 이용하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1-3\sin^2 x\cos^2 x} dx \\ 
    &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{4}{4-3\sin^2 2x}dx \\ 
    &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{4-3\sin^2 t }dt \quad (2x= t) \\ 
    &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{\sin^2 t+4\cos^2 t}dt \\ 
    &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{2\sec^2 t}{\tan^2 t+4 }dt \\ 
    &= \int_0^{\infty} \frac{2}{u^2 + 4}du \quad (\tan t=  u) \\ 
    &= \tan^{-1}\left(\frac{u}{2}\right)\bigg|_0^{\infty} \\ 
    &= \frac{\pi}{2}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2025 세종대학교 편입수학 기출문제 25번 풀이

원점과 주어진 세 점을 동시에 포함하는 평면이 있는지를 확인해보면 그렇지 않다.
따라서 스토크스 정리를 바로 적용할 수는 없음을 알 수 있다.

이때 주어진 네 점의 위치를 나타내보면 다음과 같다.

여기서 두 경로

i) 원점에서 점 $(0,2,0)$까지 이동하는 직선경로
ii) 점 $(0,2,0)$에서 원점까지 이동하는 직선경로

를 추가한다고 생각해보면, 추가된 두 경로는 방향만 반대인 관계이므로
경로 $C$에 두 경로를 추가한 선적분의 값과 경로 $C$에 대한 선적분의 값은 같다.

이제 선적분의 경로를 조금 변형할 것인데, 기존의 경로 $C$에 위의 두 직선경로를 추가하면
총 6개의 직선경로가 생기게 된다. 이때

i) 원점에서 출발하여 두 점 $(2,2,0)$, $(0,2,0)$을 순서대로 거쳐 원점으로 돌아오는 경로
ii) 원점에서 출발하여 두 점 $(0,2,0)$, $(0,0,1)$을 순서대로 거쳐 원점으로 돌아오는 경로

를 각각 $C_1$, $C_2$라 하자. (각각의 점을 이동하는 경로는 직선경로이다.)
그러면 $C$에 대한 선적분의 값은 $C_1$와 $C_2$각각의 선적분의 값의 합과 같다.

한편 두 경로 $C_1$, $C_2$는 각각 $xy, yz$평면 위에 놓인 폐곡선이므로 그린정리를 이용할 수 있다.

i) 경로 $C_1$에 대한 선적분
$F$의 세 번째 성분을 제거하고 그린정리를 이용한 뒤 $z=0$을 대입하여 이중적분하면 피적분함수가 $0$이므로
$$\int_{C_1} Fdr = 0$$
이다.



ii) 경로 $C_2$에 대한 선적분
$F$의 첫 번째 성분을 제거하고 그린정리를 이용한 뒤 $x=0$을 대입하여 이중적분하면
$$\begin{align}
    \int_{C_2} Fdr &= \iint_{D_2} (-1)dxdy \\ 
    &= -\text{Area}(D_2) \\
    &= -1
\end{align}$$
이다. (단, $D_2$는 폐곡선 $C_2$의 내부 영역이다.)



따라서 주어진 선적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_{C_1} Fdr + \int_{C_2} Fdr \\ 
    &= -1
\end{align}$$
이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2025 세종대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~

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