편입수학 기출문제 풀이/항공대

[편입] 2013 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

수학올인 2023. 11. 24. 23:59

[편입] 2013 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

이번 포스팅에선 2013년 항공대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 항공대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

항공대의 경우 최근 2~3년 문제지만 공유하며, 년도가 바뀔 때마다 시험지를 입학처 홈페이지에서 삭제합니다.

따라서 시험지가 필요하신 분은 미리 입학처에서 다운로드를 받아두시기 바랍니다.

(항공대학교 입학처 - 편입학 - 지난기출문제)

2013 항공대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

2013 항공대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

주어진 이차형식에 대하여 행렬 $A$를
$$\begin{pmatrix}
1 & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & 1 & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & 1
\end{pmatrix}$$
로 쓸 수 있다. ($A$가 대칭행렬이라는 조건이 없으므로 이렇게 쓰는 것이다.)

이때 계수 비교를 통해
$$\begin{align}
    & a_{12} + a_{21} = 1 \\
    & a_{13} + a_{31} = 0 \\
    & a_{23} + a_{32} = 1
\end{align}$$
이어야 한다. 문제의 조건으로부터 $a_{12} + a_{13} = 4$이다.
이때 위의 세 식에서 첫 번째 식과 두 번째 식을 더하면
$$\begin{align}
    & a_{12} + a_{21} + a_{13} + a_{31} &= (a_{12} + a_{13}) + (a_{21} + a_{31}) \\
    &= 4 + (a_{21} + a_{31}) = 1
\end{align}$$
에서 이항하면 $a_{21} + a_{31} = -3$이다.

2013 항공대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

임의의 실수 $a$와 자연수 $n$에 대하여
$$\begin{pmatrix}
1 & a \\
0 & 1
\end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix}
1 & na \\
0 & 1
\end{pmatrix}$$
가 성립한다. 이를 이용하면
$$A^{18} = \begin{pmatrix}
1 & \frac{18}{27} \\
0 & 1
\end{pmatrix}$$
이므로, 구하는 값은 $\frac{8}{3}$이다.

2013 항공대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

우선 3번은 참이다. 또, 주어진 두 행렬 $A, B$가 $B = A+I$임을 만족한다. 따라서
$$AB = BA$$
가 성립한다. 1, 4번도 참임을 알 수 있으므로 정답은 2번이다.

2013 항공대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

행렬식의 성질로부터 구하는 값은
$$\det(B^{-1} A^{-1}) = \frac{1}{\det A \det B} = \frac{1}{24}$$
이다.

2013 항공대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

주어진 행렬이 직교행렬이므로 모든 행벡터들의 크기가 $1$이다. 즉,
$$\begin{align}
    & \frac{1}{4} + a^2 + b^2 = 1 \\
    & c^2 + d^2 + \frac{1}{2} = 1 \\
    & e^2 + f^2 + \frac{1}{2} = 1
\end{align}$$
이다. 세 식을 전부 더한 뒤 이항하면
$$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 + f^2 = \frac{7}{4}$$
이다.

2013 항공대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

주어진 연립방정식을 첨가행렬의 형태로 표현해보면
$$A = \begin{pmatrix}
a & b & 0 & 0 & 2 \\
a & a & b & 0 & 3 \\
2a & 2a & a & b & 4 \\
a & b & 0 & c & 5
\end{pmatrix}$$
이고, 적당한 기본행연산을 통해 행사다리꼴의 형태로 변형하면
$$A\sim \begin{pmatrix}
a & b & 0 & 0 & 2 \\
0 & a-b & b & 0 & 1 \\
0 & 0 & a-2b & b & -2 \\
0 & 0 & 0 & c & 3
\end{pmatrix}$$
이다. 이때 4번의 경우 $\text{rank(A)}\neq \text{rank}(A|B)$이므로 해가 존재하지 않는다.

2013 항공대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

문제에서 각 점에대한 아무런 조건이 없으므로, 임의로 점을 잡아서 풀어도 된다.
여기서는
$$\begin{align}
    &\mathrm{A}(0,0), \quad \mathrm{B}(1,0), \\ &\mathrm{C}(0,1),\quad \mathrm{D}\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)
\end{align}$$
으로 잡는다. 그러면
$$\begin{align}
    \mathrm{\overrightarrow{AD}} &= \left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) \\
    \mathrm{\overrightarrow{AB}} &= (1,0)\\
    \mathrm{\overrightarrow{AC}} &= (0,1)
\end{align}$$
이므로
$$m=n=\frac{1}{2}$$
이다. 즉, $m+n=1$이다.

2013 항공대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

구하는 삼각형의 넓이는
첫 번째 점을 시점으로, 두 번째점을 종점으로 하는 벡터를 $v_1$,
첫 번째 점을 시점으로, 세 번째점을 종점으로 하는 벡터를 $v_2$라고 했을 때
$$\sqrt{2} = \frac{1}{2} |v_1 \times v_2|$$
이다. 한편 식을 정리하면
$$(ab)^2 + (bc)^2 = 8$$
과 같으므로, 이를 만족시키는 선지는 2번이다.

2013 항공대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

식을 정리하면
$$y^2 =(x+z)^2$$
에서 두 평면 $p_1, p_2$는
$$\begin{align}
& p_1 : x-y+z=0 \\
& p_2 : x+y+z=0
\end{align}$$
이다. 이제 두 평면의 교각은 두 평면의 법선벡터의 교각과 같음을 이용하자.

두 평면의 법선벡터를 순서대로 $v_1, v_2$라 하면 $\cos\theta$는
$$\cos\theta = \frac{v_1 \circ v_2}{|v_1| \times |v_2|} = \frac{1}{3}$$
이다.

2013 항공대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

주어진 행렬 $A$의 고유치는 $\lambda = 1, \frac{1}{2}$이고, 대응되는 고유벡터는 순서대로
$$\begin{pmatrix}
-3 \\
1
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
-2 \\
1
\end{pmatrix}$$
이다. 한편
$$\begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix} = -3\begin{pmatrix}
-3 \\
1
\end{pmatrix} + 4\begin{pmatrix}
-2 \\
1
\end{pmatrix}$$
이므로
$$\begin{align}
A^n \begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix} &= A^n \left(-3\begin{pmatrix}
-3 \\
1
\end{pmatrix} + 4\begin{pmatrix}
-2 \\
1
\end{pmatrix}\right) \\
&= -3\begin{pmatrix}
-3 \\
1
\end{pmatrix} + 4\times \left(\frac{1}{2}\right)^n \begin{pmatrix}
-2 \\
1
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이다. 이제 양변에 $n\to\infty$인 극한을 취하면
$$\begin{align}
\lim_{n\to\infty} A^n \begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix} &= -3\begin{pmatrix}
-3 \\
1
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
a+b \\
c+d
\end{pmatrix}
\end{align}$$
이므로, 구하는 값은 $6$이다.

2013 항공대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

$\tan^2 x+1 = \sec^2 x$임을 이용하면
$$\begin{align}
k &= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec x dx \\
&= \ln(1+\sqrt{2})
\end{align}$$
이다. 따라서 구하는 값은 $\sqrt{2} + \frac{1}{2}$이다.

2013 항공대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

(4) p급수 판정법으로부터 수렴한다.

2013 항공대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

테일러전개하면
$$e^{-x^2} \approx 1 - x^2 + \frac{1}{2}x^4 - \frac{1}{6}x^6 + \cdots$$
이므로 구하는 값은 $-\frac{1}{6}$이다.

2013 항공대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

(2)의 경우 $x=t^2$으로 치환했을 때 분자와 분모의 차수가 같으므로 존재하지 않는다.

2013 항공대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

구하는 극한값은 $-\frac{\pi}{2} + 1$이다.

2013 항공대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

대칭성으로부터
$$\iint_D \frac{y}{2} dxdy = 0$$
이므로 주어진 이중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \iint_D \frac{x^2}{2} dxdy \\
    &= \frac{1}{4} \iint_D (x^2 + y^2) dxdy \\
    &= \frac{1}{4}\int_0^{2\pi} \int_1^\sqrt{5} r^3 drd\theta \\
    &= \frac{1}{4} \times 2\pi \times 24 \\
    &= 3\pi
\end{align}$$
이다.

2013 항공대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

구면좌표계를 이용하면 주어진 삼중적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \frac{3}{2}\int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^{\sqrt[3]{2}} e^{\rho^3}\rho^2 \sin\phi d\rho d\phi d\theta \\
    &= \frac{3}{2} \times 2\pi \times 2 \times (e^2 - 1) \\
    &= 2\pi (e^2 - 1)
\end{align}$$
이다.

2013 항공대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

주어진 급수의 합을 $S$라 하면
$$\begin{align}
S &= \frac{1}{2} \left(\frac{3}{1!} + \frac{3^2}{2!} + \frac{3^3}{3!} + \cdots \right) \\
&= \frac{1}{2}(e^3 - 1)
\end{align}$$
이다.

2013 항공대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

$(\sin x)^x \approx x^x$이고 $(1-\sin x)^{1/x} \approx (1-x)^{1/x}$이므로 구하는 극한값은
$$\lim_{x\to 0+}\frac{x^x}{(1-x)^{1/x}} = e$$
이다.

2013 항공대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

(1) 모든 실수 $x$에 대하여 $\cosh x \geq 1$이므로 당연히 $\cosh x \geq 0$이기도 하다.

이 문제의 경우 (1)과 (3)이 관례상으로는 맞는 표현같아 많이 고민했는데
둘 중 더 당연한 선지가 (1)이므로 (1)을 선택했다.

아마도 (3)이 틀린 이유는 점근선을 기준으로 적분상수 $C$가 달라질 수 있기 때문이다.
(문제 자체가 애매한 문제.)

마치며

이상으로 2013 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~