수학올인의 수학 기록

MIT Integration Bee 2022 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier) ■ MIT Integration Bee란? 1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다. 문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다. 부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다. 정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다. ■ 시간제한은 몇 분인가요? 본시험에선 20분을 제한시간으로 두고 있습니다. ■ 이외의 규칙이 있나요? 문제 및 정답 표기 시 $\log $는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다. 또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다. 추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다. ■ 문..

2024학년도 9월 모의고사 수학 미적분 28번 풀이 (240928 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 9월 모의고사 수학 미적분 28번을 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 함수 $f(x)$의 그래프를 그리면 다음과 같다. 이때, $x0$에서의 주기의 절반의 적분값은 $\frac{2}{a}$이다. 이를 구하는 이유는 적분을 했을 때 도함수의 부호 있는 넓이를 원함수의 함숫값의 차로 해석할 수 있기 때문이다. (미적분학의 기본정리) 새로운 함수 $$h(x)= \int_{-a\pi}^x f(t)dt$$ 의 그래프를 그리면 아래와 같다. 이때 $g(x)=|h(x)|$이므로 $g(-a\pi)=h(-a\pi)=0$임을 안다. 그런데 함수 $g(x)$는 미분가능하므로, $$h'(-a\pi)=..

2024학년도 9월 모의고사 수학 13번 풀이 (240913 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 9월 모의고사 수학 13번 문제를 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 주어진 함수 $f(x)$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로, 미분하면 $$f'(x) = \begin{cases} -x^2 -2ax - b & (x

2024학년도 9월 모의고사 수학 14번 풀이 (240914 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 2024학년도 9월 모의고사 수학 14번을 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 경계가 되는 $k$의 값이 $3\leq k -8$에서만 생각해 보면) $6$이 함숫값으로 존재할 수도, 그렇지 않을 수도 있는데, 문제의 조건에서 모든 실수 $k$의 값의 범위가 $3\leq k < 4$라는 말은 $x\leq -8$에서 $f(x)=6$을 만족시키는 어떤 실수 $x$가 반드시 존재한다는 말과 같다..

2024학년도 9월 모의고사 미적분 30번 풀이 (240930 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 마찬가지로 이번 포스팅은 지난 포스팅들에 이어 2024학년도 9월 모의고사 수학 (미적분) 30번을 다뤄보겠습니다. 문제 풀이 아래 그림처럼 원의 중심을 O라고 하고 두 선분 OP, OB가 이루는 각을 $\alpha$라 하자. 그러면 구하는 $S(\theta)$는 $$S(\theta) = 2\times \frac{1}{2}\times 5\sin\alpha (1+5\cos \alpha)$$ 이다. 한편 $\theta$와 $\alpha$의 관계식을 구하면 $$\tan\theta = \frac{5\sin\alpha}{1+5\cos\alpha}$$ 가 성립한다. 첫 번째 식의 양변을 $\theta$로 미분하면 $$S..

[수학] 포물선으로 둘러싸인 부분의 무게중심 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 특수한 두 상황의 무게중심에 대해 다뤄보려고 합니다. 아래와 같은 두 상황 1. $y=x, y=x^2$으로 둘러싸인 부분의 무게중심 2. $y=x^2, x=y^2$으로 둘러싸인 부분의 무게중심 에 대해 정리를 해볼 텐데요. 이는 편입수학 시험에 주로 출제되는 회전체의 부피를 구하는 유형에서 시간을 매우 많이 단축시켜줍니다. 그럼 시작해 볼게요. 두 포물선으로 둘러싸인 부분의 무게중심 먼저 무게중심의 정의로부터 두 포물선 $y=x^2, x=y^2$으로 둘러싸인 영역을 $D$라고 하면 $$\bar{x} = \frac{\iint_D xdA}{\iint_D dA},\quad \bar{y}=\frac{\iint_D ydA}{..

MIT Integration Bee 2020 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier) ■ MIT Integration Bee란? 1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다. 문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다. 부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다. 정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다. ■ 시간제한은 몇 분인가요? 본시험에선 20분을 제한시간으로 두고 있습니다. ■ 이외의 규칙이 있나요? 문제 및 정답 표기 시 $\log $는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다. 또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다. 추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다. ■ 문..

2024학년도 9월 모의고사 수학 22번 풀이 (240922 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 저번 포스팅인 2024학년도 9월 모의고사 수학 15번에 이어서 22번을 풀어보겠습니다. 문제 풀이 조건 (가)에 $x=1$을 대입하면 $f(1)=3$을 얻는다. 이제 (가)의 양변을 미분하면 $$f(x)=f(x)+xf'(x)-4x\quad\Longrightarrow\quad f'(x)=4x$$ 이므로, $f(x)=4x-1$을 얻는다. 한편 $F'(x)=f(x)$, $G'(x)=g(x)$이므로 조건 (나)를 다시 쓰면 $$(F(x)G(x))' = 8x^3 + 3x^2 + 1$$ 이다. 이 식의 양변을 적분하면 $$F(x)G(x)=2x^4 + x^3 + x + k$$ 를 얻는다. (단, $k$는..

2024학년도 9월 모의고사 수학 15번 풀이 (240915 풀이) 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 글을 쓰고 있는 날 기준으로 하루 전에 시행한 2024학년도 9월 모의고사의 수학 15번 문항을 풀어보도록 하겠습니다. 문제 풀이 $\lim_{x\to 3}g(x) \neq g(3)$이므로 함수 $g(x)$는 $x=3$에서 불연속이다. 한편 방정식 $f(x)=0$을 만족시키는 $x$들은 절대 구간의 형태로 분포할 수 없고 이 말은 곧 $f(3)=0$이라는 말과 같다. (왜냐하면 $f(3)\neq 0$이면 $x=3$ 근방에서 항상 $f(x) \neq 0$이므로 $g(x)$가 $x=3$에서 연속이 되기 때문이다.) 한편 $$\lim_{x\to 3} g(x) = \frac{f(6)(f(3)+1)}{..

[수학] 이상적분의 특수한 형태 Frullani integral 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 공식으로 쉽게 계산될 수 있는 이상적분의 한 형태인 Frullani integral에 대해 다뤄보겠습니다. 한국어로는 프룰라니 적분이라고 할까요..? 사실 한국어로 말하는 것을 본 적은 없어서, 이 포스팅에서는 영어 그대로 Frullani integral이라고 부르겠습니다. 먼저, Frullani integral의 형태에 대해 알아봐야 할텐데, 아래와 같은 형태를 Frullani integral이라 합니다. Frullani integral 구간 $[0, \infty)$에서 연속이고, $(0, \infty)$에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 $$\lim_{x\to\infty} f(x) = f(\i..