수학올인의 수학 기록

MIT Integration Bee 2012 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier) ■ MIT Integration Bee란? 1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다. 문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다. 부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다. 정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다. ■ 시간제한은 몇 분인가요? 본시험에선 20분을 제한시간으로 두고 있습니다. ■ 이외의 규칙이 있나요? 문제 및 정답 표기 시 $\log $는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다. 또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다. 추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다. ■ 문..

MIT Integration Bee 2011 해설, 정답 및 풀이 (Qualifier) ■ MIT Integration Bee란? 1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다. 문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다. 부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다. 정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다. ■ 시간제한은 몇 분인가요? 본시험에선 20분을 제한시간으로 두고 있습니다. ■ 이외의 규칙이 있나요? 문제 및 정답 표기 시 $\log $는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다. 또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다. 추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다. ■ 문..

시컨트 세제곱 적분방법, 코시컨트 세제곱 적분방법 정리 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 저번 포스팅에 이어 제목처럼 시컨트 세제곱의 적분방법과 코시컨트 세제곱의 적분방법에 대해 다뤄보도록 하겠습니다. 이번 포스팅 내용에선 저번 포스팅에서 다룬 시컨트의 적분과 코시컨트의 적분이 포함되어 있으니, 지난 포스팅을 보지 않으셨거나 시컨트, 코시컨트의 적분법을 모르신다면 지난 포스팅을 확인해 주세요. 2023.05.10 - [수학 (탐구)] - [수학] 시컨트 적분방법, 코시컨트 적분방법 1분 요약 [수학] 시컨트 적분방법, 코시컨트 적분방법 1분 요약 시컨트 적분방법, 코시컨트 적분방법 1분 요약 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 제목과 같이 시컨트와 코시컨트의 적분, 그리고 더 나아가서..

시컨트 적분방법, 코시컨트 적분방법 1분 요약 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 제목과 같이 시컨트와 코시컨트의 적분, 그리고 더 나아가서 시컨트, 코시컨트 각각의 세제곱의 적분에 대해 다뤄보겠습니다. 시컨트 적분의 경우 사실 고등학교 교과서에 연습문제정도로 간혹 나오긴 합니다. 하지만 그 과정이 복잡하며, 더 나은 방법이 있기 때문에 포스팅을 쓰게 되었습니다. 그리고 이런류의 계산이 많이 필요한 시험의 경우 시컨트 또는 코시컨트의 적분은 외워둔다면 시간 절약이 많이 되기 때문에, 암기해도 좋은 부분이고요. 그럼 먼저 교과서적 풀이를 확인해 볼까요? 시컨트 적분 - 교과서적 해법 $$\begin{align} \int \frac{1}{\sec x}dx &= \int \frac{\cos x}{\c..

2010 MIT Integration Bee 해설 및 문제풀이 ■ MIT Integration Bee란? 1981년부터 매년 MIT에서 개최되는 적분 대회입니다. 문제 유형은 부정적분을 계산하는 문제와 정적분을 계산하는 문제로 나뉩니다. 부정적분을 계산하는 문제는 정답을 $x$에 대한 식으로 표현해야 합니다. 정적분을 계산하는 문제는 정답을 계산이 완료된 상수들로 표기해야 합니다. ■ 시간제한은 몇 분인가요? 본시험에선 25문제 시험지 기준 20분을 제한시간으로 두고 있습니다. ■ 이외의 규칙이 있나요? 문제 및 정답 표기 시 $\log $는 자연로그 ($\ln$)을 나타냅니다. 또, 로그 내부의 절댓값은 표기할 필요가 없으며 적분상수는 생략합니다. 추가로, 문항의 배열과 난이도는 무관합니다. ■ 문제지..

삼각함수 적분을 월리스 공식을 통해 빠르게 계산하기 (Wallis 공식) 안녕하세요 수학올인입니다. 우리가 문제를 풀다 보면 삼각함수의 적분값을 계산해야 하는 상황을 자주 만납니다. 물론 간단한 $\sin x$, $\cos x$정도를 적분하는 상황이라면 그냥 계산하면 되겠지만 만약 피적분함수가 $\sin^5 x$, $\sin^7x \cos^2x$이라면 어떨까요? 물론 치환적분이나 부분적분을 적당히 사용하면 계산가능하겠지만 이는 상당히 번거로운 작업이 될겁니다. 이번 포스팅에서 다룰 월리스 공식은 적분 구간이 특수한 상황일 때 적분값을 매우 빠르게 단순 계산만으로 구할 수 있도록 해주는 공식입니다. 그럼 바로 알아보도록 하겠습니다. 월리스 공식 (Wallis 공식) 임의의 자연수 $n$에 대하여 다음이 성..

도함수의 극한과 원함수의 극한의 관계 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 도함수의 극한과 원함수의 극한은 어떤 관계를 가지는지에 대해 다뤄보려고 합니다. 내용은 크게 2개의 주제를 다룰 텐데요, 1. 도함수의 극한이 0으로 수렴하면 원함수의 극한도 수렴하는지 ($\displaystyle\lim_{x\to\infty}f'(x)=0$이면 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)$도 수렴하는지) 2. 원함수의 극한이 수렴하면 도함수의 극한이 0으로 수렴하는지 ($\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)$가 수렴하면 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f'(x)=0$인지) 에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 우리가 함수 $f(x)$의 그래프..

우함수는 항상 x=0에서 극값을 가질까? 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 함수 $f(x)$가 우함수라면 항상 $x=0$에서 극값을 갖는지에 대해 알아보겠습니다. 이전에도 말했듯, 이런 종류의 명제를 접했을 때 가장 먼저 할 수 있는 접근은 우리가 잘 알고 있는 함수들에 대해 성립하는지 테스트해 보는 것입니다. 우리가 생각할 수 있는 가장 만만한 함수는 당연히 다항함수입니다. 그럼 가장 만만한 이차함수에 대해서 먼저 확인해 볼까요? 위 그래프는 곡선 $y=x^2$의 그래프입니다. 함수 $f(x)=x^2$이 우함수인 것은 쉽게 알 수 있고, $x=0$에서 극값(극소)을 가짐도 쉽게 알 수 있네요. 그럼 다음으론, 삼각함수는 어떨지 확인해 보겠습니다. 위 그래프는 곡선 $y=\cos x$의 그래프..

함수가 극값을 가지면 그 지점에서 증감이 변할까? 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 제목과 같이 어떤 미분가능한 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 극값을 가진다면 $x=a$를 기준으로 함수 $f(x)$의 증감이 바뀌는지에 대해 다뤄보도록 하겠습니다. 그리고 본문에서는 상수함수는 제외하도록 하겠습니다. 이런 종류의 명제를 접했을 때 가장 먼저 해볼 수 있는 생각은 우리가 잘 알고 있는 함수들에 대해서 먼저 생각해보는 것입니다. 우리가 가장 잘 아는 함수는 당연히 다항함수겠죠? 그중에서 극값을 가지는 건 당연히 가장 만만한 이차함수일텐데요. 이차함수의 그래프를 확인하면 극값을 가지는 지점을 전후로 함수의 증감이 바뀌는걸 확인할 수 있습니다. 그럼 다른 함수는 어떨까요? 다항함수를 빼고 극값을 갖는..

한 점에서 도함수가 양수지만 그 근방에서 증가하지 않는 함수 안녕하세요 수학올인입니다. 이번 포스팅에서는 어떤 한 점에서 양수인 도함수를 갖지만 그 점을 포함하는 어떤 근방에서도 증가하지 않는 함수에 대해 다뤄보려고 합니다. 사실 직관적으로 생각해 본다면 한 점에서 도함수가 양수라는 사실은 그 점에서 기울기가 양수, 즉 증가하는것 처럼 생겼다고 예상해 볼 수 있습니다. 그런데 그 근방에서 증가하지 않는 함수라니 반직관적인 결론을 얻는 상황이죠. 이는 어떤 함수가 있을 때 미분을 통해 얻어낸 정보가 굉장히 국소적인 정보만을 포함하고, 그 국소적인 정보만으로 함수가 어떻게 생겼는지 파악할 수 없다는 말이기도 합니다. 그럼 반례를 알아보겠습니다. 반례 함수 $$ f(x) = \begin{cases} \frac..