수학올인의 수학 기록

2025학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 28번 풀이 (250928 풀이)  안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 28번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이함수 $g(x)$의 역함수가 존재하고, $g(0)=0, g(1)=1$이므로 다음이 성립한다. (그림을 생각하자)$$\int_0^1 g(x)dx + \int_0^1 g^{-1}(x)dx = 1$$따라서 주어진 식을 다시 쓰면$$2\int_0^1 f'(2x)\sin \pi xdx + \frac{1}{4} = 1-\int_0^1 g(x)dx$$이고 $g(x)$를 대입한 뒤 식을 정리하면$$\int_0^1 f'(2x)\sin\pi xdx = \frac{1}{12}$$임을 얻는다. 이제 구하는 값에 치환..

2025학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 29번 풀이 (250929 풀이)  안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 29번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이가장 먼저 $a_1 = S_1$이므로 $$\begin{align} a_1 &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n(n+2)} \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2}\right)\\ &= \frac{3}{2}\end{align}$$이다.  또, $a_{10} = S_{10} - S_9$인데, 위와 비슷하게 $$\begin{align} S_{10} &= \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1..

2025학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 30번 풀이 (250930 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 9월 모의고사 수학(미적분) 30번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이직접 $F(x) - f(x)$를 구해보자. 구간을 나눠 직접 적분해보면$$F(x) - f(x) = \begin{cases} -(2x+2k+1)e^{-x}+C & (x\leq 0) \\ (2x-2k+1)e^{-x} + C - 2 & (x>0) \end{cases}$$이고 이 함수가 $0$이상이어야 하므로$$\begin{align} C \geq (2x+2k+1)e^{-x} \quad &(x\leq 0) \\ C\geq 2-(2x-2k+1)e^{-x}\quad &(x>0)\end{align}$$이 성립해..

2025학년도 6월 모의고사 수학 22번 풀이 (250622 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 6월 모의고사 수학 22번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이역추적으로 풀 것이다. 위의 규칙을 적용하게 되는 경우는 $n$이 제곱수인 경우이고$2$ 이상 $15$이하의 자연수 $n$ 중 제곱수는 $4, 9$이므로 $4, 5$항 및 $9, 10$항을 중점적으로관찰하자.  위 내용을 기억하며 표를 그려보면 아래와 같다.이때 전체적으로 네 가지의 경우가 있는데, 가장 왼쪽의 숫자대로 번호를 부여하자.   1번 경우)이 경우는 미지수를 소거하기 위해 연립방정식$$\begin{cases} 2a_2 + 3a_3 - 10 = a_2 \\ 2a_3 + 3a_3 - 9 = a_3 \end{..

2025학년도 6월 모의고사 수학 15번 풀이 (250615 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 6월 모의고사 수학 15번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이먼저 함수 $g(x)$가 미분가능하므로 $f(k)=k$, $f'(k) = 2$이다.또, $g\left(\frac{k}{2}\right) = 0$임을 알 수 있다. 이제 (나)조건을 바라보면, 함수$$|t(t-1)| + t(t-1)$$은 $t(t-1)$이 양수라면 두 배 하고, 음수라면 $0$이 된다. 이 사실과 $g(x)$가 증가한다는 사실을 이용하면, $g(x)=0$이 되는 실수 $x$는 반드시$$0\leq x \leq 1$$에 속해야 한다. 이 말은 곧$$0\leq k\leq 2$$임을 의미한다. 두 번째 부등식..

2025학년도 6월 모의고사 수학 21번 풀이 (250621 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 6월 모의고사 수학 21번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제  풀이(가) 조건으로부터 $f'(2) = 0$임을 얻고, $x=2$가 함수 $f(x)$가 극값을 갖는 좌표중가장 큰 (가장 오른쪽에 있는) 좌표임을 알 수 있다. 이제 방정식$$f(x) = k$$가 서로 다른 세 실근을 갖거나 서로 다른 네 실근을 가지려면 극대와 극소를 전부 가져야 한다. 또, 완전한 W모양의 선대칭인 사차함수의 경우 $k$의 최솟값이 존재하지 않으므로 배제해도 된다. 이제 다음과 같이 두 경우를 나누자. i) 오른쪽 극솟값이 더 작은 경우(나)조건으로부터 그래프는 다음과 같이 그려진다.그런데, 가장 왼쪽..

2025학년도 6월 모의고사 수학(미적분) 28번 풀이 (250628 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 6월 모의고사 수학(미적분) 28번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이먼저 $y=f(x)$가 어떻게 생겼을지를 분석해보자. $x함수 $h(x)$를$$h(x) = (x-a-2)^2 e^x$$라고 하면$$h'(x) = (x-a)(x-a-2)e^x$$이므로 함수 $h(x)$는 $x=a$에서 극대가 되고, $x=a+2$에서 극솟값 $0$을 가진다. 이를 바탕으로 함수 $f(x)$의 그래프를 그려보면 다음과 같다.위의 그래프를 확인해보면, $g(t)$가 불연속이 되는 순간은 $y=t$가 아래 그림과 같이함수 $f$의 극대가 되도록 그려지는 경우임을 알 수 있다.한편 함수 $f..

2025학년도 6월 모의고사 수학(미적분) 29번 풀이 (250629 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 6월 모의고사 수학(미적분) 29번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이먼저 미분해보면$$\begin{align} f'(x) &= x^2 - 2x + \frac{2x}{x^2 + 1} \\ &= \frac{x^4 - 2x^3 + x^2}{x^2 + 1} \\ &= \frac{x^2 (x-1)^2}{x^2 + 1} = 0\end{align}$$에서 $f'(0)=f'(1)=0$이고, $f'(x) \geq 0$이므로 함수 $f$는 증가한다. 이를 바탕으로 $y=f(x)$의 개형을 대략적으로 그리면 다음과 같다.이제, $y$의 값은 고려하지 않고 (어차피 $y$값은 $a$를 ..

2025학년도 6월 모의고사 수학(미적분) 30번 풀이 (250630 풀이)안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2025학년도 6월 모의고사 수학(미적분) 30번 문제를 다뤄보겠습니다.   문제   풀이가장 먼저 $n\to\infty$일 때 $a_n \to \infty$인 것은 자명하다.  또, 두 곡선 $y=\tan x$, $y=\frac{\sqrt{x}}{10}$을 동시에 그려놓고 살펴보면$n$의 값이 커질수록 $a_n$은 $y=\tan x$의 $n$번째 점근선에 점점 가까워짐을 알 수 있다. 그 말은 $n$이 커지면 $a_{n+1} - a_n$의 값은 $y=\tan x$의 이웃한 두 점근선 사이의 길이와 같아진다는 말이고따라서$$\lim_{n\to\infty} (a_{n+1} - a_n) =..

[수학] 어떤 연속함수의 이상적분이 수렴하면 함수의 극한은 0인가?안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 제목과 같이 어떤 연속함수의 이상적분이 수렴하면피적분함수의 극한값이 $0$이 되는지, 즉, 수식으로 표현하면 연속함수 $f(x)$에 대하여$$\int_0^{\infty} f(x)dx 이 성립하는지에 대해 알아보겠습니다. 보통 고등학교에서 수학을 배우면서 급수에 대해 배우게 되는데, 이때 급수$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$$이 수렴하면 수열 $a_n$의 극한값은 $0$이라는 사실을 배우게 됩니다. 이때 주어진 무한합을 이산적인 함수(수열)에 대한 합이라고 바라본다면이상적분은 연속적인 함수에 대한 합이라고 생각해볼 수 있으므로이상적분에서도 마찬가지로 극한이 $0$인가? 라는 의문이 ..