수학올인의 수학 기록

[수학] 역함수 적분에 대한 항등식 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 역함수에 대한 정적분값을 쉽게 구할 수 있도록 도와주는 항등식에 대해서 다뤄보겠습니다. 보통 적분 단원의 문제를 풀다 보면 역함수의 정적분값을 구하는 경우가 많이 생기는데요. 이 항등식을 적절히 이용한다면 그런 문제에서 아주 많은 도움이 될 수 있을 것입니다. 정리 닫힌구간 $[a, b]$에서 증가 또는 감소하는 연속함수 $f(x)$에 대하여 다음이 성립한다. $$\int_a^b f(x)dx + \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x)dx = bf(b)-af(a)$$ 증명 다음 그림을 생각해 보자. 등식의 좌변은 두 적분의 합(부호 있는 넓이)가 되며, 등식의 우변은 큰 정사각형의 넓이에서 작은 정사각형의 넓이를 ..

[수학] 야매로 1/x의 부정적분이 로그함수임을 보이기 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 뭔가에 대해 다룬다기보단 단순히 기록을 목적으로 합니다. 최근에 재미있는 게시글을 봤는데, $x^n$의 적분은 $n\neq -1$인 경우에만 일반화가 되어있습니다. 만약 $n= -1$이라면 부정적분이 로그함수가 되니까요. 그런데, 약간의 트릭 (적분상수를 임의로 조정하기)을 통해서 저 공식으로부터 $$\displaystyle \int \frac{1}{x}dx = \ln x$$ 임을 유도하는것이 꽤 신기하더라고요. 아래는 유도과정입니다. 야매로 1/x의 부정적분이 로그함수임을 보이기 먼저, 양수 $a$에 대해 적분 $$\int \frac{1}{x^{a+1}}dx$$ 를 생각하자. 그러면 $a\to 0$이라면..

[수학] 다항함수와 지수함수의 곱의 빠른 적분 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 다항함수와 지수함수가 곱해졌을 때 빠른 적분 방법에 대해 알아보겠습니다. 사실 곱해진 함수가 꼭 다항함수일 필요는 없는데요. 다만, 다항함수의 경우 계속 미분을 하다 보면 언젠가는 $0$이 되기 때문에 주로 곱해진 함수가 다항함수일 때 사용하는 편입니다. 그럼 바로 시작할게요. 지수함수의 빠른 부분적분 원하는 만큼 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 다음이 성립한다. 1) $$\int f(x)e^xdx = (f(x) - f'(x) + f''(x) - \cdots)e^x$$ 2) $$\int f(x)e^{-x}dx = -(f(x) + f'(x) + f''(x) + \cdots)e^{-x}$$ 증명은 (이전 포스팅)..

[수학] 도표적분법을 이용한 빠른 부분적분 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 도표적분법을 이용한 부분적분을 빠르게 계산하는 방법에 대해 다룰 텐데요. 도표적분법이라는 이름을 다들 어디서 한 번씩은 들어보셨을 것 같습니다. 도표라 함은 우리가 부분적분을 할 때 미분할 함수, 적분할 함수를 표로 만들어서 그려놓는것을 말합니다. 그럼 도표적분법은 우리가 만든 표를 이용해서 적분을 계산하는 것을 말하겠죠? 표는 구체적으로 아래처럼 생겼습니다. 가장 왼쪽 열에는 부호를 플러스부터 교대로 적어 내려 가며, 그 오른쪽엔 미분할 함수를 한 칸 씩 내려갈 때마다 한 번씩 미분하여 적습니다. 그 오른쪽엔 적분할 함수를 한 칸씩 내려갈 때마다 한 번씩 적분하여 적습니다. 그런 뒤 같은 색깔끼리 묶어 더해서 써주면..

[수학] 다항함수와 로그함수의 곱의 빠른 부분적분 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 제목과 같이 다항함수와 로그함수가 곱해진 경우에 한정된 빠른 부분적분 계산법에 대해 다뤄보려고 합니다. 우선 본론을 시작하기 전에 아래의 세 가지를 알고 있음을 전제합니다. 만약 모르셨더라도, 지금 이 글을 읽으시며 한 번 확인해보세요. 첫 번째 : 로그함수의 부정적분 $$\int \ln x dx = x\ln x - x$$ 첫 번째로, 위 식처럼 로그함수의 부정적분을 계산할 수 있어야 합니다. 그런데 이건 뭐 다들 아실 거라 생각하긴 합니다. 만약 몰랐더라도 위 식의 결과만 알고 있으면 됩니다. 두 번째 : 치환적분 치환적분의 계산 방법에 대해 알고 있어야 합니다. 만약 모르신다면 치환적분에 대해 먼저 학습해 ..

MIT Integration Bee 2019 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier) ■ MIT Integration Bee란? 1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다. 문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다. 부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다. 정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다. ■ 시간제한은 몇 분인가요? 본시험에선 20분을 제한시간으로 두고 있습니다. ■ 이외의 규칙이 있나요? 문제 및 정답 표기 시 $\log $는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다. 또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다. 추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다. ■ 문..

[수학] 연속함수는 두 극값 사이에 다른 극값이 존재함을 증명 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 연속함수의 성질 중 하나인 두 극대 사이에 무조건 극소가 되는 지점이 존재한다 or 두 극소 사이에 무조건 극대가 되는 지점이 존재한다 에 대해 다뤄보려고 합니다. 즉, 어떤 연속함수 $f(x)$든 간에 극대 2개 또는 극소 2개를 연달아 가질 순 없다는 얘기죠. 우선 직관적으로 우리가 아는 함수들을 생각해보거나, 직접 그림을 그려봐도 두 극대 사이엔 무조건 극소가 존재합니다. 반대도 마찬가지구요. 그런데 그림으로 보면 당연한 것 같지만, 수식으로 풀어서 증명하려면 어떻게 해야 할까요? 원래 당연하다고 생각되는것도 글로 풀어서 쓰려면 막히기 마련입니다. 우선 미분가능하다는 조건이 없으니 미분을 쓸 ..

[수학] 미분가능하지만 도함수가 불연속인 함수 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 미분가능하지만 불연속인 도함수를 가지는 함수에 대해 다뤄보겠습니다. 우선 이번 포스팅은 (이전 포스팅)에서 이어지는 게시글입니다. 이전 포스팅에서 연속함수 $f(x)$의 도함수의 극한이 존재하면 이는 미분계수와 같음을 증명했습니다. 한편, 글을 마무리하며 도함수의 극한이 존재한다는 조건이 없다면 어떻게 될지에 대해 이번 포스팅에서 다룬다고 했었죠. 이번에도 결론을 먼저 말하면, 도함수의 극한값 (무한대 포함)이 꼭 미분계수와 같을 필요는 없습니다. 즉, 만약 극한값이 존재한다면 그 값은 미분계수와 항상 같지만 도함수의 극한이 발산한다고 무조건 미분계수의 값이 존재하지 않고 그렇지는 않습니다. 반례는 아래와 같습니다..

[수학] 도함수의 극한이 존재하면 그것은 미분계수와 같다 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 제목과 같이 도함수의 극한과 미분계수의 관계에 대해 다룰 텐데요. 보통 참고서나 문제집 등에서 '미분계수'를 구하는 문제를 '도함수의 극한'을 구하는 것으로 대신하여 풀이하곤 하는데요. 이 과정에서 의구심이 든 적은 없으신가요? 과연 도함수의 극한과 미분계수는 같을까요?? 제목을 보셔서 아시겠지만, 연속함수 $f(x)$의 도함수인 $f'(x)$의 $x=a$로의 극한이 존재하면 이는 $f'(a)$의 값과 정확히 같습니다. 따라서 우리가 도함수 $f'(x)$를 알고 있는 상황이라면 극한값을 통해 (도함수가 연속이라면 함숫값을 통해) 바로 미분계수를 구할 수 있습니다. 그런데 이는 풀이에 자연스럽게 사용되는 ..

MIT Integration Bee 2018 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier) Q. MIT Integration Bee란? 1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다. 문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다. 부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다. 정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다. Q. 시간제한은 몇 분인가요? 본시험에선 20분을 제한시간으로 두고 있습니다. Q. 이외의 규칙이 있나요? 문제 및 정답 표기 시 $\log $는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다. 또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다. 추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다. ..