수학올인의 수학 기록

2025학년도 6월 모의고사 수학(미적분) 30번 풀이 (250630 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 6월 모의고사 수학(미적분) 30번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이가장 먼저 $n\to\infty$일 때 $a_n \to \infty$인 것은 자명하다.  또, 두 곡선 $y=\tan x$, $y=\frac{\sqrt{x}}{10}$을 동시에 그려놓고 살펴보면$n$의 값이 커질수록 $a_n$은 $y=\tan x$의 $n$번째 점근선에 점점 가까워짐을 알 수 있다. 그 말은 $n$이 커지면 $a_{n+1} - a_n$의 값은 $y=\tan x$의 이웃한 두 점근선 사이의 길이와 같아진다는 말이고따라서$$\lim_{n\to\infty} (a_{n+1} - a_n) =..

[수학] 어떤 연속함수의 이상적분이 수렴하면 함수의 극한은 0인가?안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 제목과 같이 어떤 연속함수의 이상적분이 수렴하면피적분함수의 극한값이 $0$이 되는지, 즉, 수식으로 표현하면 연속함수 $f(x)$에 대하여$$\int_0^{\infty} f(x)dx 이 성립하는지에 대해 알아보겠습니다. 보통 고등학교에서 수학을 배우면서 급수에 대해 배우게 되는데, 이때 급수$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$$이 수렴하면 수열 $a_n$의 극한값은 $0$이라는 사실을 배우게 됩니다. 이때 주어진 무한합을 이산적인 함수(수열)에 대한 합이라고 바라본다면이상적분은 연속적인 함수에 대한 합이라고 생각해볼 수 있으므로이상적분에서도 마찬가지로 극한이 $0$인가? 라는 의문이 ..

2025학년도 5월 모의고사 수학 22번 풀이 (250522 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 5월 모의고사 수학 22번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이가장 먼저 조건을 보면 $f(x) \geq 0$이어야 한다. 또, 조건으로 $g(x)$에 대한 정보를 추려보면i) 임의의 실수 $x$에 대하여$$\lim_{t \to 0}g(x+t) = g(x)$$가 성립한다. ii) $g(x)$는 불연속인 지점이 존재하며, 그 지점은 $f(x)$가 극값을 갖는 지점이다.또, $g(x)$는 연속이 되는 각 구간에서 증가한다. 바꿔 말하면$$g(x) = \begin{cases} f(x) & (f'(x) > 0) \\ -f(x) & (f'(x) \leq 0) \end{cases} $$가..

2025학년도 5월 모의고사 수학(미적분) 30번 풀이 (250530 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 5월 모의고사 수학(미적분) 30번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이먼저$$a_n = a\times r^{n-1}$$라고 하고 (가) 조건을 이용하면$$\frac{a}{1-r} = 4$$임을 알 수 있다.  또, $a_n$에 대한 급수가 수렴하므로, $a_n$의 극한값은 $0$일 것이다.이는 곧 $|a_n| \geq \alpha$가 되도록 하는 $n$의 개수는 유한하고무한히 많은 $n$들에 대해 $|a_n|  위 내용을 가지고 수열 $$\frac{a_n}{b_n} = \begin{cases} 1 & (|a_n| 을 관찰해보면, 유한한 항들만 음수가 되며, 나머지 무..

2025학년도 5월 모의고사 수학(미적분) 28번 풀이 (250528 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 5월 모의고사 수학(미적분) 28번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이(가) 조건으로부터 $k=\frac{b}{2}$이고 $f\left(\frac{b}{2}\right) = 0$이므로 식을 정리하면$$\tan \frac{b}{2} = \frac{1}{a}$$이다. 이제 (나) 조건을 다시 써보면 방정식$$f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 2f(x)$$의 모든 해의 합을 얘기하고 있는데, $g'(x)$를 계산해보면$$\begin{align} g'(x) &= 2e^{2x-b} \\ &= 2g(x) + 2\end{align}$$가 성립하므로, 이를 위의 식에 대입..

2025학년도 5월 모의고사 수학 15번 풀이 (250515 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 5월 모의고사 수학 15번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이먼저 수열 $a_n$의 모든 항이 자연수임을 보이자. $a_n$으로 가능한 경우는 자연수 $k$에 대하여$$a_n = \begin{cases} 3k \\ 3k+1 \\ 3k+2 \end{cases}\quad (k\in\mathrm{N})$$뿐이므로 각각 해보자. i) $a_n = 3k$인 경우3의 배수이므로 문제에서 주어진 점화식을 이용해서 $3$으로 나눠도 당연히 자연수다. ii) $a_n = 3k+1$인 경우두 번째 점화식을 이용하면$$\begin{align} a_{n+1} &= \frac{(a_n)^2 + 5}..

2025학년도 5월 모의고사 수학 14번 풀이 (250514 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 5월 모의고사 수학 14번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이문제의 조건을 먼저 확인해보면 주어진 식을 만족하려면$$f(k)=g(k)=0$$이어야 함을 알 수 있다. 따라서 방정식$$f(x) = 0$$은 서로 다른 두 실근을 가져야 하고 이는 곧 $x$축과 한 점에서 만남과 동시에 중근도 가진다는 뜻이다. 이제 만나는 지점을 확정해야 하는데, 함수 $f(x)$를$$f(x) = (x-a)(x-b)^2$$라고 써보면, $x=b$에서의 접선의 $y$절편은 반드시 $0$임을 알 수 있다. (접선이 $y=0$이므로.) 그럼 $x=a$에서의 접선의 $y$절편이 $0$이 되도록 해야 하는..

'2025학년도 5월 모의고사 수학 13번 풀이 (250513 풀이)  안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 5월 모의고사 수학 13번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제    풀이먼저 $b$가 양수이므로, $b이다. 이제 $x=a$의 위치를 조절할 것인데, 만약 $f(a)>3b$라면 문제의 조건에 모순이다.(교점의 개수가 $2$개가 되는 순간이 존재한다.) 또, $f(a) 따라서 $f(a)=3b$이고 $f(x)$의 개형을 아래와 같이 특정할 수 있다.따라서$$\begin{align} &2^{a+3} + b = 3b \\ &2^{5-a} + 3b = 4b+8 \end{align}$$이 성립하고, 둘을 연립하면 $$a=1, b=8$$임을 얻으므로, 구하는 값은 $9$이다.   전체적으로 ..

[수학] 심장형 곡선의 성질 정리 (넓이, 길이, 접선의 기울기, 회전체의 부피 등등)안녕하세요 수학올인입니다.이번 포스팅에서는 제목과 같이 심장형 곡선의 성질들에 대해 알아보고 정리해보겠습니다.   심장형 곡선이란?우선 심장형 곡선이라 하면 다음과 같은 형태의 극곡선을 말합니다.$$r=a+b\cos\theta$$여기서 $a, b$의 변화에 따라 다양한 형태로 개형이 변화합니다만, 이번 포스팅에서는다음과 같은 형태의 심장형 곡선에 대해서만 다루겠습니다.$$r=a(1+\cos\theta)\quad (a > 0)$$그리고 이 심장형 곡선을 적당히 회전시켜서 아래의 세 심장형 곡선을 얻을 수 있습니다.$$\begin{align} & r=a(1-\cos\theta) \\ & r=a(1+\sin\theta) \\..

[수학] 구의 일부분의 겉넓이 공식안녕하세요 수학올인입니다.이번 포스팅에서는 구의 일부분의 겉넓이를 구하는 공식에 대해 다뤄보겠습니다. 먼저 공식의 형태를 알아보고, 공식을 직접 유도해본 뒤, 예제를 풀어보도록 하겠습니다.먼저 구의 일부분의 겉넓이 공식은 다음과 같습니다.구의 일부분의 겉넓이 공식구면 $S : x^2 + y^2 + z^2 = r^2$의 $a\leq z\leq b$에 해당하는 부분의 겉넓이 $S$는$$S = 2\pi \times r \times (b-a)$$이다. 구면의 넓이를 구하는 방법은 회전곡면의 겉넓이 방식을 이용해도 되고, 면적분을 이용해도 되는데요.이번 포스팅에서는 회전곡면의 겉넓이를 구하는 방법을 이용해서 구해보도록 하겠습니다. 먼저 다음과 같은 구가 있다고 해보겠습니다.$$S..