수학올인의 수학 기록

[수학] 미분가능하지만 도함수가 불연속인 함수 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 미분가능하지만 불연속인 도함수를 가지는 함수에 대해 다뤄보겠습니다. 우선 이번 포스팅은 (이전 포스팅)에서 이어지는 게시글입니다. 이전 포스팅에서 연속함수 $f(x)$의 도함수의 극한이 존재하면 이는 미분계수와 같음을 증명했습니다. 한편, 글을 마무리하며 도함수의 극한이 존재한다는 조건이 없다면 어떻게 될지에 대해 이번 포스팅에서 다룬다고 했었죠. 이번에도 결론을 먼저 말하면, 도함수의 극한값 (무한대 포함)이 꼭 미분계수와 같을 필요는 없습니다. 즉, 만약 극한값이 존재한다면 그 값은 미분계수와 항상 같지만 도함수의 극한이 발산한다고 무조건 미분계수의 값이 존재하지 않고 그렇지는 않습니다. 반례는 아래와 같습니다..

[수학] 도함수의 극한이 존재하면 그것은 미분계수와 같다 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 제목과 같이 도함수의 극한과 미분계수의 관계에 대해 다룰 텐데요. 보통 참고서나 문제집 등에서 '미분계수'를 구하는 문제를 '도함수의 극한'을 구하는 것으로 대신하여 풀이하곤 하는데요. 이 과정에서 의구심이 든 적은 없으신가요? 과연 도함수의 극한과 미분계수는 같을까요?? 제목을 보셔서 아시겠지만, 연속함수 $f(x)$의 도함수인 $f'(x)$의 $x=a$로의 극한이 존재하면 이는 $f'(a)$의 값과 정확히 같습니다. 따라서 우리가 도함수 $f'(x)$를 알고 있는 상황이라면 극한값을 통해 (도함수가 연속이라면 함숫값을 통해) 바로 미분계수를 구할 수 있습니다. 그런데 이는 풀이에 자연스럽게 사용되는 ..

MIT Integration Bee 2018 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier) Q. MIT Integration Bee란? 1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다. 문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다. 부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다. 정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다. Q. 시간제한은 몇 분인가요? 본시험에선 20분을 제한시간으로 두고 있습니다. Q. 이외의 규칙이 있나요? 문제 및 정답 표기 시 $\log $는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다. 또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다. 추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다. ..

MIT Integration Bee 2017 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier) ■ MIT Integration Bee란? 1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다. 문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다. 부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다. 정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다. ■ 시간제한은 몇 분인가요? 본시험에선 20분을 제한시간으로 두고 있습니다. ■ 이외의 규칙이 있나요? 문제 및 정답 표기 시 $\log $는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다. 또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다. 추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다. ■ 문..

MIT Integration Bee 2016 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier) ■ MIT Integration Bee란? 1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다. 문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다. 부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다. 정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다. ■ 시간제한은 몇 분인가요? 본시험에선 20분을 제한시간으로 두고 있습니다. ■ 이외의 규칙이 있나요? 문제 및 정답 표기 시 $\log $는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다. 또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다. 추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다. ■ 문..

■ MIT Integration Bee란? 1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다. 문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다. 부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다. 정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다. ■ 시간제한은 몇 분인가요? 본시험에선 20분을 제한시간으로 두고 있습니다. ■ 이외의 규칙이 있나요? 문제 및 정답 표기 시 $\log $는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다. 또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다. 추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다. ■ 문제지는 어디에서 확인할 수 있나요? 구글에 MIT Integration Bee를 검색하시..

MIT Integration Bee 2014 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier) ■ MIT Integration Bee란? 1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다. 문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다. 부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다. 정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다. ■ 시간제한은 몇 분인가요? 본시험에선 20분을 제한시간으로 두고 있습니다. ■ 이외의 규칙이 있나요? 문제 및 정답 표기 시 $\log $는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다. 또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다. 추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다. ■ 문..

시컨트 세제곱 적분방법, 코시컨트 세제곱 적분방법 정리 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 저번 포스팅에 이어 제목처럼 시컨트 세제곱의 적분방법과 코시컨트 세제곱의 적분방법에 대해 다뤄보도록 하겠습니다. 이번 포스팅 내용에선 저번 포스팅에서 다룬 시컨트의 적분과 코시컨트의 적분이 포함되어 있으니, 지난 포스팅을 보지 않으셨거나 시컨트, 코시컨트의 적분법을 모르신다면 지난 포스팅을 확인해 주세요. 2023.05.10 - [수학 (탐구)] - [수학] 시컨트 적분방법, 코시컨트 적분방법 1분 요약 [수학] 시컨트 적분방법, 코시컨트 적분방법 1분 요약 시컨트 적분방법, 코시컨트 적분방법 1분 요약 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 제목과 같이 시컨트와 코시컨트의 적분, 그리고 더 나아가서..

시컨트 적분방법, 코시컨트 적분방법 1분 요약 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 제목과 같이 시컨트와 코시컨트의 적분, 그리고 더 나아가서 시컨트, 코시컨트 각각의 세제곱의 적분에 대해 다뤄보겠습니다. 시컨트 적분의 경우 사실 고등학교 교과서에 연습문제정도로 간혹 나오긴 합니다. 하지만 그 과정이 복잡하며, 더 나은 방법이 있기 때문에 포스팅을 쓰게 되었습니다. 그리고 이런류의 계산이 많이 필요한 시험의 경우 시컨트 또는 코시컨트의 적분은 외워둔다면 시간 절약이 많이 되기 때문에, 암기해도 좋은 부분이고요. 그럼 먼저 교과서적 풀이를 확인해 볼까요? 시컨트 적분 - 교과서적 해법 $$\begin{align} \int \frac{1}{\sec x}dx &= \int \frac{\cos x}{\c..

2010 MIT Integration Bee 해설 및 문제풀이 ■ MIT Integration Bee란? 1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다. 문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다. 부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다. 정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다. ■ 시간제한은 몇 분인가요? 본시험에선 25문제 시험지 기준 20분을 제한시간으로 두고 있습니다. ■ 이외의 규칙이 있나요? 문제 및 정답 표기 시 $\log $는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다. 또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다. 추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다. ■ 문제지..