수학올인의 수학 기록

2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 30번 풀이 (251030 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 30번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이$b$의 부호에 따라 대략적으로 $y=f(x)$의 그래프를 그려보면 아래와 같다.이제 문제의 조건으로부터 $y=f(x)$의 그래프와 $y=f'(t)x$의 그래프가원점에서만 만나도록 하는 실수 $t$의 개수가 $1$임을 알 수 있으므로, 각 경우를 따져보자.   i) $b$f'(t) > 0$인 실수 $t$ 중 $y=f(x)$와 $y=f'(t)x$의 그래프가 원점에서만 만나도록 하는 $t$가 존재하므로 조건을 만족시키지 않는다. ii) $b=0$인 경우조건을 만족시키려면 $f'(t)=0$이어야 하는..

2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 29번 풀이 (251029 풀이)  안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 29번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이직선 $l$이 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $\theta$이므로 $$l : y=(\tan \theta)x + 1$$임을 알 수 있다. 또, $\theta=\frac{\pi}{4}$일 때 방정식$$x+1=e^{\frac{x}{a}} - 1$$의 실근이 $$x=f\left(\frac{\pi}{4}\right) = a$$이므로$$a+1=e-1\quad\Longrightarrow\quad a=e-2$$임을 알 수 있다.이제 $x=f(\theta)$가 직선 $l$과 주어진 곡선의 교점의..

2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 28번 풀이 (251028 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 28번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이가장 먼저 두 함수의 그래프를 그려보면 다음과 같다.이때 함수 $\cos x$가 극값을 갖는 지점을 기준으로 전부 세로선을 그어보면 각각의 $a_n$들은 세로선으로 분할된 영역에 한 개씩 들어온다는 것을 알 수 있다. 즉, $$n\pi \leq a_n \leq (n+1)\pi$$가 성립한다. 한편 $x=a_n$이 두 그래프의 교점이므로$$\frac{2\pi}{a_n} = \cos a_n$$이 성립하고, 이를 이용하면 구하는 값은$$\lim_{n\to\infty} 4n\pi^2\sum_{k=1}^..

2025학년도 10월 모의고사 수학 22번 풀이 (251022 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 10월 모의고사 수학 22번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이함수 $g(x)$는 $f(x)=0$인 지점을 기준으로 경계가 변하므로 이 지점을 위주로 관찰하자.i) $f(t)=0$이고 $x=t$에서 $x$축을 뚫는 경우$g(x)$의 좌/우극한을 조사해보면$$\begin{align}    1 &: f(t)+t=t \\     2 &: 2f(t) = 0\end{align}$$이 되어, 둘이 같은 경우는 $t=0$, 즉 $x=0$에서 $f(x)$가 $x$축을 뚫으면 연속, 그 외 지점에서 뚫으면 불연속이다.(좌/우극한을 구하는데 좌/우극한 표기를 사용하지 않고 1, 2번이라는 표..

2024학년도 10월 모의고사 미적분 27번 풀이 (241027 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 27번 문제를 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 조건으로부터 $a_n = a \times r^{n-1}$인데, 무한급수의 합 조건으로부터 $$\frac{\frac{a}{3}}{1-\frac{r}{3}}=4$$ 에서 식을 정리하면 $$a=4(3-r)$$ 이고, $a=4, r=2$이다. 따라서 구하는 무한합은 $\frac{1}{6}$이다. 별다른 아이디어 없이 식만으로 풀리는 문제였습니다.

2024학년도 10월 모의고사 수학 20번 풀이 (241020 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 10월 모의고사 수학 20번 문제를 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 우변을 전개하면 $$\begin{align} 2x^2f(x) &= 3f(x)\int_0^x (x-t)dt + 3\int_0^x (x-t)f(t)dt \\ &= \frac{3}{2}x^2f(x) + 3\int_0^x (x-t)f(t)dt \end{align}$$ 이고, 식을 정리하면 $$x^2f(x) = 6\int_0^x (x-t)f(t)dt$$ 이다. 그런데 우변의 $$\int_0^x (x-t)f(t)dt $$ 를 두 번 미분하면 $f(x)$가 된다. 즉, 이는 $f(x)$를 두 번 적분한 식과 같다. 그런데 앞에 ..

2024학년도 10월 모의고사 미적분 29번 풀이 (241029 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 10월 모의고사 미적분 29번 문제를 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 주어진 삼각형은 이등변삼각형이므로 $$\angle \mathrm{ACB} = \frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}$$ 이다. 따라서 $$\mathrm{CD}=2\cos\left( \frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2} \right) =2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$$ 이다. 한편 선분 $\mathrm{BC}$의 중점을 $D$라 하면 삼각형 $\mathrm{ABD}$에 대하여 $$\mathrm{AB} = \frac{1}{ \sin\left(\frac..

2024학년도 10월 모의고사 미적분 30번 풀이 (241030 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 30번 문제를 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 주어진 함수 $f(x)$를 미분하면 $$f'(x)=-e^{-x}(x^2 + (a-2)x + b-a)$$ 이다. 이때 조건 (가)로부터 위의 이차식의 판별식 $$D_1 : (a-2)^2 - 4(b-a) > 0$$ 임을 알 수 있다. 한편 조건 (나)를 보면 함수 $|f(x)|$가 $x=k$를 갖는다면 $$f(k)=0,\quad f'(k)=0$$ 이다. 따라서 방정식 $f(x)=0$의 실근의 개수로 경우를 나누자. i) $f(x)=0$이 서로 다른 두 실근을 가지는 경우 근과 계수의 관계로부터 $$2-2a=3..

2024학년도 10월 모의고사 수학 22번 풀이 (241022 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 10월 모의고사 수학 22번 문제를 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 (가)조건에서 $$ g(x)=a(x-4)^2\left(x-\frac{21}{2}\right) $$ 이다. $0

2024학년도 10월 모의고사 수학 15번 풀이 (241015 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 10월 모의고사 수학 15번 문제를 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 $a_3$을 시작으로 나열하면 아래와 같다. (가장 아래의 경우가 모순인 이유는 조건으로부터 $a_3, a_4$중 적어도 하나는 $4$의 배수여야 하기 때문이다.) 1번 경우) 부등식을 풀면 $45 < a_3 < 57$인데, 가정에서 두 수 $a_3, a_4$는 모두 $4$의 배수이다. 이를 만족시키는 $a_3$은 $52$뿐이다. 2번 경우) 부등식을 풀면 $30 < a_3 < 40$인데, 가정에서 $a_3$은 $4$의 배수이고, $a_4$는 배수가 아니다. 이를 만족시키는 $a_3$은 $32$뿐이다. 3번 경우) ..