수학올인의 수학 기록

[수학] 이상적분의 특수한 형태 Frullani integral 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 공식으로 쉽게 계산될 수 있는 이상적분의 한 형태인 Frullani integral에 대해 다뤄보겠습니다. 한국어로는 프룰라니 적분이라고 할까요..? 사실 한국어로 말하는 것을 본 적은 없어서, 이 포스팅에서는 영어 그대로 Frullani integral이라고 부르겠습니다. 먼저, Frullani integral의 형태에 대해 알아봐야 할텐데, 아래와 같은 형태를 Frullani integral이라 합니다. Frullani integral 구간 $[0, \infty)$에서 연속이고, $(0, \infty)$에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 $$\lim_{x\to\infty} f(x) = f(\i..

[수학] 역함수 적분에 대한 항등식 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 역함수에 대한 정적분값을 쉽게 구할 수 있도록 도와주는 항등식에 대해서 다뤄보겠습니다. 보통 적분 단원의 문제를 풀다 보면 역함수의 정적분값을 구하는 경우가 많이 생기는데요. 이 항등식을 적절히 이용한다면 그런 문제에서 아주 많은 도움이 될 수 있을 것입니다. 정리 닫힌구간 $[a, b]$에서 증가 또는 감소하는 연속함수 $f(x)$에 대하여 다음이 성립한다. $$\int_a^b f(x)dx + \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x)dx = bf(b)-af(a)$$ 증명 다음 그림을 생각해 보자. 등식의 좌변은 두 적분의 합(부호 있는 넓이)가 되며, 등식의 우변은 큰 정사각형의 넓이에서 작은 정사각형의 넓이를 ..

[수학] 도함수가 항상 1이 아니면 많아야 한 개의 고정점을 가짐을 증명 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f'(x) \neq 1$이라면 함수 $f(x)$는 많아야 한 개의 고정점을 가짐을 증명하겠습니다. 우선 고정점이 무엇인지 알아야겠죠. 어떤 실수 $t$가 존재해서 $f(t)=t$를 만족하면 점 $(t, f(t))$는 함수 $f(x)$의 고정점입니다. 즉, 고정점은 방정식 $f(x)=x$의 실근이라고 볼 수 있습니다. 따라서 주어진 문제를 모든 실수 $x$에 대하여 $f'(x)\neq 1$이면 방정식 $$f(x)=x$$ 의 서로 다른 실근의 개수는 많아야 1개이다. 로도 바꿀 수 있습니다. 어쨋든, 서론이 길었는데 바로 본론으로 들..

[수학] 특수한 행렬의 고유치 공식과 그 증명 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 행렬 중 특수한 행렬의 고유치들을 구해볼 텐데요. 시작하기 전에, (이전 포스팅)의 내용을 알고 있다는 전제로 내용이 전개되니 혹시 읽지 않으셨다면 먼저 읽고 오시면 이해에 도움이 될 겁니다. 먼저 다뤄볼 행렬은 주대각선은 전부 $a$, 나머지 성분은 전부 $b$인 행렬 즉, $$A=\left[\begin{matrix} a & b & \cdots &b & b \\ b & a & & b & b \\ \vdots & & \ddots & & \vdots \\ b & b & & a & b \\ b & b & \cdots & b & a \end{matrix}\right]$$ 의 고유치를 구해보겠습니다. 이전 포스팅의 내용을..

[수학] 모든 성분이 1인 행렬의 고유치 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 모든 성분이 1인 행렬의 고유치와 행렬식을 구해보겠습니다. 우선 행렬식의 경우 그 행렬의 모든 고유치의 곱과 같으므로 우리는 고유치에 집중해보겠습니다. 우선 시작하기 전에 모든 성분이 1로만 채워진 $n \times n$ 행렬을 $\textbf {1}_n$이라고 쓰고, 1행렬(Matrix of one) 이라고 부르겠습니다. 즉, $$\textbf{1}_n = \left[\begin{matrix} 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 1 & 1 & & 1 & 1 \\ \vdots & & \ddots & & \vdots \\ 1 & 1 & & 1 & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \end{mat..

[수학] 야매로 1/x의 부정적분이 로그함수임을 보이기 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 뭔가에 대해 다룬다기보단 단순히 기록을 목적으로 합니다. 최근에 재미있는 게시글을 봤는데, $x^n$의 적분은 $n\neq -1$인 경우에만 일반화가 되어있습니다. 만약 $n= -1$이라면 부정적분이 로그함수가 되니까요. 그런데, 약간의 트릭 (적분상수를 임의로 조정하기)을 통해서 저 공식으로부터 $$\displaystyle \int \frac{1}{x}dx = \ln x$$ 임을 유도하는것이 꽤 신기하더라고요. 아래는 유도과정입니다. 야매로 1/x의 부정적분이 로그함수임을 보이기 먼저, 양수 $a$에 대해 적분 $$\int \frac{1}{x^{a+1}}dx$$ 를 생각하자. 그러면 $a\to 0$이라면..

[수학] 무리수의 무리수 제곱은 항상 무리수인가? 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 무리수의 무리수 제곱이 항상 무리수가 되는지에 대해 다뤄보겠습니다. 우선 직관적으로 생각하기에 (펜을 들고 해보진 않았지만) 무리수끼리 연산을 하니 뭔가 결과도 당연히 무리수라고 생각이 되긴 합니다. 그런데 과연 어떤 경우를 상정하더라도 무리수가 될까요? 무리수가 되는지 말고 더 원론적인 이야기를 해볼게요. 우리가 무리수의 무리수 제곱이 무리수인지, 유리수인지 따질 순 있을까요?? 교과서에서 $\sqrt {2}$가 무리수임을 보이는 증명 과정을 보통 한 번씩은 보셨을 겁니다. 이 과정 자체도 생각보다 되게 길고 복잡하죠. 이 증명과 비슷하게 무리수의 무리수 제곱이 무리수인지 유리수인지 따질 수 있을까요? 결론만..

[편입] 2015 경기대학교 편입학 수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에선 2015년 경기대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다. 풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다. 원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 경기대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다. (경기대학교 입학처 - 자료실 - 기출문제) 2015 경기대학교 편입학 기출문제 빠른 정답 빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다. 2015 경기대학교 편입수학 기출문제 26번 풀이 주어진 이상적분이 수렴하지 않음은 쉽게 알 수 있다. 따라서 정답은 4번이다. 2015 경기대학교 편입수학 기출문제 27번 풀이 구간 $[4, 5)$에 속하는 임의의 ..

[편입] 2014 경기대학교 편입학 수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에선 2014년 경기대학교 편입학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다. 풀이는 저부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다. 원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 경기대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다. (경기대학교 입학처 - 자료실 - 기출문제) 2014 경기대학교 편입학 기출문제 빠른 정답 빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다. 2014 경기대학교 편입학 기출문제 26번 풀이 $$\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{n+1}}{n!} = x\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}=xe^x$$ 이므로 $$\int_0^1..

[수학] 임의의 함수를 우함수의 기함수의 합으로 표현하는 방법 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 임의의 함수 $f(x)$를 우함수와 기함수의 합으로 표현할 수 있음을 증명하고, 구체적으로 어떻게 표현되는지에 대해 다뤄보겠습니다. 언뜻 들으면 이게 가능하다고? 싶은 생각이 들 수도 있습니다. 왜냐하면 우함수는 $y$축에 대칭인 함수고, 기함수는 원점에 대칭인 함수인데 특정 대칭성을 가진 함수를 더했는데 아무런 대칭성이 없는 일반적인 함수가 나온다는것이 직관적으로 잘 이해가 안 될 수 있습니다. 하지만 (떠올리긴 어려울 수 있지만) 생각보다 쉬운 방법으로, 그리고 그 우함수와 기함수도 생각보다 간단한 형태로 나타낼 수 있습니다. 지금부터 한번 알아볼게요. 본론으로 들어가기 전에 다음 두 가지 정리..