수학올인의 수학 기록

2025학년도 6월 모의고사 수학 21번 풀이 (250621 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 6월 모의고사 수학 21번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제  풀이(가) 조건으로부터 $f'(2) = 0$임을 얻고, $x=2$가 함수 $f(x)$가 극값을 갖는 좌표중가장 큰 (가장 오른쪽에 있는) 좌표임을 알 수 있다. 이제 방정식$$f(x) = k$$가 서로 다른 세 실근을 갖거나 서로 다른 네 실근을 가지려면 극대와 극소를 전부 가져야 한다. 또, 완전한 W모양의 선대칭인 사차함수의 경우 $k$의 최솟값이 존재하지 않으므로 배제해도 된다. 이제 다음과 같이 두 경우를 나누자. i) 오른쪽 극솟값이 더 작은 경우(나)조건으로부터 그래프는 다음과 같이 그려진다.그런데, 가장 왼쪽..

2025학년도 6월 모의고사 수학(미적분) 28번 풀이 (250628 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 6월 모의고사 수학(미적분) 28번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이먼저 $y=f(x)$가 어떻게 생겼을지를 분석해보자. $x함수 $h(x)$를$$h(x) = (x-a-2)^2 e^x$$라고 하면$$h'(x) = (x-a)(x-a-2)e^x$$이므로 함수 $h(x)$는 $x=a$에서 극대가 되고, $x=a+2$에서 극솟값 $0$을 가진다. 이를 바탕으로 함수 $f(x)$의 그래프를 그려보면 다음과 같다.위의 그래프를 확인해보면, $g(t)$가 불연속이 되는 순간은 $y=t$가 아래 그림과 같이함수 $f$의 극대가 되도록 그려지는 경우임을 알 수 있다.한편 함수 $f..

2025학년도 6월 모의고사 수학(미적분) 29번 풀이 (250629 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 6월 모의고사 수학(미적분) 29번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이먼저 미분해보면$$\begin{align} f'(x) &= x^2 - 2x + \frac{2x}{x^2 + 1} \\ &= \frac{x^4 - 2x^3 + x^2}{x^2 + 1} \\ &= \frac{x^2 (x-1)^2}{x^2 + 1} = 0\end{align}$$에서 $f'(0)=f'(1)=0$이고, $f'(x) \geq 0$이므로 함수 $f$는 증가한다. 이를 바탕으로 $y=f(x)$의 개형을 대략적으로 그리면 다음과 같다.이제, $y$의 값은 고려하지 않고 (어차피 $y$값은 $a$를 ..

2025학년도 6월 모의고사 수학(미적분) 30번 풀이 (250630 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 6월 모의고사 수학(미적분) 30번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이가장 먼저 $n\to\infty$일 때 $a_n \to \infty$인 것은 자명하다.  또, 두 곡선 $y=\tan x$, $y=\frac{\sqrt{x}}{10}$을 동시에 그려놓고 살펴보면$n$의 값이 커질수록 $a_n$은 $y=\tan x$의 $n$번째 점근선에 점점 가까워짐을 알 수 있다. 그 말은 $n$이 커지면 $a_{n+1} - a_n$의 값은 $y=\tan x$의 이웃한 두 점근선 사이의 길이와 같아진다는 말이고따라서$$\lim_{n\to\infty} (a_{n+1} - a_n) =..

[수학] 어떤 연속함수의 이상적분이 수렴하면 함수의 극한은 0인가?안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 제목과 같이 어떤 연속함수의 이상적분이 수렴하면피적분함수의 극한값이 $0$이 되는지, 즉, 수식으로 표현하면 연속함수 $f(x)$에 대하여$$\int_0^{\infty} f(x)dx 이 성립하는지에 대해 알아보겠습니다. 보통 고등학교에서 수학을 배우면서 급수에 대해 배우게 되는데, 이때 급수$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$$이 수렴하면 수열 $a_n$의 극한값은 $0$이라는 사실을 배우게 됩니다. 이때 주어진 무한합을 이산적인 함수(수열)에 대한 합이라고 바라본다면이상적분은 연속적인 함수에 대한 합이라고 생각해볼 수 있으므로이상적분에서도 마찬가지로 극한이 $0$인가? 라는 의문이 ..

2025학년도 5월 모의고사 수학 22번 풀이 (250522 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 5월 모의고사 수학 22번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이가장 먼저 조건을 보면 $f(x) \geq 0$이어야 한다. 또, 조건으로 $g(x)$에 대한 정보를 추려보면i) 임의의 실수 $x$에 대하여$$\lim_{t \to 0}g(x+t) = g(x)$$가 성립한다. ii) $g(x)$는 불연속인 지점이 존재하며, 그 지점은 $f(x)$가 극값을 갖는 지점이다.또, $g(x)$는 연속이 되는 각 구간에서 증가한다. 바꿔 말하면$$g(x) = \begin{cases} f(x) & (f'(x) > 0) \\ -f(x) & (f'(x) \leq 0) \end{cases} $$가..

2025학년도 5월 모의고사 수학(미적분) 30번 풀이 (250530 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 5월 모의고사 수학(미적분) 30번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이먼저$$a_n = a\times r^{n-1}$$라고 하고 (가) 조건을 이용하면$$\frac{a}{1-r} = 4$$임을 알 수 있다.  또, $a_n$에 대한 급수가 수렴하므로, $a_n$의 극한값은 $0$일 것이다.이는 곧 $|a_n| \geq \alpha$가 되도록 하는 $n$의 개수는 유한하고무한히 많은 $n$들에 대해 $|a_n|  위 내용을 가지고 수열 $$\frac{a_n}{b_n} = \begin{cases} 1 & (|a_n| 을 관찰해보면, 유한한 항들만 음수가 되며, 나머지 무..

2025학년도 5월 모의고사 수학(미적분) 28번 풀이 (250528 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 5월 모의고사 수학(미적분) 28번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이(가) 조건으로부터 $k=\frac{b}{2}$이고 $f\left(\frac{b}{2}\right) = 0$이므로 식을 정리하면$$\tan \frac{b}{2} = \frac{1}{a}$$이다. 이제 (나) 조건을 다시 써보면 방정식$$f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = 2f(x)$$의 모든 해의 합을 얘기하고 있는데, $g'(x)$를 계산해보면$$\begin{align} g'(x) &= 2e^{2x-b} \\ &= 2g(x) + 2\end{align}$$가 성립하므로, 이를 위의 식에 대입..

2025학년도 5월 모의고사 수학 15번 풀이 (250515 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 5월 모의고사 수학 15번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이먼저 수열 $a_n$의 모든 항이 자연수임을 보이자. $a_n$으로 가능한 경우는 자연수 $k$에 대하여$$a_n = \begin{cases} 3k \\ 3k+1 \\ 3k+2 \end{cases}\quad (k\in\mathrm{N})$$뿐이므로 각각 해보자. i) $a_n = 3k$인 경우3의 배수이므로 문제에서 주어진 점화식을 이용해서 $3$으로 나눠도 당연히 자연수다. ii) $a_n = 3k+1$인 경우두 번째 점화식을 이용하면$$\begin{align} a_{n+1} &= \frac{(a_n)^2 + 5}..

2025학년도 5월 모의고사 수학 14번 풀이 (250514 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 5월 모의고사 수학 14번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이문제의 조건을 먼저 확인해보면 주어진 식을 만족하려면$$f(k)=g(k)=0$$이어야 함을 알 수 있다. 따라서 방정식$$f(x) = 0$$은 서로 다른 두 실근을 가져야 하고 이는 곧 $x$축과 한 점에서 만남과 동시에 중근도 가진다는 뜻이다. 이제 만나는 지점을 확정해야 하는데, 함수 $f(x)$를$$f(x) = (x-a)(x-b)^2$$라고 써보면, $x=b$에서의 접선의 $y$절편은 반드시 $0$임을 알 수 있다. (접선이 $y=0$이므로.) 그럼 $x=a$에서의 접선의 $y$절편이 $0$이 되도록 해야 하는..