수학올인의 수학 기록

2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 28번 풀이 (251028 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 28번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이가장 먼저 두 함수의 그래프를 그려보면 다음과 같다.이때 함수 $\cos x$가 극값을 갖는 지점을 기준으로 전부 세로선을 그어보면 각각의 $a_n$들은 세로선으로 분할된 영역에 한 개씩 들어온다는 것을 알 수 있다. 즉, $$n\pi \leq a_n \leq (n+1)\pi$$가 성립한다. 한편 $x=a_n$이 두 그래프의 교점이므로$$\frac{2\pi}{a_n} = \cos a_n$$이 성립하고, 이를 이용하면 구하는 값은$$\lim_{n\to\infty} 4n\pi^2\sum_{k=1}^..

2025학년도 10월 모의고사 수학 22번 풀이 (251022 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 10월 모의고사 수학 22번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이함수 $g(x)$는 $f(x)=0$인 지점을 기준으로 경계가 변하므로 이 지점을 위주로 관찰하자.i) $f(t)=0$이고 $x=t$에서 $x$축을 뚫는 경우$g(x)$의 좌/우극한을 조사해보면$$\begin{align}    1 &: f(t)+t=t \\     2 &: 2f(t) = 0\end{align}$$이 되어, 둘이 같은 경우는 $t=0$, 즉 $x=0$에서 $f(x)$가 $x$축을 뚫으면 연속, 그 외 지점에서 뚫으면 불연속이다.(좌/우극한을 구하는데 좌/우극한 표기를 사용하지 않고 1, 2번이라는 표..

2025학년도 10월 모의고사 수학 20번 풀이 (251020 풀이)  안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅은 2025학년도 10월 모의고사 수학 20번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이양변에 $x=3$을 대입하면 $f(3)=0$이고, 양변을 미분하면 $$2f(x)f'(x) = 2(x^2+2x)f(x)$$에서$$\begin{align}    f(x) &= 0 \\     f'(x) &= x^2 + 2x\end{align}$$이므로 함수 $f(x)$는 두 함수$$\begin{align}    f(x) &= 0 \\     f(x) &= \frac{1}{3}x^3 + x^2 + C\end{align}$$를 구간에 따라 선택하는 함수이고, 이때 갈아탈 수 있는 지점은 저 두 함수가 만나는 지점이다.이..

2025학년도 10월 모의고사 수학 15번 풀이 (251015 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 10월 모의고사 수학 15번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이역추적을 이용하자. 표를 그리면 다음과 같다.따라서 모든 $a_1$의 합은 $284$이다. (마지막 칸은 $1$이 모든 자연수의 약수이므로 $a_1 = a_2$임을 이용했다.)   역추적을 이용하여 풀이했습니다.블로그에서 다룬 2025학년도 10월 모의고사 문제 (클릭시 이동)- 2025학년도 10월 모의고사 수학 15번 (현재)- 2025학년도 10월 모의고사 수학 20번 - 2025학년도 10월 모의고사 수학 22번 - 2025학년도 10월 모의고사 수학(미적분) 28번 - 2025학년도 10월 모의고사 수학..

2025학년도 9월 모의고사 수학 15번 풀이 (250915 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 9월 모의고사 수학 15번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이(가)에 $x=1, -1$을 대입하면 두 등식$$\int_{-1}^1 xf(x)dx = \int_{-1}^1 xg(x)dx = 8$$을 얻는다. 이제 주어진 식을 미분하면$$xf(x)+xg(x) = 12x^3 + 24x^2 - 6x$$임을 얻는다. 그런데 $f(x)=xg'(x)$이므로 이를 이용하여 식을 다시 쓰면$$x^2g'(x) + xg(x) = 12x^3 + 24x^2 - 6x$$가 된다.  함수 $xg'(x) + g(x)$는 다항함수이고, 연속이므로 양변을 $x$로 나눠주면$$xg'(x) + g(x) = 12..

2025학년도 9월 모의고사 수학 21번 풀이 (250921 풀이)  안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 9월 모의고사 수학 21번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이가장 먼저 이런류 문제가 나왔을 때 체크할 것은 각 경계가 같아지는 순간을 확인하는 것이다.따라서 방정식$$4k^2+14k=2k-8$$을 풀면 $$k=-2, -1$$을 얻는다. 이제 다음과 같은 사실이 성립함을 이용하자.무슨 의미냐 하면, 우리가 어떤 함수 $f(x)$가 주어졌을 때 미분이라는 연산을 통해 $f'(x)$를 구하는 것 처럼, 어떤 함수 $f(x)$가 주어지면 $f(x+2)-f(x)$를 구하는 연산을 생각해보자는 것이다.(마치 미분처럼, 반대로 $f(x+2)-f(x)$를 통해 $f(x)$도 구할 수 ..

2025학년도 9월 모의고사 수학 22번 풀이 (250922 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 9월 모의고사 수학 22번 문제를 다뤄보겠습니다. 풀이는 역추적과 정추적을 둘 다 다뤄보겠습니다.   문제   풀이역추적을 이용한 풀이)먼저 $a_5 = 0$으로 쓸 수 있고, 첨자가 하나 낮아질 때 마다 $\frac{2}{3}k$를 더하거나, $-\frac{1}{k}$가 곱해지는 규칙을 통해수열의 이전 항을 얻을 수 있다. 이를 통해 수형도를 그리면 다음과 같다.이제 조건을 만족하는 경우 (번호가 부여된 케이스)에 대해 이어서 진행하면 아래와 같다.이상에서 구하는 값은 $8$이다.   정추적을 이용한 풀이)가장 먼저 (나)를 이용하면$$a_{n+1} = a_n - \frac{2}..

2025학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 28번 풀이 (250928 풀이)  안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 28번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이함수 $g(x)$의 역함수가 존재하고, $g(0)=0, g(1)=1$이므로 다음이 성립한다. (그림을 생각하자)$$\int_0^1 g(x)dx + \int_0^1 g^{-1}(x)dx = 1$$따라서 주어진 식을 다시 쓰면$$2\int_0^1 f'(2x)\sin \pi xdx + \frac{1}{4} = 1-\int_0^1 g(x)dx$$이고 $g(x)$를 대입한 뒤 식을 정리하면$$\int_0^1 f'(2x)\sin\pi xdx = \frac{1}{12}$$임을 얻는다. 이제 구하는 값에 치환..

2025학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 29번 풀이 (250929 풀이)  안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 29번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이가장 먼저 $a_1 = S_1$이므로 $$\begin{align} a_1 &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n(n+2)} \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right)\\ &= \frac{3}{2}\end{align}$$이다.  또, $a_{10} = S_{10} - S_9$인데, 위와 비슷하게 $$\begin{align} S_{10} &= \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1..

2025학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 30번 풀이 (250930 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 30번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이직접 $F(x) - f(x)$를 구해보자. 구간을 나눠 직접 적분해보면$$F(x) - f(x) = \begin{cases} -(2x+2k+1)e^{-x}+C & (x\leq 0) \\ (2x-2k+1)e^{-x} + C - 2 & (x>0) \end{cases}$$이고 이 함수가 $0$이상이어야 하므로$$\begin{align} C \geq (2x+2k+1)e^{-x} \quad &(x\leq 0) \\ C\geq 2-(2x-2k+1)e^{-x}\quad &(x>0)\end{align}$$이 성립해..