[편입] 2012 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

[편입] 2012 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설 (풀이)

안녕하세요 수학올인입니다.

 

이번 포스팅에선 2012년 항공대학교 편입수학 기출문제의 정답과 풀이를 다뤄보겠습니다.

풀이는 전부 제 풀이이며, 따라서 오타나 오류가 있을 수 있습니다.

 

원본 시험지는 제가 공유하지 않으며, 항공대학교 입학처에서 확인하실 수 있습니다.

항공대의 경우 최근 2~3년 문제지만 공유하며, 년도가 바뀔 때마다 시험지를 입학처 홈페이지에서 삭제합니다.

따라서 시험지가 필요하신 분은 미리 입학처에서 다운로드를 받아두시기 바랍니다.

(항공대학교 입학처 - 편입학 - 지난기출문제)

 

 

 

2012 항공대학교 편입수학 기출문제 빠른 정답

 

빠른 정답은 위 사진을 참고해 주시고, 아래는 문항별 풀이입니다.

 

 

 

2012 항공대학교 편입수학 기출문제 1번 풀이

3) $(AB)^T = B^T A^T$여야 한다.

 

 

 

2012 항공대학교 편입수학 기출문제 2번 풀이

 

 

 

2012 항공대학교 편입수학 기출문제 3번 풀이

구하는 부피는 주어진 세 벡터를 행으로 하는 행렬
$$A = \begin{pmatrix}
2 & 2 & 0 \\
-1 & 0 & 2 \\
0 & 4 & 3 
\end{pmatrix}$$
의 행렬식의 절댓값과 같다. 한편 행렬식을 계산하면
$$\det A = -10$$
이므로 구하는 부피는 $|\det A| = 10$이다.

 

 

 

2012 항공대학교 편입수학 기출문제 4번 풀이

1) 주어진 행렬의 어떤 두 행(또는 열)이 같다면 행렬식의 값은 $0$이다.

 

 

 

2012 항공대학교 편입수학 기출문제 5번 풀이

$n\times n$행렬 $X$에 대하여
$$\det(\text{adj}(X)) = (\det X)^{n-1}$$
이 성립하므로
$$\det(\text{adj}(A)) = (\det A)^2 = 4$$
이다.

 

 

 

2012 항공대학교 편입수학 기출문제 6번 풀이

주어진 행렬 $A$의 기약행사다리꼴을 구해보면
$$\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 
\end{pmatrix}$$
이므로, $\text{rank}A = 3$이다.

 

 

 

2012 항공대학교 편입수학 기출문제 7번 풀이

주어진 조건으로부터 구하는 평면은 점 $(1,2,3)$을 지나고 $v$를 법선벡터로 한다.
따라서 구하는 평면의 방정식은
$$P : 2x-3y+4z - 8= 0$$
이다.

 

 

 

2012 항공대학교 편입수학 기출문제 8번 풀이

[풀이 1]
직접 고유특성다항식을 구한 뒤 고유치를 구한다.


[풀이 2]
주어진 행렬 $A$는 $3\times 3$행렬이므로 고유치가 세 개 존재할것이다.

한편 선택지는 사지선다이고, 아닌 것을 고르는 문제이다.
따라서 넷 중 셋은 고유치이고, 하나는 고유치가 아닐 것이다.

행렬식의 값이 모든 고유치의 곱과 같음을 이용하면
$$\det A = -10$$
이고, 선택지의 네 개의 숫자 중 세 개를 골라 그 곱이 $-10$이 되는 경우는
$$(-1) \times 2 \times 5$$
뿐이다. 따라서 고윳값이 아닌 것은 $1$이다.

 

 

 

2012 항공대학교 편입수학 기출문제 9번 풀이

행렬식을 구해보면
$$\det A = 3b(a+2) + 6c(2a-5)$$
이고, 선택지를 하나씩 넣어보면 만족하지 않는 경우는 2번이다.

 

 

 

2012 항공대학교 편입수학 기출문제 10번 풀이

만약 주어진 세 벡터가 일차독립이라면 세 백터가 생성하는 벡터공간은 $\mathrm{R}^3$이다.

그런데 $\mathrm{R}^3$을 생성한다면 선택지의 모든 보기가 정답이 되므로 그럴 수는 없다.

한편 세 벡터가 모두 상수배관계가 아님은 직관적으로 파악할 수 있으므로
주어진 세 벡터가 생성하는 공간은 $2$차원일것이다.

따라서 세 벡터 중 일차독립인 임의의 두 벡터를 골라 외적하여 얻은 벡터는
주어진 세 벡터가 생성하는 공간에 수직이 된다.

두 번째 벡터와 세 번째 벡터를 외적하여 얻은 벡터를 $v$라고 하면
$$v = (1,1,-1)$$
이다. 따라서 선택지의 벡터와 $v$를 내적하여 $0$이면 생성하는 부분공간에 속하는 것이고
$0$이 아니라면 속하지 않는 것이다.

직접 하나씩 계산해보면 4번의 경우 내적이 $0$이 아니므로 정답은 4번이다.

 

 

 

2012 항공대학교 편입수학 기출문제 11번 풀이

분자, 분모에 $\cos x$를 곱해 식을 간단히 하면
$$f(x) = \frac{1}{1+\sin x}$$
이다. 이제 접선이 $x$축과 평행하다는 말은 접선의 기울기가 $0$이라는 말이므로 미분하면
$$f'(x) = \frac{-\cos x}{(1+\sin x)^2}$$
에서 $f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$이므로 구하는 $x$좌표는 $\frac{\pi}{2}$이다.

 

 

 

2012 항공대학교 편입수학 기출문제 12번 풀이

주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \sqrt{x^2 - 4}\bigg|_3^4 \\ 
    &= \sqrt{12} - \sqrt{5}
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2012 항공대학교 편입수학 기출문제 13번 풀이

선택지의 네 직선 중 점 $(3,3)$을 지나는 것은 1번 뿐이다.

 

 

 

2012 항공대학교 편입수학 기출문제 14번 풀이

 

 

 

2012 항공대학교 편입수학 기출문제 15번 풀이

지수로그의 성질을 이용하여 식을 변형하면
$$f(x)=x^{2\sqrt{x}}=e^{2\sqrt{x}\ln x}$$
에서 미분하면
$$f'(x)=x^{2\sqrt{x}}\left(\frac{\ln x}{\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}}\right)$$
에서 $f'(4) = 128(\ln 4 + 2)$이다.

 

 

 

2012 항공대학교 편입수학 기출문제 16번 풀이

부분적분법으로부터 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= x\tan^{-1}x \bigg|_0^{\frac{\pi}{4}} - \int_0^1 \frac{x}{x^2 + 1}dx \\ 
    &= \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2012 항공대학교 편입수학 기출문제 17번 풀이

주어진 벡터함수를
$$r(t) = (x(t), y(t), z(t))$$
라고 하면
$$(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2 = 3e^{2t}$$
이므로 구하는 길이 $l$은
$$l = \int_0^\pi \sqrt{3e^{2t}}dt = \sqrt{3}(e^\pi - 1)$$
이다.

 

 

 

2012 항공대학교 편입수학 기출문제 18번 풀이

적분 순서를 변경($x$에 대해 먼저 적분)하면 주어진 적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= \int_0^4 \int_0^{\sqrt{y}} x^3 e^{y^3} dx dy\\ 
    &= \frac{1}{4}\int_0^4 y^2 e^{y^3} dy\\ 
    &= \frac{1}{12}(e^{64} - 1)
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2012 항공대학교 편입수학 기출문제 19번 풀이

주어진 벡터장의 포텐셜함수가 $f(x, y) = 2xe^{2y}$이다.
따라서 선적분의 기본정리로부터 주어진 선적분은
$$\begin{align}
    \text{(Integral)} &= 2xe^{2y} \bigg|_{(2, 0)}^{(-2, 0)} \\ 
    &= -8
\end{align}$$
이다.

 

 

 

2012 항공대학교 편입수학 기출문제 20번 풀이

구하는 방향도함수의 값은 경도벡터와 방향단위벡터의 내적이다. 경도를 구해보면
$$\nabla f =(8x, 2y)\bigg_{(1, 1)} = (8, 2)$$
이고 방향단위벡터 $v$는
$$v=\frac{1}{5}(4, 3)$$
이므로, 구하는 값은 둘의 내적인 $\frac{38}{5}$이다.

 

 

 

마치며

이상으로 2012 항공대학교 편입수학 기출문제 정답 및 해설을 마치겠습니다.

오류, 오타 또는 궁금하신 점이 있으시면 댓글로 남겨주세요~